Как найти эквивалентное напряжение: III и IV теории

Дано: плоское напряжённое состояние в точке детали, $\sigma_x = 80$ МПа, $\sigma_y = -40$ МПа, $\tau_{xy} = 30$ МПа, допускаемое напряжение $[\sigma] = 160$ МПа, материал пластичный. Найти: главные напряжения и эквивалентное напряжение по третьей и четвёртой теориям прочности.

Схема расчёта всегда одна: сначала находим главные напряжения, потом сворачиваем их в одно число по выбранной теории прочности и сравниваем это число с допускаемым. Ответ: $\sigma_1 = 87{,}08$ МПа, $\sigma_2 = 0$, $\sigma_3 = -47{,}08$ МПа, $\sigma_{\text{экв}}^{III} = 134{,}16$ МПа, $\sigma_{\text{экв}}^{IV} = 117{,}90$ МПа, оба меньше 160 МПа, прочность обеспечена. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: три левых столбика показывают главные напряжения, два правых упираются в пунктир допускаемого.

Решение по шагам

Дано. Сведём условие в таблицу.

Шаг 1. Главные напряжения в плоскости. На гранях выделенного элемента действуют и нормальные, и касательные напряжения. Повернув элемент, можно найти такое положение, где касательных нет совсем, а нормальные достигают экстремумов - это и есть главные площадки. Их напряжения считают по формуле, которая геометрически есть центр круга Мора плюс-минус его радиус:

$$\sigma_{\text{max,min}} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}.$$

Центр круга: $(80 - 40)/2 = 20$ МПа. Радиус: $\sqrt{60^2 + 30^2} = \sqrt{4500} = 67{,}08$ МПа. Отсюда

$$\sigma_{\text{max}} = 20 + 67{,}08 = 87{,}08\ \text{МПа}, \qquad \sigma_{\text{min}} = 20 - 67{,}08 = -47{,}08\ \text{МПа}.$$

Шаг 2. Расстановка по убыванию. Главных напряжений всегда три, даже когда состояние плоское: третья площадка - свободная поверхность детали, на ней $\sigma_z = 0$. Индексы 1, 2, 3 присваивают строго по убыванию с учётом знака, и ноль здесь оказывается в середине:

$$\sigma_1 = 87{,}08\ \text{МПа}, \qquad \sigma_2 = 0, \qquad \sigma_3 = -47{,}08\ \text{МПа}.$$

Проверить расстановку помогает первый инвариант: сумма главных напряжений равна сумме исходных нормальных. Здесь $87{,}08 + 0 - 47{,}08 = 40$ МПа и $80 - 40 + 0 = 40$ МПа - сходится. Полезно заодно найти угол наклона главных площадок из $\operatorname{tg} 2\alpha_0 = 2\tau_{xy}/(\sigma_x - \sigma_y) = 60/120 = 0{,}5$, откуда $\alpha_0 = 13{,}3^\circ$.

Шаг 3. Третья теория прочности. Она считает причиной разрушения наибольшее касательное напряжение, а оно равно полуразности крайних главных:

$$\sigma_{\text{экв}}^{III} = \sigma_1 - \sigma_3 = 87{,}08 - (-47{,}08) = 134{,}16\ \text{МПа}.$$

Обрати внимание на знак: $\sigma_3$ отрицательное, поэтому разность не уменьшается, а растёт. Именно на этом теряют десятки баллов.

Шаг 4. Четвёртая теория прочности. Энергетическая теория считает опасной не всю энергию деформации, а только ту её часть, что идёт на изменение формы:

$$\sigma_{\text{экв}}^{IV} = \sqrt{\tfrac{1}{2}\left[(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2\right]}.$$

Подставляем: $\sqrt{0{,}5 \cdot (87{,}08^2 + 47{,}08^2 + 134{,}16^2)} = \sqrt{13\,900} = 117{,}90$ МПа.

Шаг 5. Сравнение с допускаемым. Условие прочности при сложном состоянии выглядит так же, как при простом растяжении, только слева стоит эквивалентное напряжение:

$$\sigma_{\text{экв}} \le [\sigma]: \qquad 134{,}16 \le 160, \qquad 117{,}90 \le 160.$$

Коэффициент запаса по третьей теории $160/134{,}16 = 1{,}19$, по четвёртой $160/117{,}90 = 1{,}36$. Ответ: $\sigma_{\text{экв}}^{III} = 134{,}16$ МПа, $\sigma_{\text{экв}}^{IV} = 117{,}90$ МПа, прочность обеспечена по обеим теориям.

Формула и откуда она берётся

Допускаемое напряжение получают из одного-единственного опыта - растяжения образца, где напряжённое состояние одноосное. А в детали в общем случае действуют три главных напряжения сразу, и напрямую сравнить их с табличным пределом нельзя: непонятно, какое из трёх. Теория прочности как раз и отвечает на этот вопрос - она подбирает эквивалентное одноосное растяжение, одинаково опасное с заданным сложным состоянием. Разбор простого случая, из которого берётся сам $[\sigma]$, лежит в статье про нормальные напряжения при растяжении стержня.

Третья теория (критерий наибольших касательных напряжений, критерий Треска) исходит из того, что пластичный материал течёт по площадкам скольжения, а на них работает $\tau_{\text{max}} = (\sigma_1 - \sigma_3)/2$. При растяжении образца $\sigma_1 = \sigma$, $\sigma_3 = 0$, то есть $\tau_{\text{max}} = \sigma/2$. Приравняв два выражения, получаем $\sigma_{\text{экв}}^{III} = \sigma_1 - \sigma_3$. В нашей задаче $\tau_{\text{max}} = 67{,}08$ МПа - это в точности радиус круга Мора, посчитанный на первом шаге.

Четвёртая теория (энергетическая, критерий Мизеса) исходит из удельной потенциальной энергии формоизменения. Гидростатическая часть напряжений форму не меняет и разрушения не вызывает, поэтому из полной энергии вычитают энергию изменения объёма. Приравняв остаток к энергии при одноосном растяжении, приходят к формуле шага 4. Почему энергия формоизменения вообще связана с текучестью, наглядно видно на чистом сдвиге: там объём не меняется вовсе, а материал течёт - см. чистый сдвиг и закон Гука при сдвиге.

Для плоского состояния обе формулы удобно свернуть так, чтобы главные напряжения вообще не считать:

$$\sigma_{\text{экв}}^{III} = \sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2 + 4\tau_{xy}^2}, \qquad \sigma_{\text{экв}}^{IV} = \sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2}.$$

Проверим: $\sqrt{120^2 + 4 \cdot 900} = \sqrt{18\,000} = 134{,}16$ МПа и $\sqrt{6400 + 3200 + 1600 + 2700} = \sqrt{13\,900} = 117{,}90$ МПа. Числа совпали с пошаговым расчётом, значит главные напряжения найдены верно. Это лучшая самопроверка на контрольной: два независимых пути к одному ответу.

Какую теорию брать и чем они отличаются

Четвёртая теория дала 117,90 МПа против 134,16 МПа по третьей - на 12,1 % меньше. Так бывает всегда: третья теория идёт в запас, потому что учитывает только крайние главные напряжения и полностью игнорирует среднее. Опыты на пластичных материалах ложатся ближе к энергетической теории, поэтому в машиностроении расчёт обычно ведут по четвёртой, а третью берут для грубой оценки и для случаев, когда запас важнее экономии металла. Разница между ними никогда не превышает 15 %.

Для хрупких материалов обе теории не годятся: чугун и бетон держат сжатие в разы лучше растяжения, а третья и четвёртая теории такой разницы не видят. Там применяют теорию Мора с коэффициентом $k = [\sigma_{\text{р}}]/[\sigma_{\text{с}}]$:

$$\sigma_{\text{экв}}^{M} = \sigma_1 - k\,\sigma_3.$$

При $k = 1/3$ наши напряжения дали бы $87{,}08 + 47{,}08/3 = 102{,}78$ МПа. Первая теория (наибольших нормальных напряжений) вообще отбрасывает всё, кроме $\sigma_1$, и даёт 87,08 МПа - она применима лишь к очень хрупким материалам вроде стекла и закалённой стали.

Изгиб с кручением: частный случай

Самая частая на практике задача - вал, который одновременно изгибается и скручивается. Там $\sigma_y = 0$, и формулы сворачиваются до двух коротких:

$$\sigma_{\text{экв}}^{III} = \sqrt{\sigma^2 + 4\tau^2}, \qquad \sigma_{\text{экв}}^{IV} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}.$$

Возьмём те же 80 и 30 МПа, но при $\sigma_y = 0$: третья теория даёт $\sqrt{6400 + 3600} = 100$ МПа, четвёртая - $\sqrt{6400 + 2700} = 95{,}4$ МПа. Переключи в калькуляторе сверху расчётный случай на «изгиб с кручением», и эти числа появятся сами. Нормальное напряжение здесь берут как $M/W_x$, где $W_x$ - момент сопротивления сечения при изгибе, а касательное как $M_{\text{к}}/W_p$; расчёт вала на одно только кручение даёт вторую составляющую.

Дальше эквивалентное напряжение работает как обычное: по нему подбирают размеры сечения ровно тем же приёмом, что и при простом изгибе, - см. подбор сечения балки и подбор диаметра вала. Опасное сечение при этом ищут по эпюрам: построение эпюры моментов показывает, где момент максимален.

Теории прочности нужны и в расчёте соединений: болт, работающий одновременно на растяжение и срез, проверяют по эквивалентному напряжению - см. болтовое соединение.

Частые ошибки

• Потерянный знак у $\sigma_3$. В формуле $\sigma_1 - \sigma_3$ подставляют модуль сжимающего напряжения и получают $87{,}08 - 47{,}08 = 40$ МПа вместо 134,16 МПа. Разница больше чем втрое, и деталь из «прочной» становится аварийной.
• Забытый нуль. При плоском состоянии индексы раздают только двум найденным корням, а третье, нулевое, напряжение теряют. Если оба корня положительны, то $\sigma_3 = 0$, а не меньший из них.
• Сравнение $\sigma_1$ с $[\sigma]$. Наибольшее главное напряжение - не эквивалентное. Здесь $\sigma_1 = 87{,}08$ МПа, а реальная опасность соответствует 134,16 МПа: ошибка в полтора раза и всегда не в запас.
• Не та теория для материала. Расчёт чугунной детали по четвёртой теории завышает несущую способность при сжатии и занижает при растяжении, потому что предел у чугуна разный.
• Касательное напряжение в квадрате без коэффициента. В третьей теории под корнем стоит $4\tau^2$, в четвёртой - $3\tau^2$. Спутанные четвёрка и тройка дают расхождение около 5 %, которое трудно заметить глазами.
• Мешанина единиц. Момент в кН·м, площадь в см², напряжение в МПа: перед подстановкой всё переводят в ньютоны и миллиметры, иначе эквивалентное напряжение выходит на порядки меньше или больше.

FAQ

Чем эквивалентное напряжение отличается от главного? Главное напряжение - реальная физическая величина, действующая на конкретной площадке. Эквивалентное напряжение не действует нигде: это условное одноосное растяжение, которое по опасности равноценно заданному сложному состоянию. Смысл в том, чтобы сравнивать расчёт с табличным $[\sigma]$, полученным из опыта на растяжение.

Какую теорию писать в контрольной, если преподаватель не сказал? Для стали и других пластичных материалов бери четвёртую: она точнее и считается основной. Третью приводят рядом как проверку в запас. Если материал хрупкий, единственный корректный вариант - теория Мора.

Может ли эквивалентное напряжение быть больше каждого из главных? Да, и это норма. При $\sigma_1 = 87{,}08$ и $\sigma_3 = -47{,}08$ МПа эквивалентное по третьей теории равно 134,16 МПа - больше обоих по модулю. Причина в том, что растяжение вдоль одной оси и сжатие вдоль другой усиливают друг друга по площадкам скольжения.

Нужно ли считать эквивалентное напряжение при простом растяжении? Нет. Там состояние одноосное, $\sigma_2 = \sigma_3 = 0$, и обе формулы дают $\sigma_{\text{экв}} = \sigma_1$. Теории прочности нужны только тогда, когда отличных от нуля главных напряжений хотя бы два.

Коротко

1. Найди главные напряжения в плоскости: $\sigma_{\text{max,min}} = (\sigma_x + \sigma_y)/2 \pm \sqrt{((\sigma_x - \sigma_y)/2)^2 + \tau_{xy}^2}$, здесь 87,08 и -47,08 МПа.
2. Добавь третье, нулевое, и расставь индексы по убыванию с учётом знака: $\sigma_1 = 87{,}08$, $\sigma_2 = 0$, $\sigma_3 = -47{,}08$ МПа.
3. Третья теория: $\sigma_{\text{экв}}^{III} = \sigma_1 - \sigma_3 = 134{,}16$ МПа. Четвёртая: $\sigma_{\text{экв}}^{IV} = 117{,}90$ МПа.
4. Сравни с допускаемым: оба значения меньше 160 МПа, запас 1,19 и 1,36 соответственно.
5. Проверь себя свёрнутыми формулами $\sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2 + 4\tau_{xy}^2}$ и $\sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x\sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2}$: они дают те же 134,16 и 117,90 МПа. Прочность обеспечена.