Как построить эпюру моментов: пошаговое решение

Дано: балка $AB$ пролётом $L = 6$ м, опора $A$ в сечении $x = 0$ шарнирно-неподвижная, опора $B$ в сечении $x = 6$ м подвижная. Нагрузки: равномерно распределённая нагрузка $q = 12$ кН/м на участке от $0$ до $3$ м, сосредоточенная сила $F = 20$ кН вниз в сечении $x = 4{,}5$ м и сосредоточенный момент $M_0 = 12$ кН·м по часовой стрелке в сечении $x = 2$ м. Найти: эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Эпюры строят методом сечений: балку режут на участки в точках, где нагрузка меняется, и на каждом участке записывают $Q(x)$ и $M(x)$ через силы, оставшиеся с одной стороны от сечения. Ответ: $V_A = 30$ кН, $V_B = 26$ кН, наибольшая по модулю поперечная сила $30$ кН у опоры $A$, максимальный изгибающий момент $M_{\text{max}} = 49{,}5$ кН·м в сечении $x = 2{,}5$ м. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: схема, эпюра $Q$ и эпюра $M$ стоят там в одном масштабе по длине, так что каждый скачок видно на своём месте.

Решение по шагам

Шаг 1. Реакции опор. Пока реакции не найдены, левая часть балки не уравновешена и записать $Q(x)$ не из чего. Распределённую нагрузку заменяют равнодействующей $R = q c = 12 \cdot 3 = 36$ кН, приложенной в середине грузового участка, то есть при $x = 1{,}5$ м. Дальше два уравнения статики:

$$\begin{aligned} \sum M_A &= 0: & V_B \cdot 6 - 36 \cdot 1{,}5 - 20 \cdot 4{,}5 - 12 &= 0, & V_B &= \frac{54 + 90 + 12}{6} = 26\ \text{кН}, \\ \sum F_y &= 0: & V_A + V_B - 36 - 20 &= 0, & V_A &= 56 - 26 = 30\ \text{кН}. \end{aligned}$$

Сосредоточенный момент вошёл в уравнение просто своей величиной: пара сил даёт одинаковый момент относительно любой точки, поэтому координата $x = 2$ м на реакции не влияет. Подробный разбор этого шага с наклонными силами и другими типами опор - в разборе как определить реакции опор; там же про то, как найти плечо силы, если оно не совпадает с координатой.

Шаг 2. Границы участков. Граница ставится там, где что-то меняется скачком: начало и конец распределённой нагрузки, точка приложения сосредоточенной силы, точка приложения сосредоточенного момента, опора. Здесь это $x = 2$ м (момент), $x = 3$ м (конец нагрузки $q$) и $x = 4{,}5$ м (сила $F$). Получаются четыре участка: $[0;2]$, $[2;3]$, $[3;4{,}5]$ и $[4{,}5;6]$.

Шаг 3. Эпюра поперечных сил. Поперечная сила равна сумме проекций всех сил слева от сечения; сила, направленная вверх, даёт плюс. Сосредоточенный момент в эту сумму не входит вообще, поэтому первые два участка описывает одна формула:

$$Q_{1,2}(x) = V_A - q x = 30 - 12x, \qquad Q_3 = 30 - 36 = -6, \qquad Q_4 = 30 - 36 - 20 = -26.$$

Ординаты: $Q(0) = 30$ кН, $Q(2) = 6$ кН, $Q(3) = -6$ кН, дальше полка $-6$ кН до силы и полка $-26$ кН до опоры $B$. Обрати внимание на нуль: $30 - 12x = 0$ при $x = 2{,}5$ м. Это и есть характерная точка, ради которой эпюру $Q$ строят первой.

Шаг 4. Эпюра изгибающих моментов. Изгибающий момент равен сумме моментов всех левых сил относительно самого сечения. Знак берём стандартный: момент положителен, когда растянуты нижние волокна балки.

$$\begin{aligned} M_1(x) &= 30x - 6x^2, & 0 \le x \le 2, \\ M_2(x) &= 30x - 6x^2 + 12, & 2 \le x \le 3, \\ M_3(x) &= 30x - 36(x - 1{,}5) + 12 = 66 - 6x, & 3 \le x \le 4{,}5, \\ M_4(x) &= 66 - 6x - 20(x - 4{,}5) = 156 - 26x, & 4{,}5 \le x \le 6. \end{aligned}$$

Считаем ординаты: $M(0) = 0$, $M(2^-) = 60 - 24 = 36$ кН·м, сразу за моментом $M(2^+) = 48$ кН·м, $M(2{,}5) = 75 - 37{,}5 + 12 = 49{,}5$ кН·м, $M(3) = 48$ кН·м, $M(4{,}5) = 39$ кН·м, $M(6) = 0$. На первых двух участках эпюра - парабола выпуклостью вверх, на двух последних - прямые с разным наклоном.

Ответ: $V_A = 30$ кН, $V_B = 26$ кН; эпюра $Q$ идёт от $+30$ кН линейно до $-6$ кН, держит полку $-6$ кН, падает под силой до $-26$ кН; эпюра $M$ растёт до $36$ кН·м, скачком поднимается до $48$ кН·м, достигает максимума $M_{\text{max}} = 49{,}5$ кН·м при $x = 2{,}5$ м и линейно спадает до нуля на опоре $B$.

Формула и откуда она берётся

Обе эпюры связаны дифференциальными зависимостями Журавского. Если вырезать бесконечно малый элемент балки длиной $dx$ и записать для него два уравнения равновесия, получится:

$$\frac{dQ}{dx} = -q(x), \qquad \frac{dM}{dx} = Q(x).$$

Отсюда следуют все правила формы, которыми пользуются при построении. Поперечная сила - это производная момента, поэтому там, где $Q$ обращается в нуль, у эпюры $M$ экстремум. Там, где $Q$ постоянна и не равна нулю, момент меняется линейно. Там, где $q$ постоянна, $Q$ линейна, а $M$ - квадратная парабола. На незагруженном участке $q = 0$, значит $Q$ горизонтальна.

Вторая полезная форма тех же зависимостей - интегральная: приращение момента на участке равно площади эпюры $Q$ на этом же участке. Это самый быстрый способ пересчитать ординаты, не выписывая функции заново.

Форма эпюр на каждом участке

Таблица собирает результат в тот вид, в котором его сдают: по участкам, с формой линии и ординатами на границах.

Обрати внимание на строку второго участка: скачок момента произошёл на его левой границе, а сама парабола идёт по той же кривой, просто поднятой на $12$ кН·м. Наклон линии $M$ на третьем и четвёртом участках отличается ровно во столько раз, во сколько отличается поперечная сила: $-6$ и $-26$ кН.

Проверка по скачкам и характерным точкам

Готовые эпюры проверяют не пересчётом, а четырьмя признаками. Если хоть один не выполняется, ошибка найдена, и её место известно.

1. Скачок эпюры $Q$ равен сосредоточенной силе. В точке $A$ эпюра прыгает с нуля на $30$ кН - это $V_A$. Под силой $F$ она падает на $20$ кН: с $-6$ на $-26$. На опоре $B$ прыгает вверх на $26$ кН и замыкается в нуль - это $V_B$.
2. Скачок эпюры $M$ равен сосредоточенному моменту. При $x = 2$ м эпюра прыгает с $36$ на $48$ кН·м, разница $12$ кН·м равна $M_0$. При этом эпюра $Q$ в этом сечении не меняется вовсе: внешняя пара сил на поперечную силу не влияет.
3. Экстремум $M$ стоит там, где $Q$ пересекает нуль. Здесь это $x = 2{,}5$ м, и в этом сечении момент действительно максимален: $49{,}5$ кН·м.
4. Приращение $M$ на участке равно площади эпюры $Q$. На участке $[0;2]$ площадь трапеции равна $\tfrac{30 + 6}{2} \cdot 2 = 36$, и момент вырос ровно на $36$ кН·м. На участке $[3;4{,}5]$ площадь равна $-6 \cdot 1{,}5 = -9$, и момент упал с $48$ до $39$ кН·м.

Отдельно проверяют края: на шарнирной опоре без внешнего момента изгибающий момент равен нулю, и здесь $M(6) = 156 - 156 = 0$. Полезно продублировать и реакции контрольным уравнением: $\sum M_B = -30 \cdot 6 + 36 \cdot 4{,}5 + 20 \cdot 1{,}5 - 12 = 0$. Сечение с наибольшим по модулю моментом называют опасным - именно оно идёт дальше в расчёт на прочность через момент сопротивления сечения. Если вместо изгиба у тебя растяжение или сжатие стержня, эпюра строится по той же схеме, но для продольной силы: построение эпюры продольных сил.

Частые ошибки

• Скачок эпюры $M$ рисуют под силой, а скачок $Q$ - под моментом. Всё наоборот: сила разрывает эпюру $Q$, пара сил разрывает эпюру $M$.
• Границу участка ставят только под силами. Начало и конец распределённой нагрузки - тоже границы, даже если в этой точке ничего не приложено: там меняется закон, по которому идёт линия.
• Распределённую нагрузку заменяют равнодействующей внутри своего участка. Приём $R = q c$ работает только при записи уравнений равновесия целой балки. Внутри грузового участка в сечении $x$ действует часть нагрузки $q x$ с плечом $x/2$, а не вся $R$.
• Экстремум ищут в середине пролёта по привычке. Середина даёт максимум только у симметрично нагруженной балки. Место экстремума задаёт условие $Q = 0$, здесь это $x = 2{,}5$ м, а не $3$ м.
• Теряют знак поперечной силы после сосредоточенной силы. Полка $-26$ кН по модулю равна $V_B$, и это не совпадение: справа от последней нагрузки $Q$ всегда равна реакции правой опоры со знаком минус.
• Эпюру моментов не замыкают в нуль на шарнирной опоре. Если $M(L)$ вышел не нулевым, ошибка в реакциях или в знаке, и пересчитывать надо с первого шага.

FAQ

С какой эпюры начинать - с $Q$ или с $M$? С поперечной силы. Она проще, а её нули сразу показывают, в каких сечениях считать экстремумы момента. Строить $M$ первой означает искать максимум перебором точек.

Куда откладывать положительные ординаты момента? В теормехе и большинстве курсов сопромата положительные значения откладывают вверх, как на графике, - так сделано и в калькуляторе сверху. В строительной механике ту же эпюру часто строят на растянутом волокне, то есть положительные ординаты вниз. Знак и числа от этого не меняются, меняется только сторона отложения, и её принято оговаривать в начале решения.

Как понять, парабола на участке выпуклая вверх или вниз? По направлению распределённой нагрузки. Из $d^2M/dx^2 = -q$ следует, что при нагрузке, направленной вниз, парабола обращена выпуклостью вверх, то есть «горбом» в сторону положительных моментов. Полезное правило: парабола провисает в ту же сторону, куда давит нагрузка.

Что делать, если на балке есть консоль? Ничего нового: консоль - это ещё один участок, только сечение удобнее рассматривать со свободного конца, где нет реакций. На конце консоли момент равен нулю, если там не приложена внешняя пара сил.

Коротко

1. Найди реакции опор из уравнений равновесия: $V_A = 30$ кН, $V_B = 26$ кН, проверь суммой моментов относительно второй опоры.
2. Разбей балку на участки границами в точках приложения нагрузок и на концах распределённой нагрузки: здесь $[0;2]$, $[2;3]$, $[3;4{,}5]$, $[4{,}5;6]$.
3. Построй эпюру $Q$: под распределённой нагрузкой наклонная линия, без нагрузки полка, под сосредоточенной силой скачок на её величину.
4. Найди сечение, где $Q = 0$ - здесь $x = 2{,}5$ м, - и посчитай в нём момент: это и есть экстремум $M_{\text{max}} = 49{,}5$ кН·м.
5. Построй эпюру $M$ по участкам, поставь скачок $12$ кН·м под сосредоточенным моментом и проверь: на опоре $B$ момент равен нулю, приращения совпадают с площадями эпюры $Q$.