Как найти мгновенный центр ускорений: решение

Дано: плоская фигура движется в своей плоскости; ускорение точки $A$ равно $a_A = 10$ м/с², угловая скорость тела $\omega = 2$ рад/с, угловое ускорение $\varepsilon = 3$ рад/с². Найти: положение мгновенного центра ускорений $Q$ и ускорение точки $B$, удалённой от этого центра на $QB = 3$ м.

Мгновенный центр ускорений (МЦУ) задаётся двумя числами: углом $\mu$, на который вектор ускорения отклонён от отрезка до центра, и расстоянием, которое получается делением ускорения точки на общий для всей фигуры множитель $k = \sqrt{\omega^4 + \varepsilon^2}$. Ответ: $\mu = 36{,}87^\circ$, $AQ = 2$ м, $a_B = 15$ м/с². Калькулятор сверху строит ту же схему для любых $a_A$, $\omega$ и $\varepsilon$, а дальше идёт разбор по шагам.

Решение по шагам

Дано: $a_A = 10$ м/с², $\omega = 2$ рад/с, $\varepsilon = 3$ рад/с², $QB = 3$ м. Найти: $\mu$, $AQ$, $a_B$.

Шаг 1. Общий множитель фигуры. Если принять за полюс сам МЦУ, ускорение любой точки состоит только из двух слагаемых относительно этого полюса: осестремительного $\omega^2 d$ и вращательного $\varepsilon d$, где $d$ - расстояние от точки до центра. Слагаемые взаимно перпендикулярны, поэтому их складывают по теореме Пифагора, и расстояние выносится за скобку:

$$k = \sqrt{\omega^4 + \varepsilon^2} = \sqrt{2^4 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\ \text{с}^{-2}.$$

Множитель $k$ одинаков для всех точек тела в данный момент - именно он превращает расстояния в ускорения и обратно.

Шаг 2. Угол отклонения. Отношение вращательной составляющей к осестремительной от расстояния не зависит: в обеих $d$ сокращается. Значит, угол между вектором ускорения точки и отрезком, соединяющим её с центром, один и тот же для всего тела:

$$\operatorname{tg}\mu = \frac{\varepsilon}{\omega^2} = \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4} = 0{,}75, \qquad \mu = \operatorname{arctg} 0{,}75 \approx 36{,}87^\circ \approx 36^\circ 52'.$$

Числа подобраны так, что получается школьный треугольник со сторонами 3, 4 и 5, - на контрольных это первый признак, что арифметика не поехала.

Шаг 3. Расстояние от точки A до центра. Модуль ускорения точки $A$ равен произведению расстояния на множитель $k$, откуда расстояние находится делением:

$$AQ = \frac{a_A}{k} = \frac{a_A}{\sqrt{\omega^4 + \varepsilon^2}} = \frac{10}{5} = 2\ \text{м}.$$

Само построение делается так: от точки $A$ проводят луч под углом $\mu$ к вектору $\vec{a}_A$, отсчитывая угол в сторону дуговой стрелки углового ускорения $\varepsilon$, и откладывают на луче 2 м. Если направить ось $x$ вдоль $\vec{a}_A$, а $\varepsilon$ считать направленным против часовой стрелки, центр попадёт в точку с координатами $x_Q = 2\cos 36{,}87^\circ = 1{,}6$ м, $y_Q = 2\sin 36{,}87^\circ = 1{,}2$ м. Проверка: $\sqrt{1{,}6^2 + 1{,}2^2} = \sqrt{4} = 2$ м.

Шаг 4. Ускорение второй точки. Дальше центр работает как неподвижная ось вращения: расстояние умножают на тот же множитель $k$.

$$a_B = QB \cdot k = 3 \cdot 5 = 15\ \text{м/с}^2.$$

Направление тоже известно заранее: вектор $\vec{a}_B$ отклонён от отрезка $BQ$ на тот же угол $\mu = 36{,}87^\circ$, причём в сторону, противоположную дуговой стрелке $\varepsilon$.

Ответ: $\mu = 36{,}87^\circ$, $AQ = 2$ м (центр в точке $(1{,}6;\ 1{,}2)$ м), $a_B = 15$ м/с².

Формула и откуда она берётся

Основа - теорема об ускорениях точек плоской фигуры: $\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}^{\,n}_{BA} + \vec{a}^{\,\tau}_{BA}$, где осестремительная часть $a^{n}_{BA} = \omega^2 \cdot AB$ направлена от $B$ к полюсу $A$, а вращательная $a^{\tau}_{BA} = \varepsilon \cdot AB$ перпендикулярна отрезку $AB$. Полный вывод теоремы разобран в статье про плоскопараллельное движение твёрдого тела, здесь важен только её итог.

Возьмём полюсом не произвольную точку, а ту самую $Q$, у которой ускорение равно нулю. Тогда для любой точки $M$ остаётся $\vec{a}_M = \vec{a}^{\,n}_{MQ} + \vec{a}^{\,\tau}_{MQ}$, и модуль равен

$$a_M = \sqrt{(\omega^2 \cdot MQ)^2 + (\varepsilon \cdot MQ)^2} = MQ\sqrt{\omega^4 + \varepsilon^2}.$$

Отсюда и главное свойство: ускорения точек тела пропорциональны расстояниям до МЦУ, ровно как скорости пропорциональны расстояниям до мгновенного центра скоростей. График во второй вкладке калькулятора как раз показывает эту прямую пропорциональность - точки $A$ и $B$ обязаны лечь на одну прямую, проходящую через начало координат.

Существование такой точки доказывается решением системы двух линейных уравнений относительно её координат: определитель системы равен $\omega^4 + \varepsilon^2$ и обращается в ноль только при $\omega = 0$ и $\varepsilon = 0$ одновременно. То есть МЦУ есть всегда, кроме мгновенно-поступательного движения, когда ускорения всех точек одинаковы.

Частные случаи, где центр виден сразу

Угол $\mu$ и расстояние до центра полностью определяются парой $\omega$ и $\varepsilon$, поэтому несколько ситуаций разбираются устно.

Отдельно стоит запомнить колесо, катящееся без проскальзывания с постоянной скоростью центра: угловое ускорение нулевое, значит $\mu = 0$, а ускорение центра равно нулю, и МЦУ совпадает с центром колеса. Если же колесо разгоняется, у центра появляется ускорение вдоль дороги, и центр ускорений смещается с оси.

Когда известны ускорения сразу двух точек по модулю и направлению, центр ищут пересечением: от каждой точки проводят луч под углом $\mu$ к её вектору ускорения, и лучи пересекаются в $Q$. Угол $\mu$ при этом можно найти геометрически, не зная $\omega$ и $\varepsilon$ по отдельности.

Чем МЦУ отличается от МЦС

Это разные точки, и путать их - самая дорогая ошибка в теме. Мгновенный центр скоростей обнуляет скорость, мгновенный центр ускорений - ускорение, и совпадают они лишь случайно. У катящегося колеса нижняя точка контакта имеет нулевую скорость, но её ускорение равно $\omega^2 R$ и направлено к центру колеса; наоборот, центр равномерно катящегося колеса движется с максимальной скоростью, а ускорение у него нулевое.

Практическое следствие: через МЦС считают только скорости, через МЦУ - только ускорения, и строятся они независимо друг от друга. Скоростную часть задачи удобнее решать построением плана скоростей, а если движение задано законами координат, ускорение отдельной точки проще взять двойным дифференцированием, не привлекая центры вовсе.

Проверка ответа

Полученную схему стоит проверить двумя независимыми способами. Первый - обратный пересчёт: если $AQ = 2$ м, то $a_A = AQ \cdot k = 2 \cdot 5 = 10$ м/с², исходное значение сошлось. Второй - отношение ускорений: у двух точек оно обязано равняться отношению расстояний до центра, здесь $a_B / a_A = 15/10 = 1{,}5$ и $QB / AQ = 3/2 = 1{,}5$. Совпадение отношений означает, что центр найден верно.

Полезно ещё оценить угол по здравому смыслу. Чем больше угловое ускорение по сравнению с квадратом угловой скорости, тем сильнее вектор ускорения отклоняется от направления на центр: при $\varepsilon \gg \omega^2$ угол стремится к прямому, при $\varepsilon \ll \omega^2$ - к нулю. Если в ответе получился угол около нуля при большом $\varepsilon$, значит перепутаны числитель и знаменатель в тангенсе.

Частые ошибки

• Берут $\omega^2$ вместо $\omega^4$ под корнем. Под корнем стоит именно $\omega^4$: это квадрат осестремительной составляющей $\omega^2 d$. Замена на $\omega^2$ даёт здесь $\sqrt{4+9} = 3{,}61$ вместо 5 и ломает и угол, и расстояние.
• Переворачивают тангенс. В формуле $\operatorname{tg}\mu = \varepsilon/\omega^2$ угловое ускорение в числителе. Перевёрнутое отношение даёт $53{,}13^\circ$ вместо $36{,}87^\circ$, и центр уезжает в другую сторону.
• Откладывают угол не в ту сторону. Луч из точки к центру поворачивают от вектора ускорения в сторону дуговой стрелки $\varepsilon$, а не против. Зеркальное построение даёт точку, симметричную относительно линии ускорения.
• Путают МЦУ с МЦС. У нижней точки катящегося колеса скорость нулевая, а ускорение нет. Центр скоростей для расчёта ускорений не годится.
• Считают расстояние от точки, а не от центра. В формуле $a_B = QB \cdot k$ фигурирует расстояние до МЦУ, а не длина отрезка $AB$. Если в условии дана длина звена, сначала находят положение центра и только потом расстояние до него.
• Забывают, что $\varepsilon$ меняет знак. При торможении вращения дуговая стрелка $\varepsilon$ направлена против $\omega$, и центр откладывается в другую сторону, хотя модуль угла $\mu$ тот же.

FAQ

Всегда ли существует мгновенный центр ускорений? Почти всегда. Он не существует единственным образом только тогда, когда $\omega$ и $\varepsilon$ одновременно равны нулю: в этот момент ускорения всех точек одинаковы, движение мгновенно поступательное, и обнулить ускорение ни в одной точке нельзя.

Может ли МЦУ лежать вне тела? Да, и это обычная ситуация. Мгновенные центры - точки плоскости, связанной с телом, а не обязательно материальные точки самого тела. Для шатуна или линейки центр ускорений часто оказывается далеко за их пределами.

Совпадает ли МЦУ с центром масс? Нет, если на тело действует результирующая сила: ускорение центра масс равно отношению этой силы к массе и нулю не равно. Совпадение возможно лишь в частных случаях, например при свободном вращении тела вокруг неподвижного центра масс.

Зачем МЦУ нужен, если есть теорема об ускорениях? Он экономит построения. Через центр ускорение любой точки находится одним умножением $d \cdot k$, тогда как по теореме для каждой новой точки приходится складывать три вектора и проецировать их на оси.

Коротко

1. Считаем общий множитель $k = \sqrt{\omega^4 + \varepsilon^2}$: при $\omega = 2$ рад/с и $\varepsilon = 3$ рад/с² получаем $k = 5$ с$^{-2}$.
2. Находим угол отклонения $\operatorname{tg}\mu = \varepsilon/\omega^2 = 0{,}75$, то есть $\mu \approx 36{,}87^\circ$.
3. Откладываем от точки $A$ луч под углом $\mu$ к вектору $\vec{a}_A$ в сторону дуговой стрелки $\varepsilon$ и на расстоянии $AQ = a_A/k = 10/5 = 2$ м ставим центр $Q$.
4. Ускорение любой точки получаем умножением её расстояния до центра на $k$: для $QB = 3$ м это $a_B = 15$ м/с², вектор отклонён от $BQ$ на тот же угол $\mu$.
5. Проверяем по пропорции: отношение ускорений $15/10$ должно совпасть с отношением расстояний $3/2$.