Как найти угловое ускорение тела: решение по шагам

Дано: твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону $\varphi(t) = 2t^3 - 5t^2 + 3t$ рад. Найти: угловое ускорение в момент $t = 2$ с и ускорение точки, отстоящей от оси на $R = 0{,}4$ м.

Угловое ускорение при таком задании движения находится двойным дифференцированием угла поворота: $\varepsilon = \dot{\omega} = \ddot{\varphi}$, а ускорение точки раскладывается на касательное $a_\tau = \varepsilon R$ и нормальное $a_n = \omega^2 R$. Ответ: $\omega = 7$ рад/с, $\varepsilon = 14$ рад/с², $a_\tau = 5{,}6$ м/с², $a_n = 19{,}6$ м/с², полное ускорение точки $a \approx 20{,}38$ м/с². Калькулятор сверху пересчитает всё это для других коэффициентов закона вращения, другого момента времени и другого радиуса, а ниже разобран каждый шаг.

Решение по шагам

Дано.

Найти: угловое ускорение $\varepsilon$, а также $v$, $a_\tau$, $a_n$ и $a$ для точки тела.

Шаг 1. Дифференцируем закон вращения и получаем угловую скорость. Угловая скорость есть первая производная угла поворота по времени, поэтому дифференцируем многочлен почленно:

$$\omega(t) = \frac{d\varphi}{dt} = 6t^2 - 10t + 3$$

В момент $t = 2$ с это даёт $\omega = 6 \cdot 4 - 10 \cdot 2 + 3 = 7$ рад/с.

Шаг 2. Дифференцируем ещё раз и получаем угловое ускорение. Угловое ускорение - производная угловой скорости, то есть вторая производная угла:

$$\varepsilon(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\varphi}{dt^2} = 12t - 10$$

Подставляем момент времени: $\varepsilon = 12 \cdot 2 - 10 = 14$ рад/с².

Шаг 3. Разбираемся со знаком. Знак $\varepsilon$ сам по себе не говорит, разгоняется тело или тормозит. Смотреть нужно на знаки $\omega$ и $\varepsilon$ вместе: они совпадают - вращение ускоренное, расходятся - замедленное. Здесь $\omega = 7 > 0$ и $\varepsilon = 14 > 0$, значит в момент $t = 2$ с тело раскручивается.

Шаг 4. Считаем скорость и составляющие ускорения точки. У всех точек тела одна и та же $\omega$ и одно и то же $\varepsilon$, а вот линейные величины зависят от расстояния до оси. Скорость направлена по касательной к окружности радиуса $R$:

$$v = \omega R = 7 \cdot 0{,}4 = 2{,}8 \ \text{м/с}$$

Касательное ускорение отвечает за изменение модуля скорости и пропорционально угловому ускорению, нормальное - за поворот вектора скорости и пропорционально квадрату угловой скорости:

$$\begin{aligned} a_\tau &= \varepsilon R = 14 \cdot 0{,}4 = 5{,}6 \ \text{м/с}^2, \\ a_n &= \omega^2 R = 7^2 \cdot 0{,}4 = 19{,}6 \ \text{м/с}^2. \end{aligned}$$

Шаг 5. Складываем составляющие в полное ускорение. Векторы $\vec{a}_\tau$ и $\vec{a}_n$ взаимно перпендикулярны, поэтому модуль полного ускорения - гипотенуза прямоугольного треугольника:

$$a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2} = \sqrt{5{,}6^2 + 19{,}6^2} = \sqrt{415{,}52} \approx 20{,}38 \ \text{м/с}^2$$

Угол между полным ускорением и радиусом, проведённым к точке, находится через тангенс:

$$\operatorname{tg} \mu = \frac{a_\tau}{a_n} = \frac{5{,}6}{19{,}6} \approx 0{,}286 \quad \Rightarrow \quad \mu \approx 16^\circ$$

Ответ. Угловое ускорение тела $\varepsilon = 14$ рад/с²; для точки на радиусе 0,4 м скорость $v = 2{,}8$ м/с, касательное ускорение $a_\tau = 5{,}6$ м/с², нормальное $a_n = 19{,}6$ м/с², полное $a \approx 20{,}38$ м/с² под углом около 16° к радиусу.

Формула и откуда она берётся

Угловое ускорение описывает, насколько быстро меняется угловая скорость тела. По определению это её производная по времени, а через угол поворота - вторая производная:

$$\varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\varphi}{dt^2}$$

Единица измерения выводится прямо из определения: радиан в секунду делим на секунду и получаем рад/с². Радиан безразмерен, поэтому формально размерность углового ускорения - обратная секунда в квадрате, но в ответах принято писать рад/с², чтобы не спутать величину с линейным ускорением.

Угловое ускорение - вектор, направленный вдоль оси вращения. При ускоренном вращении он сонаправлен с вектором угловой скорости, при замедленном смотрит в противоположную сторону. В задачах с неподвижной осью от векторной записи обычно оставляют алгебраическую проекцию на ось: положительное значение отвечает вращению против часовой стрелки, если смотреть с конца оси.

Формулы $a_\tau = \varepsilon R$ и $a_n = \omega^2 R$ получаются дифференцированием скорости точки. Точка тела движется по окружности радиуса $R$, её скорость равна $v = \omega R$, и производная модуля скорости даёт $a_\tau = R \, d\omega/dt = \varepsilon R$. Вторая составляющая возникает из-за поворота вектора скорости и равна $v^2 / R = \omega^2 R$. Подробный вывод кинематических и динамических соотношений вращения разобран в статье про вращательное движение твёрдого тела вокруг оси, здесь же важно только то, что нужно для расчёта.

Второй способ: угловое ускорение из уравнения вращения

Если закон движения неизвестен, но заданы действующие моменты, угловое ускорение ищут из основного уравнения динамики вращения. Произведение момента инерции тела относительно оси на угловое ускорение равно сумме моментов внешних сил относительно той же оси:

$$J_z \varepsilon = \sum M_z \quad \Rightarrow \quad \varepsilon = \frac{\sum M_z}{J_z}$$

Покажем, что этот путь даёт тот же результат. Пусть вращается однородный диск массой $m = 6{,}25$ кг и радиусом $R = 0{,}4$ м, к которому приложен вращающий момент $M = 7$ Н·м, а трением в опорах пренебрегаем. Момент инерции диска относительно его оси:

$$J_z = \frac{mR^2}{2} = \frac{6{,}25 \cdot 0{,}16}{2} = 0{,}5 \ \text{кг} \cdot \text{м}^2$$

Отсюда угловое ускорение равно $\varepsilon = 7 / 0{,}5 = 14$ рад/с² - ровно то же число, что вышло из кинематики. Такой способ удобен, когда в условии есть массы, размеры и силы, но нет функции $\varphi(t)$: сначала считают момент инерции, затем сумму моментов, и только потом делят одно на другое. Разбор того, как правильно взять плечо и знак каждого момента, есть в задаче про момент силы относительно оси, а подбор момента инерции для разных тел - в статье об определении момента инерции относительно оси.

Если вращение задано другим способом

Закон $\varphi(t)$ в виде многочлена - не единственная форма условия. Чаще всего встречаются ещё три.

Равнопеременное вращение. Угловое ускорение постоянно, и производная вырождается в отношение конечных приращений: $\varepsilon = (\omega - \omega_0)/t$. Работают также формулы $\varphi = \omega_0 t + \varepsilon t^2 / 2$ и $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\varepsilon\varphi$. Если скорость дана в оборотах в минуту, её сначала переводят в радианы в секунду по формуле $\omega = \pi n / 30$; этот перевод и типовое торможение шкива подробно разобраны в задаче про угловую скорость вращения.

Через ускорение точки. Если известно касательное ускорение точки и её расстояние от оси, угловое ускорение получается делением: $\varepsilon = a_\tau / R$. Угловую скорость при этом находят из нормальной составляющей: $\omega = \sqrt{a_n / R}$. Приём выручает, когда в условии заданы не угловые, а линейные характеристики одной из точек обода. Общая схема разложения ускорения на составляющие разобрана в задаче про ускорение точки.

Плоскопараллельное движение. Угловое ускорение плоской фигуры считается так же, как при вращении вокруг оси, - по второй производной угла поворота. Разница в том, что ускорение точки складывается из ускорения полюса и вращательной части вокруг полюса, поэтому формулы $a_\tau = \varepsilon R$ и $a_n = \omega^2 R$ описывают только вращательное слагаемое. Детали - в материале про плоскопараллельное движение твёрдого тела.

Проверка ответа

Первая проверка - численное дифференцирование. Возьмём момент $t = 2{,}01$ с: угловая скорость равна $\omega = 6 \cdot 2{,}01^2 - 10 \cdot 2{,}01 + 3 = 7{,}1406$ рад/с. Разделив приращение на шаг, получаем $(7{,}1406 - 7)/0{,}01 = 14{,}06$ рад/с², что при уменьшении шага стремится к точному значению 14.

Вторая проверка - соотношение составляющих. Полное ускорение обязано быть больше каждой из составляющих по отдельности, но меньше их арифметической суммы: $19{,}6 < 20{,}38 < 25{,}2$. Если полученное число выпало из этого коридора, значит потеряна степень или перепутаны формулы.

Третья проверка - размерности. Угловое ускорение измеряется в рад/с², линейные ускорения в м/с². Если в ответе на угловое ускорение появились метры, где-то лишний раз умножили на радиус.

Частые ошибки

• Дифференцируют угол один раз и называют результат угловым ускорением. Первая производная - это угловая скорость, угловое ускорение получается только после второго дифференцирования.
• Подставляют число вместо функции до дифференцирования. Если сначала вычислить $\varphi(2) = 2$ рад, то дифференцировать уже нечего: производную берут от функции и только потом подставляют момент времени.
• Считают, что положительное $\varepsilon$ всегда означает разгон. В той же задаче при $t = 1$ с получается $\omega = -1$ рад/с и $\varepsilon = 2$ рад/с²: знаки разные, модуль угловой скорости падает, то есть вращение замедленное.
• Путают угловое ускорение с касательным. $\varepsilon$ измеряется в рад/с² и одинаково для всей детали, $a_\tau$ измеряется в м/с² и у каждой точки своё, они связаны множителем $R$.
• Складывают $a_\tau$ и $a_n$ арифметически. Составляющие перпендикулярны, поэтому складывать их нужно по теореме Пифагора: сумма 25,2 м/с² вместо 20,38 м/с² завышает ответ почти на четверть.
• Берут диаметр вместо радиуса. В условии расстояние до оси задают то радиусом, то диаметром колеса; подстановка диаметра сразу удваивает и скорость, и оба ускорения.
• Применяют формулу $\varepsilon = \Delta\omega / \Delta t$ к неравнопеременному вращению. Она верна только при постоянном угловом ускорении; в общем случае это лишь средняя величина за интервал.

FAQ

Чем угловое ускорение отличается от линейного? Угловое ускорение характеризует тело целиком и измеряется в рад/с²: у всех точек детали оно одно и то же. Линейное касательное ускорение относится к конкретной точке, измеряется в м/с² и растёт с удалением от оси по закону $a_\tau = \varepsilon R$. У точки на самой оси касательное ускорение равно нулю, хотя угловое ускорение тела отлично от нуля.

Может ли угловое ускорение быть отрицательным? Да, и это нормально. Знак показывает направление вектора относительно выбранного положительного направления оси, а не факт торможения. Замедленным вращение будет тогда, когда знаки $\omega$ и $\varepsilon$ противоположны.

Как найти угловое ускорение, если известны только обороты в минуту и время разгона? Перевести частоту в угловую скорость по формуле $\omega = \pi n / 30$, а затем разделить приращение скорости на время: при разгоне из покоя до 1500 об/мин за 10 с получится $\omega = 157$ рад/с и $\varepsilon = 15{,}7$ рад/с².

Как быть, если угловое ускорение не постоянно? Тогда формулы равнопеременного вращения не работают и нужно дифференцировать закон $\varphi(t)$ или решать уравнение $J_z \varepsilon = \sum M_z$ как дифференциальное. Постоянство углового ускорения - это отдельное допущение условия, а не общее свойство вращения.

Коротко

1. Угловое ускорение - вторая производная угла поворота по времени: $\varepsilon = d\omega/dt = d^2\varphi/dt^2$, единица измерения рад/с².
2. Для закона $\varphi = 2t^3 - 5t^2 + 3t$ получаем $\omega = 6t^2 - 10t + 3$ и $\varepsilon = 12t - 10$, откуда при $t = 2$ с $\omega = 7$ рад/с и $\varepsilon = 14$ рад/с².
3. Ускорение точки на радиусе 0,4 м раскладывается на касательное $a_\tau = \varepsilon R = 5{,}6$ м/с² и нормальное $a_n = \omega^2 R = 19{,}6$ м/с², полное $a \approx 20{,}38$ м/с².
4. Если закон движения не задан, угловое ускорение находят из уравнения вращения $\varepsilon = \sum M_z / J_z$; для диска с $J_z = 0{,}5$ кг·м² и моментом 7 Н·м это те же 14 рад/с².
5. Разгон или торможение определяют не по знаку $\varepsilon$, а по совпадению знаков $\omega$ и $\varepsilon$.