Вращательное движение твёрдого тела вокруг оси

Вращательное движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси - это движение, при котором все точки тела описывают окружности с центрами на одной прямой, оси вращения, и за одинаковое время поворачиваются на один и тот же угол. Маховик, шкив, колесо, ротор двигателя, вал станка - все они в задачах механики моделируются именно так. От поступательного движения этот случай отличается тем, что мерой инертности служит не масса, а момент инерции, а роль силы играет момент силы. Ниже разберём кинематику вращения, основное уравнение динамики, энергию и момент импульса, а также типовые ошибки. Чтобы сразу увидеть, как связаны угловое ускорение, момент инерции и энергия, покрути калькулятор ниже: выбери форму тела и параметры, а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Кинематика вращения: угол, угловая скорость и ускорение

Положение вращающегося тела задаётся одной величиной - углом поворота $\varphi$ (в радианах). Скорость изменения угла называется угловой скоростью, а скорость изменения угловой скорости - угловым ускорением:

$\omega = \frac{d\varphi}{dt}, \qquad \varepsilon = \frac{d\omega}{dt}.$

При постоянном угловом ускорении $\varepsilon = \text{const}$ кинематика вращения полностью повторяет равноускоренное движение, только линейные величины заменены угловыми:

$\omega = \omega_0 + \varepsilon t, \qquad \varphi = \omega_0 t + \frac{\varepsilon t^2}{2},$

где $\omega_0$ - начальная угловая скорость. Угловая скорость растёт линейно со временем, а угол поворота - по параболе, и это хорошо видно на двух кривых в калькуляторе выше. Любая точка тела на расстоянии $r$ от оси имеет линейную скорость $v = \omega r$ и центростремительное ускорение $a_n = \omega^2 r$.

Рассчитать для своей задачи

Момент инерции тела

Момент инерции - это мера инертности тела при вращении, аналог массы. Он показывает, насколько трудно раскрутить тело или остановить его. Для системы точек момент инерции относительно оси равен сумме произведений масс на квадраты расстояний до оси:

$I = \sum_i m_i r_i^2, \qquad I = \int r^2 \, dm.$

Чем дальше масса от оси, тем сильнее она вносит вклад: расстояние входит в квадрате. Поэтому обруч, у которого вся масса на радиусе $R$, имеет вдвое больший момент инерции, чем сплошной диск той же массы. Для однородных тел момент инерции относительно оси симметрии удобно записывать в виде $I = k\, m R^2$, где коэффициент $k$ зависит только от формы:

$I_{\text{диск}} = \tfrac12 m R^2, \quad I_{\text{обруч}} = m R^2, \quad I_{\text{шар}} = \tfrac25 m R^2, \quad I_{\text{стержень}} = \tfrac{1}{12} m L^2.$

Рассчитать для своей задачи

Если ось не проходит через центр масс, к моменту инерции относительно центральной оси добавляется слагаемое по теореме Гюйгенса-Штейнера: $I = I_C + m d^2$, где $d$ - расстояние между осями.

Основное уравнение динамики вращения

Роль силы при вращении играет момент силы $M = F r \sin\alpha$ - произведение силы на плечо. Основное уравнение динамики вращательного движения связывает суммарный момент сил с угловым ускорением через момент инерции:

$M = I \varepsilon.$

Это прямой аналог второго закона Ньютона $F = m a$: момент силы вызывает угловое ускорение, а момент инерции определяет, насколько тело сопротивляется этому ускорению. Зная момент силы и момент инерции, можно найти угловое ускорение $\varepsilon = M / I$, а дальше по кинематическим формулам - угловую скорость и угол поворота в любой момент. В калькуляторе наверху момент силы $M$ считается именно по этой формуле для выбранной формы тела.

Энергия и момент импульса

Вращающееся тело запасает кинетическую энергию вращения, которая выражается через момент инерции и угловую скорость аналогично $\tfrac12 m v^2$:

$E_к = \frac{I \omega^2}{2}.$

Эта энергия растёт как квадрат угловой скорости, поэтому раскрученный маховик хранит много энергии и используется как накопитель. Работа момента силы при повороте на угол $\varphi$ равна $A = M \varphi$ и идёт на изменение этой энергии.

Вторая ключевая величина - момент импульса (момент количества движения):

$L = I \omega.$

Если суммарный момент внешних сил равен нулю, момент импульса сохраняется: $I\omega = \text{const}$. Именно поэтому фигурист, прижимая руки, уменьшает $I$ и резко увеличивает $\omega$. На правом графике калькулятора видно, что при росте скорости энергия $E_к$ растёт быстрее (квадратично), чем момент импульса $L$ (линейно), - это удобно для самопроверки в задачах.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную постановку: сплошной диск массой $m = 2$ кг и радиусом $R = 0{,}3$ м начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением $\varepsilon = 4$ рад/с². Нужно найти момент инерции, момент силы, угловую скорость и угол поворота через $t = 5$ с, а также энергию вращения.

Сначала момент инерции сплошного диска относительно его оси:

$I = \tfrac12 m R^2 = \tfrac12 \cdot 2 \cdot 0{,}3^2 = 0{,}09 \ \text{кг·м}^2.$

Момент силы, обеспечивающий это ускорение, по основному уравнению динамики:

$M = I \varepsilon = 0{,}09 \cdot 4 = 0{,}36 \ \text{Н·м}.$

Угловая скорость и угол поворота к моменту $t = 5$ с (начальная скорость $\omega_0 = 0$):

$\omega = \varepsilon t = 4 \cdot 5 = 20 \ \text{рад/с}, \qquad \varphi = \frac{\varepsilon t^2}{2} = \frac{4 \cdot 25}{2} = 50 \ \text{рад}.$

Наконец, кинетическая энергия вращения и момент импульса:

$E_к = \frac{I \omega^2}{2} = \frac{0{,}09 \cdot 400}{2} = 18 \ \text{Дж}, \qquad L = I \omega = 0{,}09 \cdot 20 = 1{,}8 \ \text{кг·м}^2/\text{с}.$

Эти же числа выдаёт калькулятор при дефолтных параметрах - можно сверить каждый шаг.

Частые ошибки

• Путаница массы и момента инерции. При вращении инертность задаёт не масса, а момент инерции $I$. Подставлять массу вместо $I$ в уравнение динамики или в энергию нельзя.
• Неверный коэффициент формы. У диска $I = \tfrac12 m R^2$, у обруча $I = m R^2$, у шара $\tfrac25 m R^2$. Перепутать множитель - частая ошибка; всегда уточняйте, какое тело и относительно какой оси.
• Забытая теорема Штейнера. Если ось не через центр масс, нужно прибавить $m d^2$. Расчёт с центральным моментом инерции для смещённой оси даёт заниженный результат.
• Угол в градусах. В формулах кинематики вращения угол $\varphi$ и скорость $\omega$ берутся в радианах и рад/с. Подстановка градусов ломает все дальнейшие вычисления.
• Линейная энергия вместо квадратичной. Энергия растёт как $\omega^2$, а не линейно. При удвоении скорости энергия вырастает вчетверо, а не вдвое.

FAQ

Чем момент инерции отличается от массы? Масса определяет инертность при поступательном движении, а момент инерции - при вращательном. Момент инерции зависит не только от массы, но и от того, как она распределена относительно оси: чем дальше масса от оси, тем больше $I$, потому что расстояние входит в квадрате.

Как найти угловое ускорение, если известен момент силы? По основному уравнению динамики вращения $M = I\varepsilon$ угловое ускорение равно $\varepsilon = M / I$. Сначала вычисляют момент инерции тела относительно оси, затем делят на него суммарный момент внешних сил.

Почему фигурист крутится быстрее, прижимая руки? Это закон сохранения момента импульса $L = I\omega$. При отсутствии внешнего момента $L$ постоянен: прижимая руки, фигурист уменьшает момент инерции $I$, и угловая скорость $\omega$ автоматически возрастает во столько же раз.

Коротко

Вращательное движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси описывается угловыми величинами: угол $\varphi$, угловая скорость $\omega = \omega_0 + \varepsilon t$ и угловое ускорение $\varepsilon$. Мерой инертности служит момент инерции $I = k m R^2$, а динамику задаёт основное уравнение $M = I\varepsilon$. Запасённая энергия равна $E_к = \tfrac12 I\omega^2$, а момент импульса $L = I\omega$ сохраняется при нулевом моменте внешних сил. Эти пять формул закрывают большинство учебных задач на вращение.