Теорема об изменении момента количества движения

Теорема об изменении момента количества движения - это вращательный аналог второго закона Ньютона: как сила изменяет импульс точки, так момент силы изменяет угловой момент тела. Именно она объясняет, почему фигурист ускоряет вращение, притягивая руки к корпусу, и почему гироскоп не падает при наклоне. Ниже выведем формулу из первых принципов, разберём основные случаи применения и разберём типовые задачи. Чтобы сразу почувствовать, как связаны момент инерции, угловое ускорение и угловой момент, поработайте с калькулятором ниже.

Что такое момент количества движения

Момент количества движения (угловой момент) материальной точки относительно фиксированной точки $O$ - это векторное произведение радиус-вектора $\vec{r}$ на импульс точки $\vec{p} = m\vec{v}$:

$\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}.$

Модуль вектора $\vec{L}$ равен

$L = m v r \sin\alpha,$

где $\alpha$ - угол между $\vec{r}$ и $\vec{v}$. Для точки, движущейся по окружности радиуса $r$, вектор скорости перпендикулярен радиусу ($\alpha = 90°$), поэтому

$L = m v r = m \omega r^2 = I \omega,$

где $I = mr^2$ - момент инерции точки, $\omega$ - угловая скорость. Для твёрдого тела выражение $L = I\omega$ обобщается на всю систему точек, если $I$ понимается как суммарный момент инерции относительно оси вращения.

Направление $\vec{L}$ определяется правилом правой руки: сверните пальцы правой руки в сторону вращения - большой палец укажет направление $\vec{L}$.

Рассчитать для своей задачи

Формула теоремы об изменении момента количества движения

Продифференцируем $\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$ по времени:

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{dt} \times m\vec{v} + \vec{r} \times m\frac{d\vec{v}}{dt}.$

Первое слагаемое $\vec{v} \times m\vec{v} = 0$ (векторное произведение коллинеарных векторов), поэтому

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{r} \times m\vec{a} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{M},$

где $\vec{M}$ - момент силы $\vec{F}$ относительно точки $O$. Полученное выражение - теорема об изменении момента количества движения:

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M}.$

В проекции на ось $z$:

$\frac{dL_z}{dt} = M_z.$

Для системы материальных точек суммируют по всем частицам: внутренние силы попарно компенсируются (третий закон Ньютона), и остаётся только суммарный момент внешних сил:

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M}_{\text{внеш}}.$

Именно в таком виде теорема используется в механике твёрдого тела.

Рассчитать для своей задачи

Связь с уравнением вращательного движения

Для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с постоянным моментом инерции $I$:

$L = I\omega \implies \frac{dL}{dt} = I\frac{d\omega}{dt} = I\varepsilon,$

где $\varepsilon$ - угловое ускорение. Теорема принимает вид уравнения вращательного движения:

$M = I\varepsilon.$

Это прямой аналог второго закона Ньютона $F = ma$: роль силы играет момент силы $M$, роль массы - момент инерции $I$, роль линейного ускорения - угловое ускорение $\varepsilon$. Именно это уравнение стоит в основе расчёта маховиков, зубчатых передач и турбин.

Интегральная форма: импульс момента силы

Если проинтегрировать теорему по времени, получим интегральную форму:

$\vec{L}_2 - \vec{L}_1 = \int_{t_1}^{t_2} \vec{M}\,dt = \vec{S}_M,$

где $\vec{S}_M$ - импульс момента силы за время от $t_1$ до $t_2$. Аналог этого выражения в линейной механике - $m\vec{v}_2 - m\vec{v}_1 = \vec{F}\Delta t$. Из интегральной формы удобно находить изменение углового момента, не зная закона движения: достаточно знать суммарный «моментный импульс» за весь промежуток.

Закон сохранения момента количества движения

Если суммарный момент внешних сил равен нулю ($\vec{M}_{\text{внеш}} = 0$), то $d\vec{L}/dt = 0$, то есть угловой момент системы сохраняется:

$\vec{L} = \text{const}.$

Это закон сохранения момента количества движения - один из фундаментальных законов природы, связанный с изотропией пространства (теорема Нётер). На практике закон применяют, когда:

• внешние силы проходят через ось вращения (их моменты равны нулю);
• система изолирована от внешних воздействий;
• нужно связать начальное и конечное состояния без явного интегрирования уравнений движения.

Пример - фигурист. Момент инерции фигуриста относительно вертикальной оси при вытянутых руках $I_1 \approx 3{,}5$ кг·м², угловая скорость $\omega_1 \approx 2$ рад/с. При прижатии рук момент инерции уменьшается до $I_2 \approx 0{,}7$ кг·м². Из $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$ получаем $\omega_2 = 10$ рад/с - в пять раз быстрее.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную постановку: маховик имеет момент инерции $I = 2$ кг·м² и вращается с начальной угловой скоростью $\omega_0 = 3$ рад/с. К нему приложен постоянный момент силы $M = 4$ Н·м в течение $t = 2$ с. Нужно найти угловое ускорение, конечную угловую скорость и изменение углового момента.

Шаг 1. Угловое ускорение. Из теоремы $dL/dt = M$ и $L = I\omega$ при постоянном $I$ следует:

$M = I\varepsilon \implies \varepsilon = \frac{M}{I} = \frac{4}{2} = 2\ \text{рад/с}^2.$

Шаг 2. Конечная угловая скорость. Угловое ускорение постоянно, поэтому используем кинематическую формулу:

$\omega = \omega_0 + \varepsilon t = 3 + 2 \cdot 2 = 7\ \text{рад/с}.$

Шаг 3. Изменение углового момента. По определению:

$\Delta L = I\omega - I\omega_0 = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 3 = 14 - 6 = 8\ \text{кг·м}^2/\text{с}.$

Шаг 4. Проверка через импульс момента силы. По теореме $\Delta L = M \cdot t = 4 \cdot 2 = 8$ кг·м²/с - совпадает. Оба графика в калькуляторе выше наглядно показывают этот результат: угловой момент $L(\tau) = 6 + 4\tau$ растёт линейно, а площадь прямоугольника под кривой $M = 4$ Н·м на отрезке $[0;\,2]$ с равна 8.

Гироскоп и прецессия: применение теоремы

Один из самых наглядных следствий теоремы - прецессия гироскопа. Гироскоп с большим угловым моментом $\vec{L}$, направленным вдоль оси вращения, подвешен в точке O. Сила тяжести $mg$ создаёт момент $\vec{M}$ перпендикулярно $\vec{L}$. По теореме $d\vec{L}/dt = \vec{M}$: вектор $\vec{L}$ поворачивается в направлении $\vec{M}$, то есть ось гироскопа медленно вращается вокруг вертикали - это и есть прецессия.

Угловая скорость прецессии $\Omega$ определяется из условия, что за малый промежуток $dt$ изменение углового момента $dL = L\,\Omega\,dt$ равно импульсу момента силы $M\,dt$:

$\Omega = \frac{M}{L} = \frac{mgd}{I\omega},$

где $d$ - расстояние от точки подвеса до центра масс. Чем больше угловой момент (то есть чем быстрее крутится гироскоп), тем медленнее прецессия. Именно это свойство используется в гироскопических стабилизаторах морских судов, навигационных системах и игрушечных волчках.

Момент количества движения в задачах с переменным моментом инерции

В задачах, где система деформируется - танцор прижимает руки, планета сжимается при остывании, - момент инерции $I$ зависит от времени. Тогда производную нельзя вынести за знак:

$M = \frac{dL}{dt} = \frac{d(I\omega)}{dt} = I\frac{d\omega}{dt} + \omega\frac{dI}{dt}.$

Если $M = 0$ (нет внешних моментов), то $d(I\omega)/dt = 0$, то есть $L = I\omega = \text{const}$. Из этого прямо следует закон сохранения: при уменьшении $I$ угловая скорость $\omega$ возрастает обратно пропорционально.

Числовой пример с фигуристом. В положении с вытянутыми руками $I_1 = 3{,}5$ кг·м², $\omega_1 = 2$ рад/с, $L = 7$ кг·м²/с. При прижатии рук $I_2 = 0{,}7$ кг·м²:

$\omega_2 = \frac{L}{I_2} = \frac{7}{0{,}7} = 10\ \text{рад/с}.$

Кинетическая энергия при этом меняется: $T_1 = L^2/(2I_1) = 7\ \text{Дж}$, а $T_2 = L^2/(2I_2) = 35\ \text{Дж}$. Откуда берётся разница в 28 Дж? Фигурист совершает работу мышцами, подтягивая руки - эта работа переходит в кинетическую энергию вращения.

Момент количества движения системы тел

Для системы из $n$ частиц полный угловой момент - это сумма угловых моментов всех частиц:

$\vec{L} = \sum_{i=1}^n \vec{L}_i = \sum_{i=1}^n m_i \,(\vec{r}_i \times \vec{v}_i).$

Производная по времени:

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \sum_{i} \frac{d\vec{L}_i}{dt} = \sum_{i} \vec{M}_i^{\text{внеш}} + \sum_{i \ne j} \vec{M}_{ij},$

где $\vec{M}_{ij}$ - момент силы, с которой $j$-я частица действует на $i$-ю. По третьему закону Ньютона $\vec{F}_{ij} = -\vec{F}_{ji}$, и если внутренние силы центральные (направлены по $\vec{r}_{ij}$), то их моменты попарно компенсируются: $\vec{M}_{ij} + \vec{M}_{ji} = 0$. В итоге:

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M}_{\text{внеш}},$

где $\vec{M}_{\text{внеш}}$ - суммарный момент только внешних сил. Именно это позволяет рассматривать твёрдое тело как единое целое и писать $M = I\varepsilon$.

Частые ошибки

• Момент инерции - не константа при изменении конфигурации. Если тело деформируется или его части перемещаются (фигурист, расправляющий руки), $I$ меняется, и уравнение $M = I\varepsilon$ нужно записывать в полной форме $M = dL/dt = d(I\omega)/dt$, раскрывая производную произведения.
• Путаница с полюсом. Момент количества движения зависит от точки, относительно которой берётся. При смене полюса $L$ меняется. Нужно явно фиксировать полюс и держать его постоянным в течение всего решения.
• Знак момента силы. Момент положителен, если сила стремится повернуть тело в направлении, принятом за положительное (обычно против часовой стрелки). Неправильный знак приводит к ошибкам в направлении ускорения.
• Применение теоремы без учёта всех внешних сил. В системе из нескольких тел (блок + груз) нельзя записать $dL/dt = 0$, если нить натягивает тело извне. Нужно включить в систему все тела, к которым приложены внешние силы, либо явно учесть реакции опор.
• Смешение линейного и углового импульсов. Импульс силы $F\Delta t$ изменяет линейный момент (импульс тела), а импульс момента силы $M\Delta t$ изменяет угловой момент. Формулы не взаимозаменяемы.

FAQ

Чем момент количества движения отличается от момента силы? Момент количества движения $\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$ - это характеристика состояния тела (кинематическая величина), зависящая от массы, скорости и расстояния до полюса. Момент силы $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ - это характеристика действия (динамическая величина). Теорема связывает их: $d\vec{L}/dt = \vec{M}$.

Когда применять интегральную форму теоремы, а когда дифференциальную? Дифференциальная форма $d\vec{L}/dt = \vec{M}$ удобна, когда известен закон изменения момента силы и нужно найти угловое ускорение или функцию $\omega(t)$. Интегральная форма $\Delta \vec{L} = \int \vec{M}\,dt$ выгоднее, когда момент силы задан графически или когда нужно найти суммарное изменение за конечный промежуток (удар, кратковременный импульс момента).

Верна ли теорема в неинерциальной системе отсчёта? В неинерциальной системе (вращающейся или ускоренной) появляются псевдосилы. Их моменты нужно включать в правую часть теоремы, иначе закон сохранения и уравнение $d\vec{L}/dt = \vec{M}$ будут неверны. В инерциальной системе (или при расчёте относительно специально выбранных «динамических» полюсов) теорема справедлива в исходной форме.

Коротко

Теорема об изменении момента количества движения утверждает: производная углового момента тела (системы) по времени равна суммарному моменту внешних сил, $d\vec{L}/dt = \vec{M}$. При нулевом моменте внешних сил угловой момент сохраняется - это используется при анализе вращения фигуристов, гироскопов, спутников. Интегральная форма теоремы $\Delta L = S_M$ связывает изменение углового момента с импульсом момента силы и применяется при ударных нагрузках и кратковременных воздействиях.