Как найти момент силы относительно оси: пример расчёта

Дано: рукоятка $OA$ длиной $0{,}8$ м лежит в горизонтальной плоскости, в точке $A$ приложена сила $F = 200$ Н. Сила наклонена к горизонтальной плоскости под углом $\gamma = 30^\circ$, а её горизонтальная проекция составляет с рукояткой угол $\varphi = 60^\circ$. Найти: момент этой силы относительно вертикальной оси $z$, проходящей через точку $O$.

Момент относительно оси ищут в два действия: силу проецируют на плоскость, перпендикулярную оси, и берут момент только этой проекции относительно точки, где ось протыкает плоскость. Ответ: $M_z = +120$ Н·м, вращение против часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси $z$. Калькулятор сверху пересчитывает момент под твои числа и сразу показывает оба случая, когда он обращается в ноль.

Решение по шагам

Дано.

Найти: момент $M_z$ относительно вертикальной оси $z$, проходящей через $O$.

Шаг 1. Выбрать плоскость и центр моментов. Ось $z$ вертикальна, значит перпендикулярная ей плоскость - горизонтальная, та самая, в которой лежит рукоятка. Ось пересекает эту плоскость в точке $O$, и именно $O$ будет центром моментов. Вся дальнейшая работа идёт на плоском чертеже: пространственную задачу мы свели к плоской.

Шаг 2. Спроецировать силу на плоскость. Раскладываем силу на две составляющие: одну вдоль оси, вторую в плоскости.

$F_{xy} = F\cos\gamma = 200 \cdot \cos 30^\circ = 173{,}2\ \text{Н}, \qquad F_z = F\sin\gamma = 200 \cdot \sin 30^\circ = 100\ \text{Н}$

Осевая составляющая $F_z$ в расчёте не участвует: сила, параллельная оси, повернуть тело вокруг неё не может. В ответ идёт только $F_{xy} = 173{,}2$ Н.

Шаг 3. Найти плечо проекции. Плечо - это перпендикуляр от точки $O$ до линии действия проекции, а не расстояние до точки приложения силы. Отрезок $OA$ и линия действия $F_{xy}$ расходятся под углом $\varphi$, поэтому

$h = OA \cdot \sin\varphi = 0{,}8 \cdot \sin 60^\circ = 0{,}693\ \text{м}$

Шаг 4. Перемножить. Момент относительно оси равен моменту проекции относительно точки $O$:

$|M_z| = F_{xy} \cdot h = 173{,}2 \cdot 0{,}693 = 120{,}0\ \text{Н} \cdot \text{м}$

Шаг 5. Поставить знак. Смотрим на горизонтальную плоскость с положительного конца оси $z$, то есть сверху. Проекция силы разворачивает рукоятку против часовой стрелки, и по общему правилу такому вращению приписывают плюс.

Ответ: $M_z = +120$ Н·м.

Полезно сразу прикинуть порядок. Если бы сила целиком лежала в горизонтальной плоскости и стояла к рукоятке под прямым углом, момент был бы $F \cdot OA = 160$ Н·м. Наши $120$ Н·м - это ровно $75\ \%$ от максимума, и понятно откуда: наклон съел множитель $\cos 30^\circ$, а разворот в плане - ещё $\sin 60^\circ$, вместе как раз $0{,}75$.

Формула и откуда она берётся

Определение звучит так: моментом силы относительно оси называется момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятый относительно точки пересечения оси с плоскостью.

$M_z(\vec F) = \pm F_{xy} \cdot h$

Здесь $F_{xy}$ - модуль проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, $h$ - кратчайшее расстояние от оси до линии действия этой проекции. Знак ставится по направлению вращения, которое проекция сообщает телу: против часовой стрелки при взгляде навстречу оси - плюс, по часовой - минус.

Почему осевую составляющую можно просто выбросить, видно из векторной записи. Момент относительно точки $O$ - вектор $\vec M_O = \vec r \times \vec F$, а момент относительно оси - его проекция на эту ось: $M_z = \vec M_O \cdot \vec k$. Составляющая $F_z$ параллельна $\vec k$, её векторное произведение с $\vec r$ даёт вектор, перпендикулярный оси, и при проецировании на ось обнуляется. Остаётся вклад одной лишь $F_{xy}$.

Отсюда же следует практическое правило: момент относительно оси - скаляр со знаком, а не вектор. Складывать моменты разных сил относительно одной оси можно обычной алгебраической суммой, что и делают в уравнениях равновесия пространственной системы: три суммы проекций и три суммы моментов относительно осей. На том же приёме стоит и плоская задача о том, как определить реакции опор, только там ось одна и перпендикулярна чертежу.

Координатный способ: момент через проекции силы

Когда углы неизвестны, а заданы координаты точки приложения и проекции силы, удобнее считать по формулам, которые получаются раскрытием векторного произведения:

$M_x = y F_z - z F_y, \qquad M_y = z F_x - x F_z, \qquad M_z = x F_y - y F_x$

Разложим нашу силу. Направим ось $x$ вдоль рукоятки, тогда $A(0{,}8;\ 0;\ 0)$ м, а проекции силы равны

$F_x = F\cos\gamma\cos\varphi = 86{,}6\ \text{Н}, \qquad F_y = F\cos\gamma\sin\varphi = 150{,}0\ \text{Н}, \qquad F_z = -F\sin\gamma = -100{,}0\ \text{Н}$

Подставляем в формулу для $M_z$:

$M_z = x F_y - y F_x = 0{,}8 \cdot 150{,}0 - 0 \cdot 86{,}6 = 120{,}0\ \text{Н} \cdot \text{м}$

Тот же ответ, полученный без единого чертежа, и знак вышел сам собой. Этот способ хорош ещё и тем, что попутно даёт моменты относительно двух других осей: $M_x = 0$, а $M_y = -x F_z = 80$ Н·м. В калькуляторе сверху второй режим считает именно так, и его поля заполнены этими же проекциями - можно убедиться, что оба пути ведут к одному числу.

Когда момент относительно оси равен нулю

Два случая нужно узнавать с одного взгляда, потому что они экономят половину выкладок.

Первый: сила параллельна оси. Её проекция на перпендикулярную плоскость равна нулю, значит и момент нулевой. На графике в калькуляторе это правый край синей кривой: при наклоне $\gamma = 90^\circ$ момент падает до нуля, как бы велика ни была сила.

Второй: линия действия силы пересекает ось. Проекция силы тогда проходит через точку $O$, плечо $h = 0$, момент снова нулевой. Это левый край оранжевой кривой при $\varphi = 0^\circ$: сила тянет рукоятку вдоль неё самой и ничего не вращает.

Оба случая объединяются одним условием: момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда сила и ось лежат в одной плоскости. Пересечение под любым углом и параллельность - это как раз два способа оказаться в общей плоскости. Полезная проверка для составных задач: силу, лежащую в одной плоскости с осью, можно не расписывать по координатам, а сразу вычеркнуть из уравнения моментов.

Не путай эту величину с моментом инерции относительно оси: там суммируются массы на квадрат расстояния и получается мера инертности тела в $\text{кг} \cdot \text{м}^2$, здесь - действие силы в ньютон-метрах. Одинаковое слово «момент» и одинаковый хвост «относительно оси» сбивают с толку, а формулы не имеют ничего общего.

Частые ошибки

• Берут полную силу вместо её проекции. Если сила наклонена к плоскости, множитель $\cos\gamma$ обязателен: в нашей задаче забытый косинус завысил бы ответ со $120$ до $138{,}6$ Н·м.
• Путают плечо с расстоянием до точки приложения. Плечо - перпендикуляр от оси до линии действия проекции, поэтому $h = 0{,}693$ м, а не $0{,}8$ м. Подробнее этот шаг разобран в задаче про то, как найти плечо силы на плоскости.
• Проецируют на неправильную плоскость. Плоскость обязана быть перпендикулярна той оси, относительно которой ищут момент. Для моментов относительно $x$, $y$ и $z$ это три разные плоскости и три разных чертежа.
• Теряют знак. Модуль момента ничего не говорит о направлении вращения, а в уравнении равновесия знак решает всё. Выбери положительное направление обхода один раз и держись его во всех слагаемых.
• Умножают проекцию силы на проекцию расстояния дважды. Формула $M_z = F \cdot OA \cdot \cos\gamma \cdot \sin\varphi$ уже содержит оба множителя: добавлять к ней ещё один синус или косинус не нужно.
• Приписывают момент осевой составляющей. Сила $F_z = 100$ Н в ответ не входит вовсе, хотя она вдвое меньше полной силы и выглядит внушительно. Она нагружает подшипник вдоль вала, но не вращает его.

FAQ

Момент относительно оси и момент относительно точки - это одно и то же? Нет. Момент относительно точки - вектор $\vec M_O = \vec r \times \vec F$, у него есть направление в пространстве. Момент относительно оси - скаляр со знаком, равный проекции этого вектора на ось. Из одного момента относительно точки получаются сразу три осевых момента, если спроецировать его на $x$, $y$ и $z$.

В каких единицах измеряется момент силы? В ньютон-метрах, $\text{Н} \cdot \text{м}$. Записывать их как джоули нельзя, хотя размерность совпадает: джоуль оставляют за работой и энергией. Кстати, работа момента силы при вращении как раз получается умножением момента на угол поворота в радианах.

Как быстро определить знак, не рисуя вид сверху? Правилом правой руки: направь большой палец вдоль положительного направления оси, и если сила стремится крутить тело по остальным четырём пальцам, момент положителен. Координатная формула $M_z = x F_y - y F_x$ делает то же самое автоматически, поэтому при сомнениях проще посчитать по ней.

Что делать, если ось не совпадает ни с одной координатной осью? Найди момент относительно любой точки на этой оси как векторное произведение, а затем спроецируй результат на единичный вектор оси: $M_l = (\vec r \times \vec F) \cdot \vec e$. Это общий случай, из которого формулы для $x$, $y$ и $z$ выходят подстановкой ортов.

Коротко

1. Проведи плоскость, перпендикулярную оси, и отметь точку $O$ пересечения оси с ней.
2. Спроецируй силу на эту плоскость: $F_{xy} = F\cos\gamma = 173{,}2$ Н; составляющую вдоль оси отбрось.
3. Найди плечо проекции относительно точки $O$: $h = OA\sin\varphi = 0{,}693$ м.
4. Перемножь и поставь знак по направлению вращения: $M_z = +173{,}2 \cdot 0{,}693 = +120$ Н·м.
5. Проверь координатной формулой $M_z = x F_y - y F_x = 0{,}8 \cdot 150 = 120$ Н·м и помни про нулевые случаи: сила параллельна оси или пересекает её.