Как привести систему сил к точке: разбор задачи

Дано: прямоугольная плита $ABCD$ со сторонами $AB = 3$ м и $AD = 2$ м, вершины $A(0;\ 0)$, $B(3;\ 0)$, $C(3;\ 2)$, $D(0;\ 2)$. В точке $B$ приложена сила $F_1 = 60$ Н под углом $30^\circ$ к оси $Ox$, в точке $C$ - сила $F_2 = 40$ Н вертикально вверх, в точке $D$ - сила $F_3 = 20$ Н горизонтально влево. Дополнительно к плите приложена пара сил с моментом $M = 150$ Н·м по часовой стрелке. Найти: главный вектор и главный момент системы относительно точки $A$.

Приведение к точке - это теорема Пуансо в чистом виде: каждую силу переносим в центр $A$ и в уплату за перенос добавляем присоединённую пару. Ответ: главный вектор $R = 76{,}95$ Н под углом $65{,}5^\circ$ к оси $Ox$, главный момент $M_A = 100$ Н·м. Ни то, ни другое не обратилось в ноль, значит система сводится к одной равнодействующей, линия действия которой отстоит от точки $A$ на $d = 1{,}30$ м. Калькулятор сверху пересчитывает проекции, моменты и плечо под твои числа и показывает план с линией действия.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $R_x$, $R_y$, $R$, угол $\alpha$ главного вектора с осью $Ox$, главный момент $M_A$ и плечо $d$.

Шаг 1. Разложить каждую силу по осям. Проекция равна модулю силы, умноженному на косинус угла с соответствующей осью, а знак берётся по направлению:

$$\begin{aligned} F_{1x} &= F_1\cos 30^\circ = 60 \cdot 0{,}8660 = 51{,}96 \ \text{Н}, & F_{1y} &= F_1\sin 30^\circ = 60 \cdot 0{,}5 = 30 \ \text{Н} \\ F_{2x} &= 0, & F_{2y} &= +40 \ \text{Н} \\ F_{3x} &= -20 \ \text{Н}, & F_{3y} &= 0 \end{aligned}$$

Вертикальная сила даёт нулевую проекцию на $Ox$, горизонтальная - нулевую на $Oy$. Техника разложения подробно разобрана в задаче о том, как разложить силу на составляющие.

Шаг 2. Сложить проекции и получить главный вектор. Главный вектор равен геометрической сумме всех сил, а в проекциях это обычные алгебраические суммы:

$R_x = \sum F_{kx} = 51{,}96 + 0 - 20 = 31{,}96 \ \text{Н}, \qquad R_y = \sum F_{ky} = 30 + 40 + 0 = 70 \ \text{Н}$

$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{31{,}96^2 + 70^2} = \sqrt{1021{,}5 + 4900} = \sqrt{5921{,}5} = 76{,}95 \ \text{Н}$

Угол с осью $Ox$ находим через направляющий косинус: $\cos\alpha = R_x / R = 31{,}96 / 76{,}95 = 0{,}4153$, откуда $\alpha = 65{,}5^\circ$. Обе проекции положительны, значит вектор смотрит в первую четверть.

Шаг 3. Посчитать моменты сил относительно центра приведения. Для плоской задачи удобна координатная формула $M_A(\vec F) = x F_y - y F_x$, где $x$ и $y$ - координаты точки приложения. Положительным считаем момент против часовой стрелки:

$$\begin{aligned} M_A(\vec F_1) &= 3 \cdot 30 - 0 \cdot 51{,}96 = 90 \ \text{Н} \cdot \text{м} \\ M_A(\vec F_2) &= 3 \cdot 40 - 2 \cdot 0 = 120 \ \text{Н} \cdot \text{м} \\ M_A(\vec F_3) &= 0 \cdot 0 - 2 \cdot (-20) = 40 \ \text{Н} \cdot \text{м} \end{aligned}$$

Третья строка - самое опасное место расчёта. Точка $D$ лежит на оси $Oy$, её координата $x$ равна нулю, и по инерции хочется написать, что момент тоже нулевой. Но сила горизонтальна, её плечо относительно $A$ равно расстоянию $AD = 2$ м, и момент выходит вполне заметный. Если плечо считать геометрически, пригодится разбор задачи о том, как найти плечо силы.

Шаг 4. Сложить моменты вместе с парой. Момент пары входит в сумму как есть, без всякого плеча: пара одинаково закручивает тело относительно любой точки. По часовой стрелке - значит со знаком минус:

$M_A = \sum M_A(\vec F_k) + M = 90 + 120 + 40 - 150 = 100 \ \text{Н} \cdot \text{м}$

Шаг 5. Определить, к чему сводится система. Главный вектор не равен нулю, главный момент тоже, поэтому система приводится к одной равнодействующей. Её модуль равен модулю главного вектора, а линия действия смещена от центра на плечо:

$d = \frac{M_A}{R} = \frac{100}{76{,}95} = 1{,}30 \ \text{м}$

Смещать линию надо в ту сторону, где равнодействующая создаёт относительно $A$ момент того же знака, то есть против часовой стрелки. Проще всего указать точку пересечения с осью $Ox$: там $y = 0$, момент равен $x R_y$, откуда $x = M_A / R_y = 100 / 70 = 1{,}43$ м.

Ответ: $R_x = 31{,}96$ Н, $R_y = 70$ Н, $R = 76{,}95$ Н под углом $65{,}5^\circ$ к оси $Ox$; $M_A = 100$ Н·м. Система приводится к равнодействующей $R = 76{,}95$ Н, линия действия которой отстоит от точки $A$ на $d = 1{,}30$ м и пересекает ось $Ox$ при $x = 1{,}43$ м.

Формула и откуда она берётся

В основе всего лежит лемма о параллельном переносе силы. Силу $\vec F$, приложенную в точке $B$, можно перенести в любую точку $A$, если одновременно добавить пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно $A$. Доказывается это в одну строку: в точке $A$ прикладываем две взаимно уравновешенные силы $\vec F$ и $-\vec F$, которые ничего не меняют. Дальше исходная сила в $B$ и новая $-\vec F$ в $A$ образуют пару, а свободная $\vec F$ в $A$ остаётся как перенесённая сила.

Проделав это с каждой силой системы, получаем в центре $A$ пучок сходящихся сил и набор присоединённых пар. Пучок складывается в один вектор, пары - в одну пару. Отсюда и определения:

$\vec R = \sum \vec F_k, \qquad M_A = \sum M_A(\vec F_k)$

Первая величина называется главным вектором, вторая - главным моментом. Слово «главный» подчёркивает, что это не равнодействующая и не момент равнодействующей, а характеристики системы в выбранном центре.

Координатная формула момента $M_A(\vec F) = x F_y - y F_x$ - это записанная для плоскости проекция векторного произведения $\vec r \times \vec F$ на ось $z$. Полная пространственная версия с тремя проекциями разобрана в задаче о том, как найти проекции момента на оси. В плоской задаче остаётся одно число со знаком, и этим она заметно проще.

Четыре случая приведения плоской системы

Результат приведения полностью определяется тем, обратились ли в ноль главный вектор и главный момент:

Первая строка и есть условия равновесия плоской системы: три уравнения, из которых находят реакции связей в задаче про то, как определить реакции опор. Вторая строка особенная: если главный вектор нулевой, главный момент уже не зависит от центра приведения, ведь момент пары одинаков относительно любой точки.

Наш случай - четвёртый, и он сводится к третьему простым сдвигом центра. Достаточно взять новый центр на линии действия равнодействующей, и главный момент там обратится в ноль. Динамического винта, известного по пространственной статике, у плоской системы не бывает: главный момент всегда перпендикулярен плоскости, а главный вектор лежит в ней, так что угол между ними прямой всегда.

Что меняется при смене центра приведения

Главный вектор не меняется вообще - он собран из сил, а силы от выбора центра не зависят. Это первый инвариант статики. Главный момент меняется по формуле переноса: при переходе от центра $A$ к центру $B$ из него вычитается момент главного вектора, приложенного в старом центре, относительно нового.

Проверим на нашей задаче. Возьмём центром вершину $B(3;\ 0)$:

$M_B = M_A - (x_B R_y - y_B R_x) = 100 - (3 \cdot 70 - 0 \cdot 31{,}96) = 100 - 210 = -110 \ \text{Н} \cdot \text{м}$

Тот же ответ получается прямым счётом. Сила $F_1$ приложена в самой точке $B$ и момента не даёт, $F_2$ действует вдоль прямой $BC$ и тоже даёт ноль, у $F_3$ плечо не изменилось и момент остался $+40$, а пара по-прежнему вносит $-150$. Сумма: $0 + 0 + 40 - 150 = -110$ Н·м. Сходится, причём знак сменился на противоположный - центр $B$ оказался по другую сторону от линии действия равнодействующей.

Отсюда практический вывод: центр приведения выбирают там, где считать проще. В задачах с опорами его ставят в опору, чтобы из уравнения моментов сразу выпала одна неизвестная реакция; в задачах на фермы - в узел, где сходится больше стержней, как в разборе про определение усилий в стержнях фермы.

Частые ошибки

• Складывают модули сил вместо проекций. Сумма $60 + 40 + 20 = 120$ Н не имеет отношения к главному вектору: он равен 76,95 Н, потому что силы направлены в разные стороны и частично гасят друг друга.
• Обнуляют момент силы, приложенной на оси. У точки $D(0;\ 2)$ координата $x$ нулевая, но сила горизонтальна, и момент равен $-y F_x = 40$ Н·м. Обнулять момент можно, только если линия действия проходит через сам центр.
• Дают паре плечо. Момент пары уже задан числом и в сумму входит без умножений. Попытка домножить 150 Н·м на расстояние до центра даёт величину в Н·м², то есть заведомую бессмыслицу.
• Теряют знак момента пары. По часовой стрелке при обычном выборе осей - это минус. Со знаком плюс главный момент вышел бы 400 Н·м вместо 100, а плечо выросло бы вчетверо.
• Принимают плечо за расстояние до точки приложения. Плечо равнодействующей $d = 1{,}30$ м отмеряется по перпендикуляру от центра к линии действия и с расстояниями $AB$ или $AC$ не связано.
• Считают главный момент характеристикой системы. Он привязан к центру: относительно $A$ вышло 100 Н·м, относительно $B$ уже $-110$ Н·м. Указывать центр в ответе обязательно.

FAQ

Чем главный вектор отличается от равнодействующей? Главный вектор - это геометрическая сумма сил, он существует у любой системы и приложен в центре приведения. Равнодействующая - одна сила, полностью заменяющая систему, и она есть не всегда: при $R = 0$ и $M_A \ne 0$ система эквивалентна паре, а не силе. Когда равнодействующая существует, её модуль равен модулю главного вектора, но линия действия обычно смещена.

Зависит ли ответ от выбора центра приведения? Главный вектор не зависит, главный момент зависит. При этом физическое действие системы на тело не меняется: пара сил, которая появляется при сдвиге центра, ровно компенсирует смещение линии действия. Поэтому в ответе всегда пишут, относительно какой точки посчитан главный момент.

Как быстро проверить расчёт? Посчитать главный момент относительно второй точки двумя способами: по формуле переноса и прямым суммированием моментов. Если числа совпали, как у нас $-110$ Н·м, ошибок в проекциях и плечах нет. Дополнительно стоит убедиться, что $d = M_A / R$ даёт разумную величину: плечо в десятки метров при плите в пару метров почти всегда означает потерянный знак.

Что делать, если задана распределённая нагрузка? Её сначала заменяют сосредоточенной силой, равной площади эпюры и приложенной в центре тяжести этой площади, а дальше приведение идёт как обычно. Для равномерной нагрузки это середина участка; для треугольной - точка на трети длины, и найти её помогает разбор задачи о том, как найти центр тяжести фигуры.

Коротко

1. Разложи каждую силу по осям и сложи проекции: $R_x = 31{,}96$ Н, $R_y = 70$ Н, модуль $R = 76{,}95$ Н под углом $65{,}5^\circ$ к оси $Ox$.
2. Посчитай моменты сил относительно центра по формуле $M_A = x F_y - y F_x$ и прибавь момент пары со своим знаком: $90 + 120 + 40 - 150 = 100$ Н·м.
3. Сравни результаты с нулём: оба не нулевые, значит система приводится к равнодействующей, смещённой от центра.
4. Найди плечо $d = M_A / R = 100 / 76{,}95 = 1{,}30$ м и точку пересечения линии действия с осью $Ox$: $x = 100 / 70 = 1{,}43$ м.
5. Проверь перенос центра: относительно точки $B$ главный момент равен $-110$ Н·м, а главный вектор остался прежним.