Как найти центр тяжести фигуры: пошаговое решение

Дано: однородная плоская пластина в виде прямоугольника $12 \times 8$ см, из которого в верхнем правом углу вырезан прямоугольник $6 \times 4$ см. Найти: координаты центра тяжести $x_C$ и $y_C$ в осях с началом в левом нижнем углу.

Фигура составная, поэтому интегрировать ничего не нужно: её режут на простые части, для каждой берут площадь и координаты собственного центра, а затем делят сумму статических моментов на суммарную площадь. Ответ: $x_C = 5$ см, $y_C \approx 3{,}33$ см. Ниже тот же результат получен вторым способом, методом отрицательных площадей, а калькулятор сверху пересчитывает обе схемы под любые габариты.

Решение по шагам

Дано. Габарит $B = 12$ см, $H = 8$ см; вырез $b = 6$ см, $h = 4$ см в верхнем правом углу. Ось $x$ направлена вдоль нижней грани, ось $y$ - вдоль левой, начало координат в левом нижнем углу. Пластина однородная и постоянной толщины, поэтому центр тяжести тела совпадает с центром тяжести его площади, и вся задача становится геометрической.

Шаг 1. Разбить фигуру на простые части. Проводим горизонтальный разрез на уровне $y = 4$ см. Получаются два прямоугольника, у которых центр тяжести известен без вычислений: это точка пересечения диагоналей, то есть середина.

Координаты центров читаются прямо с чертежа. Нижняя полоса занимает область от 0 до 12 по горизонтали и от 0 до 4 по вертикали, её середина - точка $(6;\ 2)$. Верхняя полка занимает область от 0 до 6 и от 4 до 8, её середина - точка $(3;\ 6)$. Обе координаты обязательно записываются в общих осях, а не в местных осях каждого куска.

Шаг 2. Площадь фигуры.

$$A = A_1 + A_2 = 48 + 24 = 72\ \text{см}^2 .$$

Шаг 3. Статические моменты площади. Каждую площадь умножаем на координату её центра и складываем:

$$\begin{aligned} S_y &= \sum A_i x_i = 48 \cdot 6 + 24 \cdot 3 = 288 + 72 = 360\ \text{см}^3, \\ S_x &= \sum A_i y_i = 48 \cdot 2 + 24 \cdot 6 = 96 + 144 = 240\ \text{см}^3 . \end{aligned}$$

Шаг 4. Координаты центра тяжести. Делим статический момент на площадь:

$$x_C = \frac{S_y}{A} = \frac{360}{72} = 5\ \text{см}, \qquad y_C = \frac{S_x}{A} = \frac{240}{72} \approx 3{,}33\ \text{см}.$$

Ответ: $x_C = 5$ см, $y_C \approx 3{,}33$ см.

Шаг 5. Прикидка. У целого прямоугольника центр тяжести лежал бы в точке $(6;\ 4)$. Мы убрали правый верхний угол, значит точка обязана сместиться влево и вниз, и она сместилась: $5 < 6$ и $3{,}33 < 4$. Такая проверка знака смещения занимает секунду и ловит большинство арифметических ошибок.

Здесь центр тяжести попал внутрь фигуры, но это не закон. Если полки Г-образной фигуры узкие, точка $C$ уезжает в вырезанную область и оказывается вне материала - как у кольца или у подковы. Ошибкой это не является: центр тяжести определён для фигуры в целом, а не для конкретной её точки.

Формула и откуда она берётся

Строго центр тяжести плоской фигуры определяется через интегралы по площади:

$$x_C = \frac{1}{A} \int_A x \, dA, \qquad y_C = \frac{1}{A} \int_A y \, dA .$$

В числителях стоят статические моменты площади: $S_y = \int_A x \, dA$ относительно оси $y$ и $S_x = \int_A y \, dA$ относительно оси $x$. Что это за величина и почему она обращается в ноль относительно центральной оси, подробно разобрано в статье про статический момент площади; здесь важно только её свойство аддитивности.

Аддитивность и превращает интеграл в сумму. Интеграл по всей фигуре равен сумме интегралов по её частям, а для каждой простой части интеграл уже посчитан: $\int x \, dA = A_i x_i$, где $x_i$ - координата собственного центра тяжести части. Отсюда рабочие формулы:

$$x_C = \frac{\sum A_i x_i}{\sum A_i}, \qquad y_C = \frac{\sum A_i y_i}{\sum A_i} .$$

По структуре это средневзвешенное: координаты центров частей усредняются с весами-площадями. Формула повторяет правило рычага, где площадь играет роль силы, а координата - плеча: точка $C$ - это то место, относительно которого суммарный момент площадей равен нулю. Размерность сходится сама: $\text{см}^3$ делим на $\text{см}^2$ и получаем сантиметры.

Практический смысл прост. Найдя $C$, распределённый по всей пластине вес заменяют одной сосредоточенной силой, приложенной в этой точке, - и дальше решается обычная задача статики, например про реакции опор. С той же точки начинается расчёт главных центральных моментов инерции сечения: оси проводят именно через центр тяжести.

Метод отрицательных площадей

Второй способ считает ту же фигуру иначе: берётся целый габаритный прямоугольник, а вырезанный кусок вычитается. Формально это то же суммирование, просто у выреза перед площадью стоит минус.

Центр выреза находится в середине области от 6 до 12 по горизонтали и от 4 до 8 по вертикали, то есть в точке $(9;\ 6)$. Дальше всё как раньше:

$$\begin{aligned} A &= 96 - 24 = 72\ \text{см}^2, \\ S_y &= 96 \cdot 6 - 24 \cdot 9 = 576 - 216 = 360\ \text{см}^3, \\ S_x &= 96 \cdot 4 - 24 \cdot 6 = 384 - 144 = 240\ \text{см}^3 . \end{aligned}$$ $$x_C = \frac{360}{72} = 5\ \text{см}, \qquad y_C = \frac{240}{72} \approx 3{,}33\ \text{см}.$$

Ответы совпали до последней цифры, и это не совпадение: обе схемы описывают одну и ту же фигуру одной и той же формулой. Выбор между ними - вопрос удобства. Разбиение нагляднее, когда фигура собрана из приставленных друг к другу кусков. Отрицательные площади короче, когда из простого тела что-то вынуто, и они вообще незаменимы для круглых отверстий: круг на прямоугольники не режется.

Если в фигуре есть круглое отверстие

Просверлим в нижней полосе отверстие диаметром $d = 4$ см с центром в точке $(3;\ 2)$. Площадь круга $A_3 = \pi d^2 / 4 = 4\pi \approx 12{,}57$ см², центр тяжести круга - его геометрический центр. Отверстие входит в расчёт со знаком минус:

$$\begin{aligned} A &= 72 - 12{,}57 = 59{,}43\ \text{см}^2, \\ S_y &= 360 - 12{,}57 \cdot 3 = 360 - 37{,}70 = 322{,}30\ \text{см}^3, \\ S_x &= 240 - 12{,}57 \cdot 2 = 240 - 25{,}13 = 214{,}87\ \text{см}^3 . \end{aligned}$$ $$x_C = \frac{322{,}30}{59{,}43} \approx 5{,}42\ \text{см}, \qquad y_C = \frac{214{,}87}{59{,}43} \approx 3{,}62\ \text{см}.$$

Центр тяжести уехал вправо и вверх, и это логично: убрали материал слева-снизу от прежней точки $C$. Проверить смещение таким рассуждением стоит всегда, потому что при работе с минусами легко потерять знак.

Для частей сложнее прямоугольника собственные центры берут из справочной таблицы. У треугольника центр тяжести лежит на пересечении медиан, то есть на расстоянии трети высоты от основания. У полукруга радиуса $R$ он отстоит от диаметра на $4R / (3\pi) \approx 0{,}424 R$. У четверти круга обе координаты равны той же величине. Больше ничего запоминать не нужно: любая учебная фигура собирается из прямоугольников, треугольников и круговых кусков.

Частые ошибки

• Координаты частей берут в местных осях. У каждого прямоугольника свой «центр», но в формулу идут координаты в единой системе отсчёта задачи. Это ошибка номер один, и она сразу ломает обе координаты.
• Минус ставят только в одном месте. Вырез вычитается и из площади в знаменателе, и из статического момента в числителе. Если минус попал лишь в одну из сумм, ответ уедет далеко.
• Делят на площадь габарита. Знаменатель - площадь реальной фигуры, у нас 72 см², а не 96 см². Проверка: сумма площадей частей обязана равняться площади фигуры на чертеже.
• Путают статический момент с моментом инерции. В $S$ координата в первой степени, размерность $\text{см}^3$; в $I$ - во второй, размерность $\text{см}^4$. Подставив момент инерции, получают бессмысленные сантиметры в квадрате.
• Центр треугольника ставят на середину высоты. Правильно - на треть высоты от основания, а не на половину.
• Округляют промежуточные произведения. Если $A_i x_i$ округлить до целых, два метода дадут разные ответы, и будет непонятно, где ошибка. Округлять нужно только итог.

FAQ

Чем центр тяжести отличается от центра масс и центроида? Для однородной пластины постоянной толщины все три точки совпадают, поэтому в задачах теормеха термины используют как синонимы. Различия появляются, когда плотность или толщина переменные: тогда центр масс считают по массам, а центроид остаётся чисто геометрической характеристикой площади.

Как выбрать оси, чтобы считать было проще? Начало координат удобно ставить в углу фигуры, чтобы все координаты были положительными и не пришлось следить за знаками. Если у фигуры есть ось симметрии, центр тяжести обязательно лежит на ней, и одну из координат считать не нужно. Сама точка $C$ от выбора осей не зависит, меняются только её числовые координаты.

Что делать, если частей больше двух? Ничего нового: таблица просто становится длиннее. Формула суммирования не ограничена двумя слагаемыми, и части с плюсом и с минусом свободно смешиваются в одной сумме. Сложные сечения из пяти-шести кусков считаются так же, только аккуратнее.

Можно ли проверить ответ без вычислений? Да, подвешиванием. Пластину подвешивают на нити за произвольную точку и отмечают вертикаль, потом повторяют за другую точку: пересечение двух вертикалей и есть центр тяжести. В учебной задаче хватает и прикидки по направлению смещения относительно центра габаритного прямоугольника.

Коротко

1. Выбери оси и разбей фигуру на простые части: прямоугольники, треугольники, круги.
2. Для каждой части выпиши площадь $A_i$ и координаты её собственного центра $x_i$, $y_i$ в общих осях; вырезы и отверстия бери со знаком минус.
3. Посчитай статические моменты площади $S_y = \sum A_i x_i$ и $S_x = \sum A_i y_i$ и полную площадь $A = \sum A_i$.
4. Раздели: $x_C = S_y / A$, $y_C = S_x / A$; проверь ответ вторым методом и прикидкой по направлению смещения.
5. В разобранной задаче: $A = 72$ см², $S_y = 360$ см³, $S_x = 240$ см³, откуда $x_C = 5$ см и $y_C \approx 3{,}33$ см.