Как построить план ускорений: пошаговое решение

Дано: кривошипно-ползунный механизм; кривошип $OA = 0{,}25$ м вращается вокруг неподвижной оси $O$ равномерно с угловой скоростью $\omega_{OA} = 8$ рад/с против часовой стрелки, шатун $AB = 0{,}8$ м, ползун $B$ ходит по направляющей, проходящей через точку $O$, угол кривошипа с направляющей $\varphi = 60^\circ$. Найти: план ускорений, ускорение ползуна и угловое ускорение шатуна.

План ускорений строится по векторному уравнению $\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}^{\,n}_{BA} + \vec{a}^{\,\tau}_{BA}$. Ускорение точки $A$ известно целиком, нормальная составляющая считается по угловой скорости шатуна, а у касательной составляющей и у ускорения ползуна известны только направления, поэтому неизвестных чисел ровно два. Ответ: $a_B \approx 5{,}51$ м/с², $\varepsilon_{AB} \approx 17{,}52$ рад/с² против часовой стрелки. Калькулятор сверху перестраивает план под любые длины звеньев, любое положение кривошипа и неравномерное вращение.

Решение по шагам

Шаг 1. Что берётся из плана скоростей. Ускорения без скоростей не строятся: в нормальную составляющую входит квадрат угловой скорости шатуна. Считаем её заранее по уже разобранному плану скоростей. Наклон шатуна к направляющей даёт условие $AB\sin\beta = OA\sin\varphi$, откуда $\sin\beta = 0{,}271$ и $\beta = 15{,}70^\circ$. Дальше

$$v_A = \omega_{OA}\cdot OA = 8\cdot 0{,}25 = 2{,}0\ \text{м/с}, \qquad \omega_{AB} = \frac{v_A\cos\varphi}{AB\cos\beta} = \frac{2{,}0\cdot 0{,}5}{0{,}8\cdot 0{,}963} = 1{,}298\ \text{рад/с}.$$

Шаг 2. Ускорение ведущей точки. Кривошип вращается равномерно, значит его угловое ускорение равно нулю и у точки $A$ остаётся одна только нормальная (осестремительная) составляющая:

$$a_A = \omega_{OA}^2\cdot OA = 8^2\cdot 0{,}25 = 16{,}0\ \text{м/с}^2.$$

Вектор $\vec{a}_A$ направлен по кривошипу от точки $A$ к центру вращения $O$. Это единственный вектор уравнения, известный и по модулю, и по направлению, поэтому построение начинается с него.

Шаг 3. Векторное уравнение для ползуна. Шатун совершает плоское движение, за полюс берём точку $A$. Ускорение точки $B$ складывается из ускорения полюса и двух составляющих вращения вокруг полюса:

$$\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}^{\,n}_{BA} + \vec{a}^{\,\tau}_{BA}, \qquad a^{\,n}_{BA} = \omega_{AB}^2\cdot AB, \qquad a^{\,\tau}_{BA} = \varepsilon_{AB}\cdot AB.$$

Нормальная составляющая направлена вдоль шатуна от $B$ к полюсу $A$, касательная перпендикулярна шатуну, а вектор $\vec{a}_B$ лежит на направляющей ползуна. Неизвестны два числа: модуль $a^{\,\tau}_{BA}$ и модуль $a_B$. Векторное уравнение на плоскости распадается на два скалярных, значит задача замкнута.

Шаг 4. Нормальная составляющая. Считаем её до построения, потому что откладывать на чертёж её надо в готовом виде:

$$a^{\,n}_{BA} = \omega_{AB}^2\cdot AB = 1{,}298^2\cdot 0{,}8 = 1{,}686\cdot 0{,}8 = 1{,}349\ \text{м/с}^2.$$

Число мало по сравнению с $a_A$: шатун вращается медленно, а угловая скорость входит сюда в квадрате.

Шаг 5. Масштаб плана. Назначаем длину отрезка $\pi a$, который изобразит ускорение точки $A$: берём 80 мм, чтобы построение уместилось на листе и при этом читалось. Тогда

$$\mu_a = \frac{a_A}{\pi a} = \frac{16{,}0}{80} = 0{,}2\ \frac{\text{м/с}^2}{\text{мм}}.$$

В этом масштабе нормальная составляющая займёт всего $an = 1{,}349/0{,}2 = 6{,}7$ мм, поэтому отрезок надо откладывать циркулем аккуратно, а не на глаз.

Шаг 6. Построение. Ставим на свободном поле полюс $\pi$. Из полюса откладываем отрезок $\pi a = 80$ мм параллельно кривошипу $OA$ и в сторону точки $O$, это вектор $\vec{a}_A$. Из конца $a$ откладываем отрезок $an = 6{,}7$ мм параллельно шатуну $AB$, в направлении от $B$ к $A$. Через точку $n$ проводим прямую, перпендикулярную шатуну, на ней лежит касательная составляющая. Через полюс $\pi$ проводим прямую, параллельную направляющей ползуна, на ней лежит вектор $\vec{a}_B$. Пересечение двух прямых даёт точку $b$, и план замкнулся.

Шаг 7. Снимаем результат с чертежа. Измеряем отрезки и переводим в ускорения по единому масштабу:

$$\begin{aligned} a_B &= \mu_a\cdot \pi b = 0{,}2\cdot 27{,}5 = 5{,}51\ \text{м/с}^2, \\ a^{\,\tau}_{BA} &= \mu_a\cdot nb = 0{,}2\cdot 70{,}1 = 14{,}01\ \text{м/с}^2, \\ a_{BA} &= \mu_a\cdot ab = 0{,}2\cdot 70{,}4 = 14{,}08\ \text{м/с}^2. \end{aligned}$$

Шаг 8. Угловое ускорение шатуна. Модуль берётся из определения касательной составляющей, а направление считывается переносом вектора $nb$ в саму точку $B$:

$$\varepsilon_{AB} = \frac{a^{\,\tau}_{BA}}{AB} = \frac{14{,}01}{0{,}8} = 17{,}52\ \text{рад/с}^2.$$

Перенесённый в точку $B$ вектор разворачивает шатун вокруг полюса $A$ против часовой стрелки, а вращается шатун в этом положении по часовой. Знаки противоположны, значит вращение шатуна замедленное.

Шаг 9. Середина шатуна. По теореме подобия точка $s$ делит отрезок $ab$ плана в том же отношении, в каком точка $S$ делит звено $AB$. Для середины измеряем $\pi s = 48{,}4$ мм и получаем $a_S = 0{,}2\cdot 48{,}4 = 9{,}67$ м/с².

Ответ. Масштаб плана $\mu_a = 0{,}2$ м/(с²·мм); $a_A = 16{,}0$ м/с², $a^{\,n}_{BA} = 1{,}349$ м/с², $a^{\,\tau}_{BA} = 14{,}01$ м/с², $a_B = 5{,}51$ м/с² (ползун разгоняется, вектор совпал по направлению со скоростью), $\varepsilon_{AB} = 17{,}52$ рад/с² против часовой стрелки, ускорение середины шатуна $a_S = 9{,}67$ м/с².

Векторное уравнение ускорений и масштаб плана

План ускорений читается по тому же правилу, что и план скоростей: отрезок от полюса до буквы означает полное ускорение соответствующей точки механизма, а отрезок между двумя буквами без полюса означает относительное ускорение. Полюс $\pi$ изображает сразу все неподвижные точки: их ускорение равно нулю. Промежуточная буква $n$ ставится на стыке нормальной и касательной составляющих, поэтому отрезок $an$ читается как $\vec{a}^{\,n}_{BA}$, отрезок $nb$ как $\vec{a}^{\,\tau}_{BA}$, а их сумма $ab$ как полное относительное ускорение.

Главное отличие от плана скоростей в том, что относительное ускорение распадается на две части, и одна из них известна заранее. Нормальная составляющая считается арифметически ещё до чертежа, поэтому строгий порядок такой: сперва скорости, потом $\omega_{AB}$, потом $a^{\,n}_{BA}$ и только потом графика.

Инвентарь уравнения, из-за которого построение вообще возможно:

Масштаб $\mu_a$ задаётся в метрах на секунду в квадрате на миллиметр чертежа и подбирается по самому длинному известному вектору; удобны круглые 0,1, 0,2 или 0,5. На ответ его величина не влияет, но слишком мелкий план обесценивает построение: результат снимают линейкой. Менять масштаб посреди чертежа нельзя.

Как снять угловое ускорение и проверить ответ

Угловое ускорение звена снимается с плана в одно действие: $\varepsilon_{AB} = nb\cdot\mu_a/AB$. В знаменателе стоит длина того звена, вокруг полюса которого идёт вращение. Направление определяется не формулой, а переносом вектора $nb$ из плана в точку $B$ механизма: куда он поворачивает звено относительно полюса $A$, туда и направлено $\varepsilon_{AB}$.

Графику полезно подкрепить счётом. Для кривошипно-ползунного механизма с равномерным кривошипом ускорение ползуна выражается приближённой формулой через коэффициент шатуна $\lambda = OA/AB = 0{,}3125$:

$$a_B \approx -\omega_{OA}^2\, OA\,(\cos\varphi + \lambda\cos 2\varphi) = -16{,}0\,(0{,}5 - 0{,}156) = -5{,}50\ \text{м/с}^2.$$

Минус означает, что вектор направлен к точке $O$, а модуль 5,50 расходится со снятым с чертежа значением 5,51 на одну пятую процента: построение выполнено верно.

Второй путь проверки идёт через мгновенный центр ускорений: для многозвенной схемы он менее удобен, потому что центр приходится искать заново для каждого звена. Теория, из которой берётся уравнение с полюсом, изложена в разборе плоскопараллельного движения твёрдого тела.

Другие положения кривошипа и другие схемы

Крайние положения разбирают отдельно. При $\varphi = 0^\circ$ и $\varphi = 180^\circ$ кривошип и шатун вытягиваются в одну линию: скорость ползуна обращается в ноль, вместе с ней обнуляется $\omega_{AB}$, а значит исчезает и нормальная составляющая. Точка $n$ садится прямо на $a$, план вырождается в два отрезка, зато ускорение ползуна достигает максимума по модулю. Подвигайте ползунок угла в калькуляторе сверху и посмотрите, как отрезок $an$ то схлопывается, то отрастает.

Если кривошип вращается неравномерно, у точки $A$ появляется вторая составляющая $a^{\,\tau}_{A} = \varepsilon_{OA}\cdot OA$, перпендикулярная кривошипу. Отрезок $\pi a$ тогда собирается из двух звеньев чертежа, а вся остальная процедура не меняется. В калькуляторе за это отвечает отдельный ползунок углового ускорения кривошипа.

Для шарнирного четырёхзвенника меняется только вторая подсказка: точка $B$ принадлежит коромыслу и движется по окружности, поэтому вместо прямой через полюс проводят уже известную нормальную составляющую $\omega^2_{BC}\cdot BC$ и перпендикуляр к ней. План многозвенной схемы строят по структурным группам в порядке их присоединения, а состав групп даёт классификация механизма. Отдельного внимания требуют кулисные механизмы, где точка скользит по вращающемуся звену: там в уравнении появляется ускорение Кориолиса, и забыть его означает получить неверный план.

Частые ошибки

• Строят план ускорений без плана скоростей. Нормальная составляющая требует $\omega_{AB}$, взять её неоткуда, кроме кинематики скоростей. Попытка начать сразу с ускорений заканчивается тремя неизвестными в одном уравнении.
• Путают направление нормальной составляющей. Вектор $\vec{a}^{\,n}_{BA}$ всегда направлен от точки к полюсу, то есть от $B$ к $A$, а не наоборот. Разворот на 180 градусов даёт правдоподобный, но неверный чертёж.
• Забывают, что $a_A$ откладывается к центру. При равномерном вращении кривошипа у точки $A$ только осестремительное ускорение, направленное вдоль звена к оси $O$. Перпендикуляр здесь взяться не может.
• Делят на длину не того звена. В формуле $\varepsilon_{AB} = a^{\,\tau}_{BA}/AB$ стоит длина шатуна, а не кривошипа и не расстояние до полюса плана.
• Берут полное относительное ускорение вместо касательного. Угловое ускорение даёт только отрезок $nb$. Отрезок $ab$ включает и нормальную часть, деление на $AB$ его модуля завышает ответ.

FAQ

Чем план ускорений отличается от плана скоростей? Структурой уравнения. У скоростей относительный вектор один и неизвестен по модулю, у ускорений их два: нормальный считается заранее, неизвестен только касательный. Отсюда и лишняя буква $n$ между $a$ и $b$.

Зачем нужна точка $n$ на плане? Она отмечает конец нормальной составляющей и начало касательной. Угловое ускорение даёт именно отрезок $nb$, а не весь отрезок $ab$, так что без этой точки ответа не получить.

Как понять направление углового ускорения звена? Перенесите вектор $nb$ мысленно в точку $B$ самого механизма и посмотрите, в какую сторону он поворачивает звено вокруг полюса $A$. Если направление совпало с направлением угловой скорости, звено разгоняется, если противоположно, замедляется.

Можно ли обойтись без чертежа и посчитать всё аналитически? Для одного положения простого механизма да: проекции уравнения на оси дают систему из двух линейных уравнений. Но для многозвенной схемы построение быстрее и нагляднее, потому что сразу даёт ускорения всех точек.

Коротко

1. Из плана скоростей возьмите угловую скорость шатуна: $\omega_{AB} = 1{,}298$ рад/с.
2. Найдите ускорение ведущей точки: при равномерном кривошипе $a_A = \omega^2_{OA}\cdot OA = 16{,}0$ м/с², вектор направлен от $A$ к $O$.
3. Посчитайте нормальную составляющую $a^{\,n}_{BA} = \omega^2_{AB}\cdot AB = 1{,}349$ м/с² и выберите масштаб: при $\pi a = 80$ мм получаем $\mu_a = 0{,}2$ м/(с²·мм).
4. Постройте план: из полюса $\pi$ отрезок $\pi a$, из точки $a$ отрезок $an$ вдоль шатуна, через $n$ перпендикуляр к шатуну, через полюс параллель направляющей; пересечение даёт точку $b$.
5. Снимите отрезки и переведите в ускорения: $a_B = 5{,}51$ м/с², $a^{\,\tau}_{BA} = 14{,}01$ м/с², отсюда $\varepsilon_{AB} = 17{,}52$ рад/с² против часовой стрелки, а середина шатуна даёт $a_S = 9{,}67$ м/с².