Теорема о сложении ускорений: ускорение Кориолиса

Когда точка движется одновременно в двух системах отсчёта - например скользит по пазу вращающегося диска или бежит по вращающейся палубе, - её абсолютное ускорение нельзя найти простым сложением относительного и переносного ускорений: между ними появляется третье слагаемое, ускорение Кориолиса, которое возникает именно из-за одновременного вращения переносной системы и относительного перемещения точки. Теорема о сложении ускорений, её ещё называют теоремой Кориолиса, даёт точную формулу этой суммы и объясняет, откуда берётся дополнительный член. Ниже разберём, как теорема формулируется, как выводится формула ускорения Кориолиса, как разложить итоговое ускорение по осям и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть, как меняются слагаемые при разных параметрах диска и точки, покрутите калькулятор ниже: он строит векторную диаграмму сложения ускорений в реальном времени.

Сложное движение точки: относительное, переносное и абсолютное

В задачах о сложном движении точку рассматривают одновременно в двух системах отсчёта: неподвижной, обычно связанной с землёй или станиной, и подвижной, которая сама движется относительно неподвижной, вращается, перемещается поступательно или и то и другое сразу. Движение точки относительно подвижной системы называют относительным, движение самой подвижной системы, а вместе с ней и той точки подвижного тела, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка, называют переносным, а движение точки относительно неподвижной системы, итоговое, называют абсолютным.

Классический пример - точка M, скользящая по прямолинейному пазу диска, который вращается вокруг неподвижной оси O с угловой скоростью $\omega$ и угловым ускорением $\varepsilon = d\omega/dt$. Относительное движение точки здесь - перемещение вдоль паза, переносное движение - вращение самого диска. Расстояние точки от оси $r$, относительная скорость вдоль паза $v_{\text{отн}}$ и относительное ускорение вдоль паза $a_{\text{отн}}$ - это как раз те три параметра относительного движения, которые нужно знать, чтобы найти итоговое ускорение точки.

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Для скоростей сложение простое: абсолютная скорость точки равна сумме относительной и переносной скоростей, $\vec v_{\text{абс}} = \vec v_{\text{отн}} + \vec v_{\text{пер}}$. С ускорениями так не получается, потому что переносная система отсчёта вращается, и на относительное движение точки накладывается ещё один эффект. Теорема о сложении ускорений формулируется так:

$$\vec a_{\text{абс}} = \vec a_{\text{отн}} + \vec a_{\text{пер}} + \vec a_{\text{кор}},$$

где $\vec a_{\text{кор}}$ - ускорение Кориолиса, дополнительное слагаемое, которое возникает всякий раз, когда переносное движение вращательное, а относительная скорость точки не равна нулю. Если переносное движение поступательное, без вращения, или точка неподвижна относительно подвижной системы ($v_{\text{отн}} = 0$), ускорение Кориолиса обращается в ноль, и формула сводится к обычному сложению двух слагаемых.

Рассчитать для своей задачи

Само переносное ускорение $\vec a_{\text{пер}}$ у вращающегося тела - это тоже сумма из двух слагаемых, знакомых по кинематике вращательного движения: нормального, центростремительного, $a_{\text{пер}}^{n} = \omega^2 r$, направленного от точки к оси, и вращательного, тангенциального, $a_{\text{пер}}^{\tau} = \varepsilon r$, направленного по касательной к окружности, перпендикулярно радиусу. Поэтому полная формула для точки на вращающемся теле разворачивается в четыре слагаемых:

$$\vec a_{\text{абс}} = \vec a_{\text{отн}} + \vec a_{\text{пер}}^{n} + \vec a_{\text{пер}}^{\tau} + \vec a_{\text{кор}}.$$

Формула ускорения Кориолиса

Ускорение Кориолиса определяется через векторное произведение угловой скорости переносного вращения и относительной скорости точки:

$$\vec a_{\text{кор}} = 2\, \vec \omega \times \vec v_{\text{отн}}.$$

Модуль этого вектора равен

$$a_{\text{кор}} = 2\, \omega\, v_{\text{отн}} \sin\theta,$$

где $\theta$ - угол между вектором угловой скорости $\vec\omega$ и вектором относительной скорости $\vec v_{\text{отн}}$. Направление находится по правилу векторного произведения, правилу правой руки или буравчика: нужно повернуть $\vec v_{\text{отн}}$ на прямой угол вокруг оси $\vec\omega$ в ту сторону, куда закручивается правый винт.

Для плоского случая, когда паз лежит в плоскости диска, а ось вращения перпендикулярна этой плоскости, угол между $\vec\omega$ и $\vec v_{\text{отн}}$ всегда прямой, поэтому синус равен единице и формула упрощается до

$$a_{\text{кор}} = 2\, \omega\, v_{\text{отн}}.$$

При этом вектор $\vec a_{\text{кор}}$ лежит в плоскости диска и направлен по касательной к окружности, перпендикулярно относительной скорости. Если точка движется от оси наружу ($v_{\text{отн}} > 0$), ускорение Кориолиса направлено в сторону вращения диска; если точка движется к оси ($v_{\text{отн}} < 0$), оно направлено против вращения. Именно поэтому предмет, брошенный из центра вращающейся карусели наружу, отклоняется в сторону вращения - это тот же эффект Кориолиса, что знаком по геофизике: отклонение ветров и течений на вращающейся Земле.

Разложение по радиальному и тангенциальному направлениям

Удобно ввести две взаимно перпендикулярные оси: радиальную $\hat r$, вдоль паза, от оси наружу, и тангенциальную $\hat\theta$, перпендикулярно радиусу, в направлении вращения. Тогда все четыре слагаемых теоремы раскладываются всего на две проекции, потому что относительное ускорение и переносное центростремительное лежат на одной оси, а переносное вращательное и кориолисово на другой:

$$a_x = a_{\text{отн}} - a_{\text{пер}}^{n}, \qquad a_y = a_{\text{пер}}^{\tau} + a_{\text{кор}},$$ $$a_{\text{абс}} = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}.$$

Рассчитать для своей задачи

На диаграмме видно, что переносное центростремительное ускорение всегда направлено к оси, поэтому в проекции на $\hat r$ оно входит со знаком минус, а переносное вращательное и кориолисово ускорения складываются по одной оси $\hat\theta$, их можно просто просуммировать перед тем, как искать общий модуль. Такое разложение - стандартный приём в задачах теоретической механики: оно сводит геометрическое сложение четырёх векторов к обычной теореме Пифагора для двух проекций.

Пример решения типовой задачи

Точка M скользит по прямолинейному радиальному пазу диска. Диск вращается с угловой скоростью $\omega = 2$ рад/с и угловым ускорением $\varepsilon = 1$ рад/с². В рассматриваемый момент точка находится на расстоянии $r = 0{,}5$ м от оси, её относительная скорость вдоль паза $v_{\text{отн}} = 1$ м/с, направлена от оси, относительное ускорение $a_{\text{отн}} = 0{,}4$ м/с². Нужно найти переносное, кориолисово и абсолютное ускорения точки.

Сначала находим оба слагаемых переносного ускорения:

$$a_{\text{пер}}^{n} = \omega^2 r = 2^2 \cdot 0{,}5 = 2\ \text{м/с}^2, \qquad a_{\text{пер}}^{\tau} = \varepsilon r = 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}5\ \text{м/с}^2.$$

Ускорение Кориолиса для плоского случая:

$$a_{\text{кор}} = 2\, \omega\, v_{\text{отн}} = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4\ \text{м/с}^2.$$

Раскладываем по осям: центростремительное ускорение направлено к оси, поэтому вычитается из относительного, а вращательное и кориолисово складываются по тангенциальной оси:

$$a_x = a_{\text{отн}} - a_{\text{пер}}^{n} = 0{,}4 - 2 = -1{,}6\ \text{м/с}^2, \qquad a_y = a_{\text{пер}}^{\tau} + a_{\text{кор}} = 0{,}5 + 4 = 4{,}5\ \text{м/с}^2.$$

Абсолютное ускорение, модуль результирующего вектора:

$$a_{\text{абс}} = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(-1{,}6)^2 + 4{,}5^2} = \sqrt{2{,}56 + 20{,}25} \approx 4{,}78\ \text{м/с}^2.$$

Знак минус у $a_x$ означает, что итоговый вклад по радиальному направлению направлен к оси, хотя точка и удаляется от неё: центростремительная составляющая переносного ускорения оказалась сильнее относительного. Подставьте те же числа в калькулятор выше - он покажет ту же векторную диаграмму и те же значения.

Частые ошибки

• Забыть ускорение Кориолиса вовсе. Если переносное движение вращательное и точка движется относительно подвижного тела, третье слагаемое обязательно, даже если формулировка задачи о нём прямо не упоминает.
• Спутать угловую скорость переносного вращения с относительной скоростью точки. В формулу $a_{\text{кор}} = 2\omega v_{\text{отн}}$ подставляется угловая скорость вращения диска, а не какая-либо угловая скорость самой точки: у точки, движущейся вдоль паза, своей угловой скорости нет.
• Неверный знак проекции центростремительного ускорения. $a_{\text{пер}}^{n} = \omega^2 r$ всегда направлено к оси вращения, в проекции на ось, идущую от оси наружу, это слагаемое входит со знаком минус, а не плюс.
• Считать, что ускорение Кориолиса всегда сонаправлено со скоростью вращения. Направление зависит от знака относительной скорости: при движении к оси вектор Кориолиса разворачивается на противоположный.
• Применять упрощённую формулу без проверки угла. Формула $a_{\text{кор}} = 2\omega v_{\text{отн}}$ без синуса верна только когда $\vec\omega$ перпендикулярна плоскости относительного движения точки; в общем пространственном случае нужен полный множитель $\sin\theta$.

FAQ

Когда ускорение Кориолиса равно нулю? Когда относительная скорость точки равна нулю, когда угловая скорость переносного вращения равна нулю, то есть переносное движение чисто поступательное, или когда векторы $\vec\omega$ и $\vec v_{\text{отн}}$ параллельны, тогда их векторное произведение равно нулю.

Чем теорема о сложении ускорений отличается от теоремы о сложении скоростей? Для скоростей достаточно двух слагаемых, относительной и переносной. Для ускорений появляется третье слагаемое, ускорение Кориолиса, потому что вращение переносной системы искривляет траекторию относительного движения точки в неподвижной системе отсчёта: этот эффект не имеет аналога для скоростей.

Как ускорение Кориолиса направлено относительно скорости точки? Оно всегда перпендикулярно относительной скорости точки, это следует из свойств векторного произведения, и лежит в плоскости, перпендикулярной вектору угловой скорости переносного вращения.

Коротко

Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений: $\vec a_{\text{абс}} = \vec a_{\text{отн}} + \vec a_{\text{пер}} + \vec a_{\text{кор}}$. Переносное ускорение вращающегося тела раскладывается на центростремительное $\omega^2 r$ и вращательное $\varepsilon r$, а ускорение Кориолиса $2\vec\omega \times \vec v_{\text{отн}}$ возникает всегда, когда точка движется относительно вращающейся системы отсчёта. Удобнее всего считать итог, разложив все слагаемые по радиальному и тангенциальному направлениям и сложив проекции по теореме Пифагора.