Канонические преобразования и производящая функция

В гамильтоновой механике координаты $q$ и импульсы $p$ равноправны, и это даёт мощный приём: можно перейти к новым переменным $Q, P$, в которых задача становится тривиальной. Но не любая замена сохраняет вид уравнений Гамильтона. Канонические преобразования и производящая функция - это аппарат, который гарантирует, что в новых переменных физика останется прежней. Ниже разберём, что именно сохраняется, как четыре типа производящих функций связывают старые и новые переменные, и как этим пользоваться на конкретных задачах. Если нужно прогнать свою замену или вывод - соберите запрос в форме ниже.

Что такое каноническое преобразование

Гамильтонова система живёт в фазовом пространстве с координатами $(q_i, p_i)$, $i = 1, \dots, n$, и подчиняется уравнениям движения

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}.$$

Переход к новым переменным $Q_i = Q_i(q, p, t)$, $P_i = P_i(q, p, t)$ называется каноническим, если в новых переменных уравнения сохраняют ту же форму с некоторым новым гамильтонианом $K(Q, P, t)$:

$$\dot{Q}_i = \frac{\partial K}{\partial P_i}, \qquad \dot{P}_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i}.$$

Ключевое слово здесь - форма. Обычная замена координат в лагранжевой механике перемешивает только $q$. Каноническое преобразование действует на всё фазовое пространство сразу: новый импульс $P$ может быть выражен через старые координаты, и наоборот. Именно эта свобода смешивать $q$ и $p$ и делает гамильтонов формализм таким гибким - при условии, что мы не разрушим структуру уравнений.

Рассчитать для своей задачи

Критерий каноничности: скобки Пуассона

Проверять каноничность через переписывание уравнений движения неудобно. Гораздо практичнее условие на скобки Пуассона. Напомним, что скобка двух функций фазовых переменных определяется как

$$\{f, g\} = \sum_i \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} \right).$$

Преобразование $(q, p) \to (Q, P)$ канонично тогда и только тогда, когда новые переменные удовлетворяют фундаментальным скобкам Пуассона:

$$\{Q_i, Q_j\} = 0, \qquad \{P_i, P_j\} = 0, \qquad \{Q_i, P_j\} = \delta_{ij}.$$

Это удобный практический тест: посчитал три набора скобок - и сразу видно, каноническая замена или нет. Эквивалентная формулировка - сохранение фазового объёма (теорема Лиувилля) и симплектичность матрицы Якоби преобразования. Близкий по духу аппарат разбирается в статье про уравнения Лагранжа второго рода, где замена координат тоже требует аккуратности.

Производящая функция: мост между старыми и новыми переменными

Самый элегантный способ строить канонические преобразования - через производящую функцию. Идея опирается на принцип наименьшего действия. Старые и новые уравнения Гамильтона следуют из одного и того же вариационного принципа, поэтому подынтегральные выражения отличаются лишь полной производной по времени некоторой функции $F$:

$$p_i \, \dot{q}_i - H = P_i \, \dot{Q}_i - K + \frac{dF}{dt}.$$

Функция $F$ и называется производящей. Она зависит от смеси старых и новых переменных - по одной координате или импульсу из каждой пары. Именно $F$ задаёт преобразование: продифференцировав её, мы получаем явные формулы связи. А поправка к гамильтониану всегда одна и та же:

$$K = H + \frac{\partial F}{\partial t}.$$

Если преобразование не зависит от времени явно, то $K = H$ - гамильтониан просто переписывается в новых переменных.

Четыре типа производящих функций

В зависимости от того, какую пару переменных мы выбираем за независимые, получаются четыре стандартных типа. Это не четыре разных физики, а четыре удобных «языка» для одного и того же.

Тип 1 - $F_1(q, Q, t)$. Независимы старая и новая координаты:

$$p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i}, \qquad P_i = -\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}.$$

Тип 2 - $F_2(q, P, t)$. Независимы старая координата и новый импульс (самый частый на практике):

$$p_i = \frac{\partial F_2}{\partial q_i}, \qquad Q_i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i}.$$

Тип 3 - $F_3(p, Q, t)$ и Тип 4 - $F_4(p, P, t)$ строятся аналогично, с заменой роли координат и импульсов. Все четыре связаны преобразованием Лежандра: например, $F_2 = F_1 + P_i Q_i$.

Рассчитать для своей задачи

Тождественное преобразование и обмен координаты с импульсом

Два простых примера показывают, как работает аппарат. Возьмём производящую функцию второго типа

$$F_2 = \sum_i q_i P_i.$$

Тогда $p_i = \partial F_2 / \partial q_i = P_i$ и $Q_i = \partial F_2 / \partial P_i = q_i$ - это тождественное преобразование, ничего не меняющее. Малая добавка к этой $F_2$ порождает бесконечно малые канонические преобразования, лежащие в основе теории симметрий и теоремы Нётер.

Теперь возьмём производящую функцию первого типа

$$F_1 = \sum_i q_i Q_i.$$

Получаем $p_i = Q_i$ и $P_i = -q_i$. То есть новая координата - это старый импульс, а новый импульс - старая координата (с минусом). Этот пример наглядно показывает равноправие $q$ и $p$ в гамильтоновом формализме: то, что мы называем «координатой», а что «импульсом», - вопрос соглашения.

Гармонический осциллятор: канонический разбор

Классический пример, где производящая функция решает задачу целиком, - гармонический осциллятор с гамильтонианом

$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2 q^2}{2}.$$

Подберём преобразование, которое сделает гамильтониан зависящим только от нового импульса (тогда новая координата окажется циклической, а $P$ - интегралом движения). Возьмём производящую функцию

$$F_1(q, Q) = \frac{m \omega q^2}{2} \cot Q.$$

Дифференцирование даёт $p = m \omega q \cot Q$ и $P = \dfrac{m \omega q^2}{2 \sin^2 Q}$. Выразив отсюда $q$ и $p$ и подставив в $H$, получаем

$$K = \omega P.$$

Гамильтониан стал линейным по $P$. Уравнения движения тривиальны: $\dot{P} = 0$ (значит $P = E/\omega$ - сохраняется), $\dot{Q} = \omega$, то есть $Q = \omega t + \varphi_0$. Это и есть переменные действие-угол. Тот же результат естественно получается через уравнение Гамильтона-Якоби, где производящая функция выступает в роли укороченного действия.

Рассчитать для своей задачи

Зачем это нужно

Канонические преобразования - не формальная игра. Их ценность в трёх вещах. Во-первых, удачная замена превращает сложную задачу в задачу о свободном движении (как у осциллятора выше). Во-вторых, через бесконечно малые канонические преобразования строится связь симметрий и законов сохранения: производящая функция симметрии - это и есть сохраняющаяся величина. В-третьих, именно этот язык лежит в основе уравнения Гамильтона-Якоби, теории возмущений и перехода к квантовой механике, где скобки Пуассона заменяются коммутаторами.

Частые ошибки

• Проверяют каноничность только по одной паре скобок. Нужны все три набора: $\{Q, Q\}$, $\{P, P\}$ и $\{Q, P\}$. Замена может давать правильную $\{Q, P\} = 1$, но ломать $\{Q, Q\} = 0$.
• Путают знаки в формулах типа $F_1$. У координаты знак плюс ($p = \partial F_1 / \partial q$), у нового импульса - минус ($P = -\partial F_1 / \partial Q$). Перепутанный знак ломает каноничность.
• Забывают про поправку $\partial F / \partial t$. Для зависящих от времени преобразований гамильтониан меняется: $K = H + \partial F / \partial t$, а не просто $K = H$.
• Берут не тот тип производящей функции. Если переменные $q$ и $Q$ функционально зависимы (например, $Q = q$), функция $F_1(q, Q)$ вырождена - нужен тип $F_2(q, P)$.
• Считают любую замену координат канонической. Точечное преобразование $Q = Q(q)$ канонично только при правильном сопутствующем преобразовании импульсов $P = p \, \partial q / \partial Q$.

FAQ

Чем каноническое преобразование отличается от обычной замены координат? Обычная замена меняет только координаты $q$, а импульсы пересчитываются автоматически. Каноническое преобразование действует на всё фазовое пространство: новая переменная может смешивать старые $q$ и $p$. Сохраняется при этом не просто вид траектории, а структура уравнений Гамильтона.

Сколько производящих функций нужно знать? Достаточно понимать логику четырёх типов $F_1, \dots, F_4$ и уметь переходить между ними преобразованием Лежандра. На практике чаще всего используют $F_2(q, P)$ - она удобна тем, что содержит тождественное преобразование как частный случай $F_2 = qP$.

Как быстро проверить, что преобразование каноническое? Посчитайте фундаментальные скобки Пуассона новых переменных. Если $\{Q_i, P_j\} = \delta_{ij}$, $\{Q_i, Q_j\} = 0$ и $\{P_i, P_j\} = 0$, преобразование канонично. Эквивалентно - проверить симплектичность матрицы Якоби или сохранение фазового объёма.

Коротко

Каноническое преобразование - это замена $(q, p) \to (Q, P)$, сохраняющая форму уравнений Гамильтона; критерий - фундаментальные скобки Пуассона $\{Q_i, P_j\} = \delta_{ij}$. Строят такие преобразования через производящую функцию $F$, связывающую старые и новые переменные одной из четырёх формул-типов $F_1, \dots, F_4$, причём гамильтониан получает поправку $K = H + \partial F / \partial t$. Грамотно подобранная производящая функция (как $F_1 = \frac{m\omega q^2}{2}\cot Q$ для осциллятора) превращает задачу в тривиальную и ведёт прямиком к переменным действие-угол и уравнению Гамильтона-Якоби.