Скобка Пуассона и канонические преобразования: критерий

Канонические преобразования меняют переменные $(q, p)$ на новые $(Q, P)$ так, чтобы уравнения Гамильтона сохранили свою форму. Главный вопрос на экзамене и в задачах: как быстро проверить, что переход каноничен, не выводя заново всю функцию Гамильтона. Самый прямой инструмент здесь - скобка Пуассона: каноничность преобразования полностью определяется тем, что фундаментальные скобки новых переменных совпадают с фундаментальными скобками старых. Ниже разбираем сам критерий, симплектическую форму записи и типичные ловушки, а калькулятор ниже соберёт точную постановку для разбора в чате.

Что такое скобка Пуассона

Для двух функций $f(q, p)$ и $g(q, p)$ от канонических переменных скобка Пуассона определяется суммой по всем степеням свободы:

$$\{f, g\} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} \right).$$

Это билинейная, антисимметричная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби и правилу Лейбница - её алгебраические свойства подробно разобраны в материале про свойства скобок Пуассона. Для нас сейчас важен один частный случай: скобки самих координат и импульсов друг с другом. Их называют фундаментальными.

Рассчитать для своей задачи

Фундаментальные скобки

Подставив в определение сами переменные $q_i$ и $p_j$, получаем простые значения:

$$\{q_i, q_j\} = 0, \qquad \{p_i, p_j\} = 0, \qquad \{q_i, p_j\} = \delta_{ij},$$

где $\delta_{ij}$ - символ Кронекера (единица при совпадении индексов и ноль иначе). Эти три равенства называют фундаментальными скобками Пуассона. Они полностью кодируют каноническую структуру фазового пространства: координаты коммутируют между собой, импульсы коммутируют между собой, а каждая координата «сопряжена» своему импульсу со значением скобки, равным единице.

Идея критерия проста. Если после перехода к новым переменным $(Q, P)$ их фундаментальные скобки имеют тот же вид, значит новые переменные образуют ту же каноническую структуру - преобразование каноническое.

Критерий каноничности через скобки Пуассона

Преобразование $Q_i = Q_i(q, p)$, $P_i = P_i(q, p)$ является каноническим тогда и только тогда, когда новые переменные удовлетворяют фундаментальным скобкам:

$$\{Q_i, Q_j\}_{q,p} = 0, \qquad \{P_i, P_j\}_{q,p} = 0, \qquad \{Q_i, P_j\}_{q,p} = \delta_{ij}.$$

Индекс $q, p$ подчёркивает важный момент: скобки вычисляются по старым переменным - берутся производные функций $Q_i$ и $P_i$ по исходным $q$ и $p$. Если все три равенства выполнены, преобразование сохраняет уравнения Гамильтона. Это и есть рабочий критерий: вместо вывода производящей функции достаточно посчитать три набора скобок.

Этот критерий тесно связан с подходом через производящие функции: разбор того, как производящая функция задаёт каноническое преобразование, показывает другую сторону той же монеты. Скобки дают быструю проверку, производящая функция - конструктивный способ построения.

Инвариантность скобок Пуассона

Ключевое свойство, ради которого всё и затевается: значение скобки Пуассона любых двух функций не зависит от того, в каких канонических переменных её считать. Если преобразование каноническое, то для произвольных $f$ и $g$:

$$\{f, g\}_{q,p} = \{f, g\}_{Q,P}.$$

Иными словами, скобка Пуассона - инвариант канонических преобразований. Это объясняет, почему фундаментальные скобки служат критерием: каноничность как раз и означает, что вся скобочная структура переносится без изменений. Уравнение движения любой величины $A$ записывается через скобку с гамильтонианом, $\dot A = \{A, H\}$, и эта запись остаётся верной в любых канонических переменных.

Рассчитать для своей задачи

Симплектическое условие

Тот же критерий удобно записать матрично. Соберём все переменные в столбец $\xi = (q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)^T$ и введём матрицу Якоби преобразования $M_{ab} = \partial \xi'_a / \partial \xi_b$. Тогда условие каноничности принимает компактный вид:

$$M\, J\, M^T = J, \qquad J = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix},$$

где $J$ - стандартная симплектическая матрица, а $I_n$ - единичная матрица $n \times n$. Это равенство - в точности набор фундаментальных скобок, переписанный через якобиан. Преобразования, удовлетворяющие ему, образуют симплектическую группу. Из условия сразу следует $\det M = 1$, то есть канонические преобразования сохраняют фазовый объём - это теорема Лиувилля.

Пример: проверка на гармоническом осцилляторе

Рассмотрим переход к переменным «действие - угол» для гармонического осциллятора. Возьмём простое масштабное преобразование $Q = \lambda q$, $P = p/\lambda$ с постоянным $\lambda$. Посчитаем фундаментальную скобку:

$$\{Q, P\} = \frac{\partial Q}{\partial q}\frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p}\frac{\partial P}{\partial q} = \lambda \cdot \frac{1}{\lambda} - 0 = 1.$$

Скобка равна единице, остальные две тривиально нулевые - преобразование каноническое при любом $\lambda \neq 0$. А вот растяжение $Q = \lambda q$, $P = \lambda p$ даёт $\{Q, P\} = \lambda^2 \neq 1$: это не каноническое преобразование, хотя и кажется безобидной заменой масштаба. Здесь хорошо видно, что критерий чувствует тонкую разницу между сохраняющими и не сохраняющими структуру заменами.

Частые ошибки

• Считают скобку в новых переменных. Скобка $\{Q_i, P_j\}_{Q,P}$ всегда равна $\delta_{ij}$ по определению - проверять нужно $\{Q_i, P_j\}_{q,p}$ по старым координатам.
• Забывают суммировать по всем степеням свободы. В системе с $n$ степенями свободы скобка содержит сумму по $i$ от 1 до $n$, а не один член.
• Путают знак в антисимметричной части. Порядок аргументов важен: $\{f, g\} = -\{g, f\}$, и перестановка членов в определении меняет знак результата.
• Считают любое масштабирование каноническим. Растяжение $(q, p) \to (\lambda q, \lambda p)$ не каноническое: фундаментальная скобка становится $\lambda^2$, а не единицей.
• Игнорируют зависимость от времени. Для явно зависящих от времени преобразований к новому гамильтониану добавляется $\partial F / \partial t$, и проверять каноничность нужно с учётом этого.

FAQ

Достаточно ли проверить только скобку $\{Q, P\}$? Для одной степени свободы - да, потому что скобки $\{Q, Q\}$ и $\{P, P\}$ антисимметричны и тождественно равны нулю. Для нескольких степеней свободы нужно проверять все три набора, включая смешанные $\{Q_i, P_j\}$ при разных индексах.

Чем критерий через скобки лучше производящей функции? Скобки дают быструю проверку готового преобразования: подставил, посчитал три скобки, сделал вывод. Производящая функция нужна, когда преобразование надо построить, а не проверить. Это взаимодополняющие подходы.

Связаны ли скобки Пуассона с квантовыми коммутаторами? Да, при каноническом квантовании скобка Пуассона заменяется на коммутатор по правилу $\{f, g\} \to \frac{1}{i\hbar}[\hat f, \hat g]$. Фундаментальные скобки $\{q, p\} = 1$ переходят в каноническое коммутационное соотношение $[\hat q, \hat p] = i\hbar$.

Коротко

Скобка Пуассона даёт самый прямой критерий каноничности: преобразование $(q, p) \to (Q, P)$ каноническое тогда и только тогда, когда фундаментальные скобки новых переменных, вычисленные по старым, имеют вид $\{Q_i, Q_j\} = 0$, $\{P_i, P_j\} = 0$, $\{Q_i, P_j\} = \delta_{ij}$. Это равносильно симплектическому условию $M J M^T = J$ на якобиан и означает, что скобка Пуассона любых функций инвариантна относительно канонических преобразований. На практике достаточно посчитать три набора скобок по исходным координатам и сравнить с эталоном.