Уравнение Гамильтона-Якоби в механике: главная функция

Уравнение Гамильтона-Якоби - это вершина аналитической механики: вместо системы $2n$ обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка оно сводит всю динамику к одному уравнению в частных производных для единственной функции - действия $S$. Найдя полный интеграл этого уравнения, мы получаем все траектории системы простым дифференцированием, без явного интегрирования уравнений движения. Ниже разберём, откуда берётся уравнение Гамильтона-Якоби, как с ним работать через разделение переменных и почему именно оно стало мостом к квантовой механике.

От уравнений Гамильтона к уравнению в частных производных

Отправная точка - канонические уравнения Гамильтона для системы с $n$ степенями свободы:

$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i},$

где $H(q, p, t)$ - функция Гамильтона (гамильтониан), $q_i$ - обобщённые координаты, $p_i$ - обобщённые импульсы. Идея Якоби состояла в том, чтобы найти такое каноническое преобразование $(q, p) \to (Q, P)$, после которого новый гамильтониан тождественно обращается в нуль. Тогда новые координаты и импульсы становятся постоянными, и задача оказывается решённой.

Производящая функция такого преобразования $S(q, P, t)$ связана со старыми импульсами соотношением $p_i = \partial S / \partial q_i$, а условие $H' \equiv 0$ даёт основное уравнение. Подставляя $p_i = \partial S/\partial q_i$ в гамильтониан, получаем уравнение Гамильтона-Якоби:

$\frac{\partial S}{\partial t} + H\!\left(q_1, \dots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_n}, t\right) = 0.$

Это нелинейное уравнение в частных производных первого порядка относительно главной функции действия $S$. Подобрать тип задачи и собрать корректную постановку помогает интерактивный разбор ниже.

Главная функция действия и её смысл

Функцию $S(q, t)$ называют главной функцией Гамильтона, или главной функцией действия. Она не случайно обозначается той же буквой, что и действие: вдоль истинной траектории $S$ совпадает с интегралом от лагранжиана,

$S = \int_{t_0}^{t} L\,dt',$

взятым по реальному движению как функция верхнего предела и конечной точки. Полная производная по времени даёт $dS/dt = L$, а с учётом $p_i = \partial S/\partial q_i$ и определения гамильтониана $H = \sum_i p_i \dot{q}_i - L$ мы снова приходим к уравнению Гамильтона-Якоби. Таким образом, уравнение - это просто переформулировка принципа наименьшего действия в терминах поля функции $S$ над конфигурационным пространством.

Геометрически поверхности постоянного действия $S = \mathrm{const}$ играют роль волновых фронтов, а траектории системы им ортогональны (в смысле импульса $p_i = \partial S/\partial q_i$). Эта оптико-механическая аналогия Гамильтона прямо предвосхищает связь луча и волны.

Полный интеграл вместо общего решения

Главное практическое отличие уравнения Гамильтона-Якоби от уравнений Гамильтона в том, что нам нужен не общий, а полный интеграл - решение, зависящее от $n$ независимых произвольных постоянных $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ (плюс несущественная аддитивная постоянная):

$S = S(q_1, \dots, q_n, \alpha_1, \dots, \alpha_n, t).$

Эти постоянные отождествляются с новыми импульсами $P_i = \alpha_i$. Тогда теорема Якоби утверждает, что общее решение уравнений движения задаётся алгебраическими соотношениями

$\beta_i = \frac{\partial S}{\partial \alpha_i}, \qquad p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i},$

где $\beta_i$ - ещё $n$ постоянных. Первая группа уравнений неявно определяет траекторию $q_i(t)$, вторая даёт импульсы. Никакого интегрирования по времени больше не требуется - вся работа уходит на нахождение полного интеграла $S$.

Разделение переменных

Метод разделения переменных - основной инструмент решения уравнения Гамильтона-Якоби. Если гамильтониан не зависит от времени явно, ищем решение в виде

$S(q, t) = W(q) - E t,$

где $E$ - постоянная энергии. Функцию $W(q)$ называют укороченным (характеристическим) действием, и для неё получается стационарное уравнение Гамильтона-Якоби:

$H\!\left(q_i, \frac{\partial W}{\partial q_i}\right) = E.$

Если, кроме того, переменные разделяются, ищем $W = \sum_i W_i(q_i)$, и уравнение распадается на $n$ обыкновенных уравнений. Классический пример - движение в центральном поле в сферических координатах: переменные $r$, $\theta$, $\varphi$ разделяются благодаря сохранению энергии, момента импульса и его проекции. Возможность разделения тесно связана с наличием интегралов движения и выбором подходящих координат (координаты Штеккеля).

Разбор на примере: свободная частица и осциллятор

Чтобы метод стал осязаемым, проследим его на простейших задачах. Для свободной частицы массы $m$ в одном измерении гамильтониан равен $H = p^2/(2m)$, и стационарное уравнение принимает вид $\frac{1}{2m}\left(\frac{dW}{dx}\right)^2 = E$. Отсюда $W = \sqrt{2mE}\,x$, то есть $S = \sqrt{2mE}\,x - Et$. Беря $\alpha = E$ как новую постоянную, по теореме Якоби получаем $\beta = \partial S/\partial \alpha = \sqrt{m/(2E)}\,x - t$, что эквивалентно $x = \sqrt{2E/m}\,(t + \beta)$ - равномерное движение, как и ожидалось.

Для гармонического осциллятора $H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2 x^2}{2}$ укороченное действие выражается интегралом

$W(x) = \int \sqrt{2mE - m^2\omega^2 x^2}\, dx,$

и условие $\beta = \partial W/\partial E - t$ после дифференцирования даёт $t + \beta = \frac{1}{\omega}\arcsin\!\left(x\sqrt{m\omega^2/(2E)}\right)$, то есть знакомое $x(t) = \sqrt{2E/(m\omega^2)}\,\sin\big(\omega(t+\beta)\big)$. Энергия $E$ и фаза $\beta$ - это и есть две постоянные, полностью задающие движение. На этих примерах видно главное: вся динамика спрятана в одной функции $S$, а траектория извлекается чисто алгебраически.

Связь с уравнением Шрёдингера

Уравнение Гамильтона-Якоби - это классический предел квантовой механики. Если в волновой функции записать $\psi = A\,e^{iS/\hbar}$ и подставить в уравнение Шрёдингера, то в пределе $\hbar \to 0$ мнимая часть даёт уравнение непрерывности, а вещественная - в точности уравнение Гамильтона-Якоби с дополнительным «квантовым потенциалом», исчезающим при $\hbar \to 0$. Именно поэтому действие $S$ из классической механики становится фазой квантовой волны. Подробнее о волновой стороне этой аналогии - в разборе уравнения Шрёдингера. Сам метод полного интеграла идейно перекликается с приближёнными вариационными подходами вроде метода Ритца, где решение тоже ищут в специально подобранном классе функций.

Действие как функция углов: переменные действие-угол

Для финитного периодического движения особенно удобны переменные действие-угол. Переменную действия вводят как интеграл по замкнутой траектории в фазовой плоскости каждой степени свободы:

$J_i = \frac{1}{2\pi}\oint p_i \, dq_i.$

Тогда характеристическая функция $W(q, J)$ порождает каноническое преобразование к углам $\theta_i$, эволюционирующим линейно во времени: $\theta_i = \omega_i t + \mathrm{const}$, где $\omega_i = \partial H/\partial J_i$ - частоты. Этот аппарат лежит в основе старой квантовой теории (правило квантования Бора-Зоммерфельда $J_i = n_i \hbar$) и адиабатических инвариантов.

Частые ошибки

• Путают общий и полный интеграл: для теоремы Якоби нужен именно полный интеграл с $n$ независимыми постоянными, а не однопараметрическое семейство решений.
• Забывают слагаемое $\partial S/\partial t$, когда гамильтониан зависит от времени явно - подстановка $S = W - Et$ тогда неприменима.
• Считают, что разделение переменных возможно всегда. Оно зависит от системы координат и наличия интегралов движения; в общем случае уравнение не разделяется.
• Смешивают укороченное действие $W(q)$ и главную функцию $S(q,t)$: только $S$ удовлетворяет полному уравнению с производной по времени.
• Берут лишние или зависимые постоянные интегрирования - тогда соотношения $\beta_i = \partial S/\partial \alpha_i$ вырождаются и не дают траекторию.

FAQ

Чем уравнение Гамильтона-Якоби лучше уравнений Гамильтона? Оно заменяет $2n$ обыкновенных уравнений одним уравнением в частных производных. Если удаётся найти полный интеграл (особенно разделением переменных), все траектории получаются дифференцированием - без интегрирования по времени.

Почему действие обозначают той же буквой, что и интеграл от лагранжиана? Потому что главная функция Гамильтона $S$ численно равна действию $\int L\,dt$ вдоль истинной траектории, рассматриваемому как функция конечной точки и времени. Уравнение Гамильтона-Якоби - это дифференциальная форма того же принципа наименьшего действия.

Где это реально применяют? В небесной механике (задача Кеплера, теория возмущений), в оптико-механической аналогии и геометрической оптике, при выводе квазиклассического приближения (ВКБ) и в основаниях квантовой механики, где $S$ становится фазой волновой функции.

Коротко

Уравнение Гамильтона-Якоби сводит механику к одному уравнению в частных производных для главной функции действия $S$: $\partial S/\partial t + H(q, \partial S/\partial q, t) = 0$. Найдя его полный интеграл с $n$ постоянными, по теореме Якоби получают все траектории алгебраическим дифференцированием. Основной приём - разделение переменных и подстановка $S = W - Et$ для консервативных систем. Помимо вычислительного удобства, уравнение играет фундаментальную роль: его действие $S$ - это фаза квантовой волны, а сам метод связывает классическую механику с квантовой теорией через предел $\hbar \to 0$.