Разделение переменных Гамильтона-Якоби: метод и примеры

Уравнение Гамильтона-Якоби сводит всю динамику системы к одному уравнению в частных производных для функции действия. Но решать уравнение в частных производных напрямую обычно тяжело, и весь практический смысл метода держится на одном приёме - разделении переменных. Если оно проходит, поиск полного интеграла распадается на независимые одномерные интегралы, а траектория получается простым дифференцированием. Ниже разберём, когда переменные разделяются, как искать полный интеграл по слагаемым и как из него вытащить движение системы. Если у вас уже есть конкретное уравнение или задача, соберите её в форме ниже и получите пошаговый разбор.

Что значит разделить переменные

Стационарное уравнение Гамильтона-Якоби для укороченного действия $W$ записывается как

$$H\left(q_1, \dots, q_n, \frac{\partial W}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial W}{\partial q_n}\right) = E.$$

Разделить переменные - значит искать решение в виде суммы функций, каждая из которых зависит только от своей координаты:

$$W(q_1, \dots, q_n) = W_1(q_1) + W_2(q_2) + \dots + W_n(q_n).$$

Ключевое слово здесь - сумма, а не произведение. В отличие от уравнения Шрёдингера, где разделение даёт произведение волновых функций, в классическом уравнении Гамильтона-Якоби разделяется именно действие, потому что в гамильтониан входят производные $\partial W / \partial q_i$, а не само $W$. Подставив сумму, мы хотим получить $n$ обыкновенных уравнений вида $f_i(q_i, W_i') = \alpha_i$, где каждое $\alpha_i$ - константа разделения.

Рассчитать для своей задачи

Главный выигрыш в том, что каждое $W_i$ находится из своего уравнения в квадратурах: $W_i = \int p_i(q_i, \alpha) \, dq_i$. Это и есть полный интеграл - решение, зависящее от $n$ независимых констант $\alpha_1, \dots, \alpha_n$.

Самый простой случай: циклические координаты

Координата $q_k$ называется циклической, если она не входит в гамильтониан явно (входит только её импульс $p_k$). Для такой координаты соответствующий импульс сохраняется, и разделение проходит автоматически. Слагаемое получается линейным:

$$W_k(q_k) = \alpha_k \, q_k, \qquad p_k = \frac{\partial W}{\partial q_k} = \alpha_k = \text{const}.$$

Типичный пример - задача о движении в центральном поле в полярных координатах. Угол $\varphi$ циклический, поэтому

$$W = W_r(r) + \alpha_\varphi \, \varphi,$$

и константа $\alpha_\varphi$ - это просто момент импульса. Радиальная часть остаётся одномерным уравнением, которое интегрируется отдельно. Время $t$ играет роль ещё одной циклической переменной для полного действия $S = -E t + W$, поэтому энергия $E$ выступает первой константой разделения. Близкая логика выделения сохраняющихся величин подробнее разобрана в материале про уравнения Лагранжа второго рода.

Алгоритм разделения переменных по шагам

На практике метод сводится к нескольким повторяемым шагам.

1. Записать гамильтониан в удобных координатах. Выбор системы координат критичен: в декартовых задача может не разделяться, а в сферических или параболических - разделяться.
2. Выделить циклические координаты - для них слагаемые сразу линейны, а импульсы постоянны.
3. Подставить $W = \sum W_i(q_i)$ в уравнение и попытаться сгруппировать члены так, чтобы каждая группа зависела от своей координаты.
4. Приравнять каждую группу константе разделения $\alpha_i$. Если это удаётся, переменные разделились.
5. Выписать квадратуры $W_i = \int p_i \, dq_i$ и собрать полный интеграл $W(q, \alpha)$.
6. Продифференцировать по константам: уравнения $\partial W / \partial \alpha_i = \beta_i$ дают траекторию.

Рассчитать для своей задачи

Шестой шаг - это теорема Якоби: полный интеграл $W(q_1, \dots, q_n, \alpha_1, \dots, \alpha_n)$ играет роль производящей функции канонического преобразования к новым постоянным $\alpha_i, \beta_i$. Поэтому разделение переменных по сути и есть способ построить такое преобразование явно. Если хочется глубже понять этот мост, полезен разбор канонических преобразований и производящей функции.

Когда переменные разделяются: условие Штеккеля

Не любая система допускает разделение, и не в любых координатах. Для ортогональных координат существует точный критерий - условие Штеккеля: уравнение разделяется тогда и только тогда, когда гамильтониан представим через специальную матрицу Штеккеля, элементы которой зависят каждый от своей координаты. Грубо говоря, кинетическая и потенциальная энергии должны «развязываться» по координатам в согласованной структуре.

Практический ориентир проще: разделение проходит, если в уравнении удаётся собрать всё, что зависит от $q_1$ (включая $W_1'$), в один блок, и приравнять его константе, не задев остальные координаты. Если после всех перегруппировок остаётся член, где две координаты неустранимо переплетены, переменные не разделяются в этих координатах - нужно либо сменить систему координат, либо метод. Полную постановку уравнения и его вывод из канонических уравнений мы разбирали в статье про уравнение Гамильтона-Якоби в механике.

Рассчитать для своей задачи

Что даёт полный интеграл

Полный интеграл - не просто формула, а ключ ко всему движению. Из него:

• Траектория получается без интегрирования уравнений движения: достаточно взять $\partial W / \partial \alpha_i = \beta_i$ и разрешить относительно координат.
• Импульсы восстанавливаются дифференцированием: $p_i = \partial W / \partial q_i$.
• Константы $\alpha_i$ и $\beta_i$ имеют физический смысл сохраняющихся величин и начальных условий: энергия, момент импульса, фазы.

Именно эта структура делает уравнение Гамильтона-Якоби мостом к квантовой механике: переход $W \to \hbar \, \arg \psi$ в пределе коротких длин волн превращает разделение действия в разделение волновой функции, а константы $\alpha_i$ становятся квантовыми числами.

Частые ошибки

• Искать решение в виде произведения, а не суммы. В классическом уравнении Гамильтона-Якоби действие разделяется суммой $W = \sum W_i$; произведение - это привычка из уравнения Шрёдингера, здесь оно неверно.
• Брать «неудобные» координаты. Если в декартовых координатах не разделяется, это не значит, что задача не разделима - попробуйте сферические, параболические или эллиптические.
• Путать число констант. Полный интеграл должен зависеть ровно от $n$ независимых констант (одна из них - энергия), а не от произвольных функций.
• Забывать про аддитивную константу. Действие определено с точностью до постоянного слагаемого; оно не считается одной из существенных констант разделения.
• Считать $\beta_i$ лишними. Уравнения $\partial W / \partial \alpha_i = \beta_i$ обязательны - без них вы получите импульсы, но не траекторию во времени.

FAQ

Чем разделение в Гамильтона-Якоби отличается от разделения в уравнении Шрёдингера? В уравнении Гамильтона-Якоби разделяется действие в виде суммы $W = \sum W_i(q_i)$, потому что в гамильтониан входят производные действия. В уравнении Шрёдингера разделяется волновая функция в виде произведения, так как уравнение линейно по $\psi$. Связь между ними возникает в квазиклассическом пределе, где $\psi \sim e^{iW/\hbar}$, и произведение экспонент даёт сумму показателей.

Всегда ли можно разделить переменные? Нет. Разделимость зависит и от системы, и от выбора координат. Точный критерий для ортогональных координат - условие Штеккеля. Многие важные задачи (Кеплер, осциллятор, движение в кулоновском поле) разделимы в подходящих координатах, но в общем случае система может быть неразделима ни в каких координатах.

Что такое константы разделения и сколько их? Это $n$ независимых постоянных $\alpha_1, \dots, \alpha_n$, появляющихся при приравнивании каждой одномерной группы константе. Одна из них - обычно энергия $E$. Они входят в полный интеграл и вместе со своими «партнёрами» $\beta_i = \partial W / \partial \alpha_i$ полностью задают траекторию и начальные условия.

Коротко

Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби - это поиск полного интеграла в виде суммы одномерных слагаемых $W = \sum W_i(q_i)$, каждое из которых находится в квадратурах. Циклические координаты разделяются автоматически и дают линейные слагаемые с постоянными импульсами; общий критерий разделимости в ортогональных координатах - условие Штеккеля. Полный интеграл, зависящий от $n$ констант, по теореме Якоби служит производящей функцией и даёт всю траекторию простым дифференцированием по этим константам.