Как найти частоту собственных колебаний: формула

Дано: груз массой $m = 4$ кг; пружины жёсткостью $c_1 = 300$ Н/м и $c_2 = 500$ Н/м соединены параллельно, последовательно с ними подключена пружина $c_3 = 800$ Н/м. Найти: приведённую жёсткость $c_{\text{пр}}$, циклическую частоту $\omega$, частоту $\nu$ и период $T$ собственных колебаний.

Схема сначала сворачивается в одну эквивалентную пружину, и только потом работает формула $\omega = \sqrt{c_{\text{пр}}/m}$. Ответ: $c_{\text{пр}} = 400$ Н/м, $\omega = 10$ рад/с, $\nu \approx 1{,}59$ Гц, $T \approx 0{,}628$ с. Калькулятор сверху пересчитывает все четыре величины для любой схемы соединения и показывает, как при этом сжимается или растягивается график колебаний.

Решение по шагам

Шаг 1. Свернуть параллельный участок. Пружины $c_1$ и $c_2$ висят рядом и деформируются на одну и ту же величину, а их силы складываются. Значит, складываются и жёсткости:

$$c_{12} = c_1 + c_2 = 300 + 500 = 800 \ \text{Н/м}.$$

Теперь в системе остались две пружины: эквивалентная $c_{12} = 800$ Н/м и нижняя $c_3 = 800$ Н/м, соединённые одна за другой.

Шаг 2. Свернуть последовательное соединение. Через пружины, стоящие друг за другом, идёт одна и та же сила, а полное удлинение равно сумме удлинений. Складываются не жёсткости, а податливости, то есть обратные величины:

$$\frac{1}{c_{\text{пр}}} = \frac{1}{c_{12}} + \frac{1}{c_3} = \frac{1}{800} + \frac{1}{800} = \frac{1}{400}, \qquad c_{\text{пр}} = 400 \ \text{Н/м}.$$

Обрати внимание на результат: последовательная связка оказалась вдвое мягче каждой из своих пружин. Это не ошибка, а общее правило, и именно на нём чаще всего спотыкаются в контрольных.

Шаг 3. Найти циклическую частоту. Собранную систему заменяем одним грузом на одной пружине жёсткостью $c_{\text{пр}}$:

$$\omega = \sqrt{\frac{c_{\text{пр}}}{m}} = \sqrt{\frac{400}{4}} = \sqrt{100} = 10 \ \text{рад/с}.$$

Шаг 4. Перейти к частоте и периоду. Циклическая частота измеряется в радианах в секунду, обычная частота - в герцах, то есть в колебаниях в секунду. Между ними множитель $2\pi$:

$$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10}{6{,}283} \approx 1{,}59 \ \text{Гц}, \qquad T = \frac{1}{\nu} = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{6{,}283}{10} \approx 0{,}628 \ \text{с}.$$

Шаг 5. Проверить ответ через статический прогиб. Под собственным весом груз растянет приведённую пружину на

$$\delta_{\text{ст}} = \frac{mg}{c_{\text{пр}}} = \frac{4 \cdot 9{,}81}{400} = 0{,}0981 \ \text{м} = 9{,}81 \ \text{см},$$

а частота через прогиб даёт $\omega = \sqrt{g/\delta_{\text{ст}}} = \sqrt{9{,}81/0{,}0981} = 10$ рад/с - то же самое число. Совпадение двух независимых путей означает, что приведённая жёсткость свёрнута верно.

Ответ: $c_{\text{пр}} = 400$ Н/м, $\omega = 10$ рад/с, $\nu \approx 1{,}59$ Гц, $T \approx 0{,}628$ с.

Формула частоты и откуда она берётся

Запиши второй закон Ньютона для груза, смещённого из положения равновесия на $x$. Возвращает его только сила упругости приведённой пружины, сила тяжести уже уравновешена статическим прогибом и в уравнение малых колебаний не входит:

$$m\ddot{x} = -c_{\text{пр}} x, \qquad \ddot{x} + \frac{c_{\text{пр}}}{m}\, x = 0.$$

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний, и коэффициент при $x$ по определению равен $\omega^2$. Отсюда и берётся расчётная формула:

$$\omega = \sqrt{\frac{c_{\text{пр}}}{m}}, \qquad \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{c_{\text{пр}}}{m}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{c_{\text{пр}}}}.$$

Слово «собственные» означает, что частота задана только самой системой: массой и жёсткостью. Ни начальное отклонение, ни начальный толчок на неё не влияют - они определяют амплитуду и фазу, но не темп колебаний. Сам вид решения $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)$ и смысл входящих в него величин подробно разобраны в статье про гармонические колебания, здесь он нужен только как источник формулы для $\omega$.

Полезно помнить порядок величин: чтобы удвоить частоту, жёсткость надо увеличить вчетверо или во столько же раз уменьшить массу. Корень сглаживает изменения, поэтому системы с близкими параметрами звучат почти одинаково.

Приведённая жёсткость: параллельно и последовательно

Практически вся сложность школьных и вузовских задач на эту тему спрятана не в формуле частоты, а в свёртке схемы. Правила ровно два, и их удобно держать рядом.

Параллельными считаются пружины, у которых оба конца закреплены в одних и тех же точках: груз тянет их разом, каждая удлиняется на $x$, силы $c_1 x$ и $c_2 x$ складываются в $(c_1 + c_2)x$. Последовательными - пружины, идущие цепочкой: сила проходит через обе неизменной, а удлинения $F/c_1$ и $F/c_2$ суммируются.

Смешанные схемы, как в нашей задаче, разбираются изнутри наружу: сначала сворачивается самый простой узел, затем полученная пружина входит в следующее соединение. Переключи схему в калькуляторе сверху при тех же жёсткостях, и разница станет наглядной. Все три параллельно дают $c_{\text{пр}} = 1600$ Н/м и $\omega = 20$ рад/с, все три последовательно - всего $151{,}9$ Н/м и $\omega \approx 6{,}16$ рад/с. Одни и те же детали, а частота отличается больше чем втрое.

Отдельно стоит случай, когда пружина крепится к грузу через рычаг или блок. Тогда складывать жёсткости нельзя: приведённую жёсткость находят из равенства потенциальных энергий, и передаточное отношение входит в неё в квадрате.

Частота через статический прогиб

Если жёсткость подвеса неизвестна, но измерен прогиб под весом груза, частота считается вообще без $c$ и $m$. Подставь $c_{\text{пр}} = mg/\delta_{\text{ст}}$ в основную формулу, и масса сократится:

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{\delta_{\text{ст}}}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{\delta_{\text{ст}}}{g}}.$$

Формула удобна в инженерных прикидках: достаточно линейки, чтобы оценить собственную частоту подвески, виброизолирующей опоры или консоли. Прогиб в один сантиметр отвечает частоте около $5$ Гц, четыре сантиметра - уже около $2{,}5$ Гц. Из неё же видно, почему мягкие опоры гасят вибрацию: чем больше прогиб, тем ниже собственная частота и тем дальше она уходит от рабочих частот машины.

Заметь, что структура ответа здесь та же, что у маятника: у физического маятника период малых колебаний тоже сводится к корню из отношения «инерция к возвращающему фактору», только вместо массы стоит момент инерции, а вместо жёсткости - момент силы тяжести на единицу угла.

Частые ошибки

• Складывают жёсткости у последовательного соединения. Получается $800 + 800 = 1600$ Н/м вместо $400$ Н/м, и частота завышается вдвое. Проверка простая: последовательная связка обязана быть мягче каждой пружины по отдельности.
• Путают $\omega$ и $\nu$. В ответ пишут $10$ Гц вместо $1{,}59$ Гц. Циклическая частота измеряется в рад/с, и делить её на $2\pi$ обязательно, если в условии просят герцы.
• Добавляют силу тяжести в уравнение колебаний. Для вертикального подвеса вес уже скомпенсирован статическим прогибом; отсчёт ведётся от нового положения равновесия, и $mg$ из уравнения выпадает.
• Берут жёсткость в Н/мм, а массу в кг. Жёсткость $400$ Н/мм - это $400\,000$ Н/м, и разница в частоте будет в тридцать раз. Всё переводить в систему СИ до подстановки.
• Считают, что частота зависит от амплитуды. Для малых колебаний линейной системы это не так: увеличенное начальное отклонение поднимает график, но не меняет расстояние между максимумами.
• Забывают про массу самой пружины. В стандартной задаче пружина невесома; если её масса задана, к массе груза добавляют треть массы пружины.

FAQ

Чем собственная частота отличается от частоты вынужденных колебаний? Собственная частота определяется только массой и жёсткостью системы и проявляется, когда систему вывели из равновесия и отпустили. Вынужденные колебания идут с частотой внешней силы, какой бы она ни была. Совпадение этих двух частот и есть резонанс.

Нужно ли учитывать трение? При слабом затухании частота свободных колебаний почти равна собственной: $\omega_{\text{зат}} = \sqrt{\omega^2 - \beta^2}$, и поправка при малых $\beta$ теряется в третьем знаке. В задачах теормеха на приведённую жёсткость затухание обычно не задают вовсе.

Что делать, если груз лежит на горизонтальной поверхности? Формула не меняется: $\omega = \sqrt{c_{\text{пр}}/m}$. Отсутствует только статический прогиб, поэтому проверить ответ через $\delta_{\text{ст}}$ не получится, а трение, если оно задано, даёт затухание.

Как найти жёсткость по нужной частоте? Из $\omega = \sqrt{c/m}$ следует $c = m\omega^2 = m(2\pi\nu)^2$. Для груза $8$ кг и частоты $2$ Гц выходит $c = 8 \cdot (4\pi)^2 \approx 1263$ Н/м. Дальше эту жёсткость раскладывают на реальные пружины по тем же правилам соединения.

Коротко

1. Сверни схему в одну эквивалентную пружину: параллельно жёсткости складываются, последовательно складываются обратные величины.
2. Для смешанной схемы иди изнутри наружу: сначала узел $c_1 + c_2 = 800$ Н/м, потом последовательность с $c_3$ даёт $c_{\text{пр}} = 400$ Н/м.
3. Подставь в $\omega = \sqrt{c_{\text{пр}}/m}$: при $m = 4$ кг получается $\omega = 10$ рад/с.
4. Переведи в герцы и секунды: $\nu = \omega/(2\pi) \approx 1{,}59$ Гц, $T = 2\pi/\omega \approx 0{,}628$ с.
5. Проверь через статический прогиб $\delta_{\text{ст}} = mg/c_{\text{пр}} = 9{,}81$ см: $\sqrt{g/\delta_{\text{ст}}} = 10$ рад/с - сходится.