Как найти проекции момента на оси: пример расчёта

Дано: сила с проекциями $F_x = -100$ Н, $F_y = 200$ Н, $F_z = 250$ Н приложена в точке $A(0{,}4;\ 1{,}2;\ 1{,}0)$ м, центр моментов - начало координат $O$. Найти: проекции момента этой силы на оси $x$, $y$, $z$ и модуль вектора момента.

Проекции момента на оси - это попросту координаты вектора $\vec M_O = \vec r \times \vec F$, поэтому задача сводится к раскрытию одного определителя третьего порядка. Ответ: $M_x = 100$ Н·м, $M_y = -200$ Н·м, $M_z = 200$ Н·м, модуль момента $|\vec M_O| = 300$ Н·м. Калькулятор сверху пересчитывает все три проекции под твои числа и показывает, из каких двух произведений каждая складывается.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $M_x$, $M_y$, $M_z$ и $|\vec M_O|$.

Шаг 1. Записать радиус-вектор. Центр моментов стоит в начале координат, значит радиус-вектор точки приложения совпадает с её координатами:

$\vec r = 0{,}4\,\vec i + 1{,}2\,\vec j + 1{,}0\,\vec k \ \text{м}$

Это единственное место, где легко ошибиться на старте: в формулу идёт вектор из центра моментов в точку приложения силы, а не координаты самой силы.

Шаг 2. Оформить векторное произведение определителем. Момент силы относительно точки - вектор, и записывают его символическим определителем, в первой строке которого стоят орты осей, во второй - координаты радиус-вектора, в третьей - проекции силы:

$\vec M_O = \vec r \times \vec F = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ x & y & z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0{,}4 & 1{,}2 & 1{,}0 \\ -100 & 200 & 250 \end{vmatrix}$

Порядок строк менять нельзя: радиус-вектор всегда выше силы. Если поменять их местами, получится $\vec F \times \vec r$, и все три проекции сменят знак.

Шаг 3. Раскрыть определитель по первой строке. Коэффициент при каждом орте - минор второго порядка, причём у $\vec j$ он берётся со знаком минус. После раскрытия минора этот минус как раз и переворачивает порядок сомножителей во второй строчке:

$$\begin{aligned} M_x &= y F_z - z F_y = 1{,}2 \cdot 250 - 1{,}0 \cdot 200 = 300 - 200 = 100 \\ M_y &= z F_x - x F_z = 1{,}0 \cdot (-100) - 0{,}4 \cdot 250 = -100 - 100 = -200 \\ M_z &= x F_y - y F_x = 0{,}4 \cdot 200 - 1{,}2 \cdot (-100) = 80 + 120 = 200 \end{aligned}$$

Обрати внимание на индексы: в каждой строке участвуют только те две оси, которые остались после вычеркивания своей. Для $M_x$ работают $y$ и $z$, для $M_y$ - $z$ и $x$, для $M_z$ - $x$ и $y$. Порядок букв идёт по циклу $x \to y \to z \to x$, и если держать этот цикл в голове, формулы не придётся заучивать.

Шаг 4. Собрать вектор момента.

$\vec M_O = 100\,\vec i - 200\,\vec j + 200\,\vec k \ \text{Н}\cdot\text{м}$

Шаг 5. Найти модуль. Модуль вектора момента считается по теореме Пифагора в пространстве, а не сложением проекций:

$|\vec M_O| = \sqrt{M_x^2 + M_y^2 + M_z^2} = \sqrt{100^2 + 200^2 + 200^2} = \sqrt{90\,000} = 300 \ \text{Н}\cdot\text{м}$

Ответ: $M_x = 100$ Н·м, $M_y = -200$ Н·м, $M_z = 200$ Н·м, $|\vec M_O| = 300$ Н·м.

Знаки читаются так: относительно оси $x$ сила крутит тело против часовой стрелки, если смотреть с её положительного конца, относительно оси $y$ - по часовой, относительно оси $z$ - снова против.

Формула и откуда она берётся

Момент силы относительно точки определяется как векторное произведение $\vec M_O = \vec r \times \vec F$. Такое определение выбрано не ради красоты: модуль произведения равен $|\vec r||\vec F|\sin\alpha$, то есть силе, умноженной на плечо, а направление по правилу правой руки указывает ось, вокруг которой идёт вращение. Один вектор хранит сразу и величину действия, и его ось.

Расписать векторное произведение через координаты помогает таблица умножения ортов: $\vec i \times \vec j = \vec k$, $\vec j \times \vec k = \vec i$, $\vec k \times \vec i = \vec j$, а произведение орта на себя равно нулю. Перемножив суммы почленно и собрав слагаемые при каждом орте, получаем ровно те три формулы из шага 3. Определитель - лишь удобная мнемоника для этой выкладки, техника его раскрытия та же, что в задаче о том, как вычислить определитель третьего порядка.

Ключевой момент для теормеха: проекция вектора $\vec M_O$ на ось и есть момент силы относительно этой оси. Это не два разных понятия, а одно число, полученное двумя способами. Поэтому координатная формула заменяет собой построение чертежа с проецированием силы на перпендикулярную плоскость - способ, разобранный в задаче про то, как найти момент силы относительно оси. Там же видно, почему составляющая силы вдоль оси момента относительно неё не создаёт.

На практике координатный путь выигрывает, когда сила наклонена сразу к двум плоскостям: чертёж пришлось бы строить трижды, а определитель раскрывается один раз и сразу отдаёт все три проекции. Именно этим пользуются в уравнениях равновесия пространственной системы сил, где нужны суммы моментов относительно трёх осей.

Проверка ответа: плечо и две ортогональности

Первая проверка - через плечо. Модуль момента равен произведению модуля силы на плечо, значит плечо восстанавливается делением:

$|\vec F| = \sqrt{(-100)^2 + 200^2 + 250^2} = \sqrt{112\,500} = 335{,}4 \ \text{Н}, \qquad h = \frac{|\vec M_O|}{|\vec F|} = \frac{300}{335{,}4} = 0{,}894 \ \text{м}$

Сверим с геометрией. Расстояние от центра до точки приложения равно $|\vec r| = \sqrt{0{,}4^2 + 1{,}2^2 + 1{,}0^2} = 1{,}612$ м, а угол между радиус-вектором и силой находится через скалярное произведение: $\vec r \cdot \vec F = -40 + 240 + 250 = 450$, откуда $\cos\alpha = 450 / (1{,}612 \cdot 335{,}4) = 0{,}832$ и $\alpha = 33{,}7^\circ$. Тогда $h = |\vec r|\sin\alpha = 1{,}612 \cdot 0{,}555 = 0{,}894$ м - сходится. Заодно видно, что плечо почти вдвое меньше расстояния $OA$: подробнее этот шаг разобран в задаче о том, как найти плечо силы.

Вторая проверка - на ортогональность. Векторное произведение перпендикулярно обоим сомножителям, поэтому оба скалярных произведения обязаны обнулиться:

$\vec M_O \cdot \vec r = 100 \cdot 0{,}4 - 200 \cdot 1{,}2 + 200 \cdot 1{,}0 = 0, \qquad \vec M_O \cdot \vec F = -10\,000 - 40\,000 + 50\,000 = 0$

Обе суммы вышли нулевыми, значит арифметика в определителе чистая. Это самый быстрый способ поймать потерянный знак: при ошибке хотя бы в одной проекции нули не получатся.

Полезно знать и направление вектора момента. Его задают направляющие косинусы - отношения проекций к модулю: $\cos\alpha_x = 100/300 = 0{,}333$, $\cos\alpha_y = -200/300 = -0{,}667$, $\cos\alpha_z = 200/300 = 0{,}667$. Отсюда углы с осями $70{,}5^\circ$, $131{,}8^\circ$ и $48{,}2^\circ$, а сумма квадратов косинусов равна единице - ещё одна проверка. Та же техника разложения по осям работает и в чисто векторных задачах, например когда ищут площадь параллелограмма через векторное произведение.

Если центр моментов смещён из начала координат

Пусть момент нужен относительно точки $B(0{,}4;\ 0;\ 0)$. Меняется только радиус-вектор: теперь он идёт из $B$ в $A$, то есть $\vec{r}' = \vec r_A - \vec r_B = (0;\ 1{,}2;\ 1{,}0)$ м. Проекции силы остаются прежними.

$$\begin{aligned} M_x' &= 1{,}2 \cdot 250 - 1{,}0 \cdot 200 = 100 \\ M_y' &= 1{,}0 \cdot (-100) - 0 \cdot 250 = -100 \\ M_z' &= 0 \cdot 200 - 1{,}2 \cdot (-100) = 120 \end{aligned}$$

Модуль стал другим: $|\vec M_B| = \sqrt{100^2 + 100^2 + 120^2} = 185{,}5$ Н·м. А вот проекция на ось $x$ не изменилась, и это не совпадение: центр сдвинули вдоль оси $x$, а момент относительно прямой одинаков для любой её точки. Если новый центр лежит на нужной оси, пересчитывать соответствующую проекцию не нужно.

Отдельно стоит случай, когда все три проекции обращаются в ноль. Это значит, что линия действия силы проходит через центр моментов: векторы $\vec r$ и $\vec F$ коллинеарны, синус угла между ними равен нулю, плечо нулевое. Проверяется на глаз - координаты точки и проекции силы пропорциональны.

Частые ошибки

• Переставляют строки определителя. Радиус-вектор идёт второй строкой, сила - третьей. Обратный порядок даёт $\vec F \times \vec r$, и все три проекции меняют знак на противоположный, хотя модуль остаётся верным.
• Теряют минус во второй строке. По инерции пишут $M_y = x F_z - z F_x$ вместо $M_y = z F_x - x F_z$. Здесь вместо $-200$ получилось бы $+200$ Н·м и обе проверки на ортогональность провалились бы.
• Складывают проекции ради модуля. Сумма $100 - 200 + 200 = 100$ не имеет физического смысла. Модуль равен корню из суммы квадратов, в нашем случае 300 Н·м, то есть втрое больше.
• Берут плечо равным расстоянию до точки приложения. Плечо 0,894 м, а $OA$ = 1,612 м: разница почти вдвое, потому что сила стоит к радиус-вектору под углом 33,7, а не 90 градусов.
• Путают координаты точки с проекциями силы. В верхней строке минора всегда метры, в нижней всегда ньютоны. Перемешанные строки дают правдоподобное число и полностью неверный ответ.
• Смешивают единицы. Координаты в сантиметрах и сила в ньютонах дадут момент в Н·см, который отличается от Н·м в сто раз. Переводить длины в метры лучше до подстановки.

FAQ

Проекция момента на ось и момент силы относительно этой оси - это одно и то же? Да, это одно число. Момент относительно точки - вектор, момент относительно оси - скаляр со знаком, и он равен проекции этого вектора на ось. Поэтому найденные $M_x$, $M_y$, $M_z$ можно сразу подставлять в уравнения равновесия как моменты относительно координатных осей.

Что делать, если сила задана модулем и углами, а не проекциями? Сначала разложить её по осям через направляющие косинусы: $F_x = F\cos\alpha$, $F_y = F\cos\beta$, $F_z = F\cos\gamma$. Дальше алгоритм не меняется. Если известны только два угла, третий косинус находят из условия, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Почему вектор момента перпендикулярен и радиус-вектору, и силе? Это свойство любого векторного произведения: результат ортогонален плоскости сомножителей. Физически вектор момента показывает ось вращения, а она всегда перпендикулярна плоскости, в которой лежат сила и плечо. Именно поэтому обнуление двух скалярных произведений работает как проверка расчёта.

Может ли модуль момента превысить произведение расстояния на силу? Нет. Из формулы $|\vec M_O| = |\vec r||\vec F|\sin\alpha$ видно, что максимум достигается при прямом угле и равен $|\vec r||\vec F|$. Для нашей задачи это $1{,}612 \cdot 335{,}4 = 540{,}8$ Н·м, а получилось 300 Н·м - результат обязан быть меньше, иначе где-то ошибка.

Коротко

1. Построй радиус-вектор из центра моментов в точку приложения силы: при центре в начале координат это просто координаты точки, $\vec r = (0{,}4;\ 1{,}2;\ 1{,}0)$ м.
2. Запиши определитель: орты в первой строке, координаты радиус-вектора во второй, проекции силы в третьей.
3. Раскрой его по первой строке и выпиши проекции по циклу $x \to y \to z$: $M_x = y F_z - z F_y = 100$, $M_y = z F_x - x F_z = -200$, $M_z = x F_y - y F_x = 200$ Н·м.
4. Модуль считай через корень из суммы квадратов: $|\vec M_O| = 300$ Н·м, направление - через направляющие косинусы $0{,}333$, $-0{,}667$, $0{,}667$.
5. Проверь ответ дважды: плечо $h = |\vec M_O| / |\vec F| = 0{,}894$ м и два нулевых скалярных произведения $\vec M_O \cdot \vec r$ и $\vec M_O \cdot \vec F$.