Как вычислить определитель третьего порядка: пример

Дано: матрица $A$ со строками $(3;\ 1;\ -2)$, $(1;\ 0;\ 4)$ и $(2;\ -3;\ 1)$. Найти: $\det A$ по правилу треугольников и проверить ответ разложением по второй строке.

Определитель третьего порядка - это алгебраическая сумма шести произведений, в каждом из которых стоит ровно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца. Правило треугольников только расставляет знаки этих шести слагаемых по геометрическому рисунку, поэтому считать по нему можно почти механически. Ответ: $\det A = 49$, и разложение по строке даёт то же число.

Калькулятор сверху пересчитывает обе схемы для любой матрицы 3x3: синие столбики на его графике - слагаемые со знаком плюс, оранжевые - со знаком минус, зелёный - сам определитель.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем матрицу. Индексы читаются строго по порядку: первый номер - строка, второй - столбец. В нашей матрице $a_{11} = 3$, $a_{22} = 0$, $a_{33} = 1$.

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$

Шаг 2. Приписываем справа первые два столбца. Это техническая уловка Саррюса, и она сильно снижает шанс ошибиться: после дописывания все шесть нужных произведений лежат на прямых диагоналях расширенной таблицы, а рисовать треугольники в уме уже не нужно.

$$\left(\begin{array}{ccc|cc} 3 & 1 & -2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 1 & 2 & -3 \end{array}\right)$$

Шаг 3. Три произведения со знаком плюс. Их берут по диагоналям, идущим слева направо и сверху вниз: главная диагональ и две параллельные ей линии.

$$\begin{aligned} a_{11}a_{22}a_{33} &= 3 \cdot 0 \cdot 1 = 0, \\ a_{12}a_{23}a_{31} &= 1 \cdot 4 \cdot 2 = 8, \\ a_{13}a_{21}a_{32} &= (-2) \cdot 1 \cdot (-3) = 6. \end{aligned}$$

Их сумма равна $0 + 8 + 6 = 14$. Обрати внимание на третье слагаемое: два отрицательных множителя дали плюс, и это самое частое место потери знака.

Шаг 4. Три произведения со знаком минус. Теперь диагонали идут справа налево: побочная диагональ и две параллельные ей линии.

$$\begin{aligned} a_{13}a_{22}a_{31} &= (-2) \cdot 0 \cdot 2 = 0, \\ a_{11}a_{23}a_{32} &= 3 \cdot 4 \cdot (-3) = -36, \\ a_{12}a_{21}a_{33} &= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1. \end{aligned}$$

Их сумма равна $0 - 36 + 1 = -35$. Знак минус здесь принадлежит самому произведению, а не схеме: минус схемы мы поставим на следующем шаге, и путать эти два минуса нельзя.

Шаг 5. Вычитаем вторую сумму из первой.

$$\det A = 14 - (-35) = 14 + 35 = 49$$

Ответ: $\det A = 49$. Определитель отличен от нуля, значит строки матрицы линейно независимы, матрица обратима, а система линейных уравнений с такой матрицей имеет ровно одно решение.

Проверка разложением по строке

Один ответ, полученный одним способом, доверия не заслуживает: в шести произведениях легко потерять знак и не заметить этого. Самая дешёвая проверка - разложение по линии, в которой есть нуль. У нас такой линией оказалась вторая строка: в ней стоит $a_{22} = 0$, и одно слагаемое из трёх отпадает само.

Разложение по второй строке выглядит так, знаки чередуются в шахматном порядке:

$$\det A = -a_{21}M_{21} + a_{22}M_{22} - a_{23}M_{23}$$

Каждый минор $M_{ij}$ получается вычёркиванием строки и столбца своего элемента; подробный разбор самой процедуры вычёркивания есть в разборе как найти минор матрицы, здесь мы пользуемся готовым результатом.

$$\begin{aligned} M_{21} &= \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-2) \cdot (-3) = -5, \\ M_{22} &= \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - (-2) \cdot 2 = 7, \\ M_{23} &= \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-3) - 1 \cdot 2 = -11. \end{aligned}$$

Подставляем числа второй строки $(1;\ 0;\ 4)$:

$$\det A = -1 \cdot (-5) + 0 \cdot 7 - 4 \cdot (-11) = 5 + 0 + 44 = 49$$

Числа сошлись: оба способа дали 49. Минор $M_{22}$ мы посчитали зря - его слагаемое всё равно умножается на нуль, и на экзамене такой минор не считают вовсе. Именно поэтому линию для разложения выбирают по числу нулей, а не по номеру.

Формула и откуда берётся правило треугольников

Строгое определение не упоминает никаких треугольников. Определитель порядка $n$ - это сумма всех произведений вида $a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \ldots a_{n\sigma(n)}$, где $\sigma$ пробегает все перестановки номеров столбцов, а знак слагаемого равен знаку перестановки:

$$\det A = \sum_{\sigma} \operatorname{sgn}(\sigma)\, a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} a_{3\sigma(3)}$$

Для третьего порядка перестановок ровно $3! = 6$, отсюда и шесть слагаемых. Три из них соответствуют чётным перестановкам и входят со знаком плюс, три нечётным - со знаком минус. Рисунок с треугольниками просто запоминает, какая тройка позиций чётная, а какая нет.

Отсюда следует важное ограничение. Для четвёртого порядка перестановок уже $4! = 24$, и никакой схемы из диагоналей для них не существует: попытка приписать столбцы и посчитать восемь диагоналей даёт заведомо неверный ответ. Определители порядка выше третьего считают только разложением по строке или приведением к треугольному виду.

Свойства определителя и приведение к треугольному виду

Часть задач решается вообще без вычислений: достаточно посмотреть на матрицу и узнать свойство. Вот таблица, которой хватает на контрольной.

Последние две строки таблицы и есть признаки вырожденной матрицы. Если определитель равен нулю, ранг матрицы меньше трёх, обратной матрицы не существует, а однородная система с такой матрицей имеет бесконечно много решений. Как именно падает ранг, показано в разборе как найти ранг матрицы.

Третье свойство из таблицы даёт самый экономный способ счёта. Прибавление к строке другой строки, умноженной на число, определитель не меняет - значит матрицу можно привести к треугольному виду теми же элементарными преобразованиями, что и в методе Гаусса, а потом просто перемножить элементы главной диагонали. Для нашей матрицы после исключения первого столбца и второго шага прямого хода на диагонали остаются числа $3$, $-\tfrac{1}{3}$ и $-49$, а их произведение снова равно 49.

Частые ошибки

• Потеря знака при двух отрицательных множителях. Произведение $(-2) \cdot 1 \cdot (-3)$ равно $+6$, а не $-6$. Выписывай отрицательные числа в скобках: строка вида $3 \cdot -3$ почти гарантированно будет прочитана неверно.
• Минус схемы вместо вычитания. Вторая тройка произведений даёт $-35$, но в формулу она входит со знаком минус, то есть итог равен $14 - (-35) = 49$, а не $14 - 35 = -21$. Проще считать вторую сумму как есть, а потом честно вычитать её целиком.
• Перепутанные индексы. В $a_{23}$ первый индекс - строка, второй - столбец, это элемент второй строки и третьего столбца. Обратный порядок даст другую матрицу и другой ответ.
• Перенос правила треугольников на порядок 4 и выше. Схема работает только для матриц 3x3; для четвёртого порядка нужно разложение по строке.
• Разложение по линии без нулей. Формально верно, но втрое дороже: если в строке или столбце есть нуль, раскладывать надо по ней.
• Определитель у неквадратной матрицы. У матрицы 3x4 определителя не существует в принципе, там считают миноры и ранг.

FAQ

Правило треугольников и правило Саррюса - это одно и то же? По результату да, различается только мнемоника. Саррюс приписывает справа два первых столбца и читает шесть прямых диагоналей, правило треугольников рисует диагональ и два треугольника с основаниями, параллельными ей. Слагаемые получаются одни и те же.

Что делать, если определитель равен нулю? Это значит, что строки линейно зависимы: одна из них выражается через две другие. Матрица вырождена, обратной к ней нет, и формулы правила Крамера к системе неприменимы - её решают методом Гаусса, а ответом будет либо бесконечное множество решений, либо несовместность.

Можно ли раскладывать по столбцу, а не по строке? Да, определитель не меняется при транспонировании, поэтому строки и столбцы в нём полностью равноправны. Выбирай ту линию, где больше нулей, безразлично, строка это или столбец.

Зачем нужен определитель, кроме контрольных? Он отвечает на вопрос об обратимости: система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда $\det A \neq 0$. Через определитель находят обратную матрицу для матричных уравнений и характеристический многочлен при поиске собственных значений.

Коротко

1. Выписать матрицу и приписать справа первые два столбца - дальше всё читается по прямым диагоналям.
2. Сложить три произведения по диагоналям сверху вниз слева направо: для нашей матрицы это $0 + 8 + 6 = 14$.
3. Сложить три произведения по диагоналям справа налево: $0 - 36 + 1 = -35$.
4. Вычесть вторую сумму из первой: $\det A = 14 - (-35) = 49$.
5. Проверить ответ разложением по линии с нулём: по второй строке получается $5 + 0 + 44 = 49$, числа сошлись, определитель не равен нулю, матрица обратима.