Как найти минор матрицы: разбор с примером

Дано: матрица $A$ со строками $(2;\ -1;\ 3)$, $(0;\ 4;\ 1)$ и $(5;\ 2;\ -2)$. Найти: минор $M_{23}$, алгебраическое дополнение $A_{23}$ и определитель разложением по второй строке.

Минор элемента получают вычёркиванием его собственной строки и его собственного столбца: от матрицы третьего порядка остаётся определитель второго порядка, а он считается по правилу «произведение главной диагонали минус произведение побочной». Ответ: $M_{23} = 9$, $A_{23} = -9$, $\det A = -85$. Калькулятор сверху пересчитывает минор и всё разложение для любой позиции и любой матрицы 3x3, а столбики на его графике показывают, из каких слагаемых складывается определитель.

Решение по шагам

Шаг 1. Находим сам элемент. Индексы читаются строго по порядку: первый - номер строки, второй - номер столбца. Значит $a_{23}$ стоит во второй строке и третьем столбце, это число 1.

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 5 & 2 & -2 \end{pmatrix}$$

Шаг 2. Вычёркиваем строку и столбец элемента. Убираем вторую строку целиком и третий столбец целиком. Оставшиеся четыре числа нельзя переставлять: их взаимный порядок сохраняется, иначе знак определителя перевернётся.

$$M_{23} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 5 = 4 + 5 = 9$$

Шаг 3. Ставим знак позиции. Минор - это просто число, дополнение - тот же минор со знаком, который зависит от места элемента. Сумма индексов $2 + 3 = 5$ нечётная, поэтому знак минус.

$$A_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -1 \cdot 9 = -9$$

Шаг 4. Досчитываем оставшиеся дополнения второй строки. Чтобы разложить определитель по строке, нужны дополнения всех её элементов, а не только третьего.

$$\begin{aligned} M_{21} &= \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 2 - 6 = -4, & A_{21} &= (-1)^{2+1} \cdot (-4) = 4, \\ M_{22} &= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} = -4 - 15 = -19, & A_{22} &= (-1)^{2+2} \cdot (-19) = -19. \end{aligned}$$

Шаг 5. Собираем разложение. Каждый элемент строки умножается на своё дополнение, результаты складываются.

$$\det A = a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23} = 0 \cdot 4 + 4 \cdot (-19) + 1 \cdot (-9) = -76 - 9 = -85$$

Ответ: $M_{23} = 9$, $A_{23} = -9$, $\det A = -85$.

Проверка. Разложим тот же определитель по первому столбцу, где тоже есть ноль. Дополнения столбца равны $A_{11} = -10$, $A_{21} = 4$, $A_{31} = -13$, и сумма даёт то же число:

$$\det A = 2 \cdot (-10) + 0 \cdot 4 + 5 \cdot (-13) = -20 - 65 = -85$$

Совпадение не случайно: разложение по любой строке и по любому столбцу даёт один и тот же определитель. Это и есть самый надёжный способ проверить себя, пока навык не автоматизировался.

Формула минора и алгебраического дополнения

Минор $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ квадратной матрицы порядка $n$ - это определитель матрицы порядка $n-1$, которая остаётся после вычёркивания $i$-й строки и $j$-го столбца. Алгебраическое дополнение - тот же минор, домноженный на знак позиции:

$$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$

Знак степени удобнее не считать, а смотреть по шахматной доске: у элемента в левом верхнем углу плюс, дальше знаки чередуются в обе стороны. Для матрицы третьего порядка доска выглядит так:

Теорема Лапласа утверждает, что сумма произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю. Именно она превращает определитель порядка $n$ в сумму $n$ определителей порядка $n-1$ и позволяет спускаться от четвёртого порядка к третьему, от третьего ко второму.

Есть и обратная сторона теоремы, которую часто пропускают: если взять элементы одной строки, а дополнения другой, сумма окажется нулевой. Проверь на нашей матрице: $2 \cdot 4 + (-1) \cdot (-19) + 3 \cdot (-9) = 8 + 19 - 27 = 0$. Это свойство лежит в основе формулы обратной матрицы, где из дополнений собирают союзную матрицу и транспонируют её.

Разложение определителя: по какой линии считать выгоднее

Раскладывать можно по любой строке и по любому столбцу - ответ один. Но объём работы разный: каждый ненулевой элемент требует своего минора, а нулевой не требует ничего, потому что обнуляет всё слагаемое. В нашей задаче вторая строка и первый столбец содержат по нулю, поэтому вместо трёх миноров второго порядка мы считали два.

Если нулей в матрице нет, их создают. Определитель не меняется, когда к строке прибавляют другую строку, умноженную на число, - этим и пользуются: одним преобразованием получают нуль в удобном месте, потом раскладывают по этой строке. Для определителя четвёртого порядка приём почти обязателен, иначе придётся считать четыре минора третьего порядка вместо одного.

Нажми в калькуляторе сверху переключатель «по столбцу» и сравни картинку: набор столбиков поменяется, а зелёный столбик суммы останется на прежней высоте. Пресет «Вырожденная» показывает крайний случай - там все слагаемые складываются в ноль.

Минор k-го порядка и базисный минор

У прямоугольной матрицы миноры элементов не определены, зато определены миноры порядка $k$: выбираем любые $k$ строк и любые $k$ столбцов, ставим их пересечения в квадратную таблицу и считаем определитель. У матрицы размера $3 \times 4$ миноров второго порядка ровно $C_3^2 \cdot C_4^2 = 18$, а третьего порядка $C_3^3 \cdot C_4^3 = 4$.

Возьмём матрицу со строками $(1;\ 2;\ 3;\ 4)$, $(2;\ 4;\ 6;\ 8)$ и $(1;\ 0;\ 1;\ 0)$. Все четыре минора третьего порядка равны нулю: в каждом из них вторая строка вдвое больше первой, а определитель с пропорциональными строками нулевой. Зато минор на строках 1, 3 и столбцах 1, 2 равен $1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = -2$, то есть отличен от нуля.

Наибольший порядок ненулевого минора и есть ранг матрицы, а сам такой минор называют базисным. Здесь ранг равен 2, базисный минор - найденный нами определитель со значением $-2$, и строки, на которых он стоит, образуют базис системы строк. Если ранг нужен как самостоятельный ответ, быстрее идти через элементарные преобразования: этот путь со всеми выкладками разобран в задаче как найти ранг матрицы, там же метод окаймляющих миноров, который сокращает перебор.

Дополнения нужны не только ради определителя. Из них строится союзная матрица в формуле обратной, а обратная матрица - рабочий инструмент при решении матричных уравнений. На определителях с заменой столбца держится и правило Крамера, а определитель $\det(A - \lambda E)$ даёт характеристическое уравнение в задаче про собственные значения матрицы.

Базисный минор задаёт не только ранг: его столбцы образуют базис образа линейного оператора, заданного этой матрицей, - там же разобрана и связь ранга с размерностью ядра.

Частые ошибки

• Вычёркивают не то. Для $M_{23}$ убирают вторую строку и третий столбец. Перепутанные местами индексы дают минор $M_{32}$ и другое число.
• Забывают знак. В разложение идёт дополнение $A_{ij}$, а не минор $M_{ij}$. Подстановка $M_{23} = 9$ вместо $-9$ меняет ответ с $-85$ на $-67$.
• Переставляют оставшиеся числа. После вычёркивания строки и столбцы сохраняют исходный порядок. Поменяв местами две строки минора, получают тот же модуль, но противоположный знак.
• Смешивают линии. Элементы берут из одной строки, а дополнения из другой - и получают чистый ноль вместо определителя. Ноль здесь не ответ, а признак ошибки.
• Теряют минус элемента. Отрицательный элемент и отрицательное дополнение дают положительное слагаемое: аккуратно перемножай знаки, а не переноси минус на глаз.
• Считают, что минор порядка $k$ один. У прямоугольной матрицы их десятки, и для ранга важно, есть ли среди них хотя бы один ненулевой.

FAQ

Чем минор отличается от алгебраического дополнения? Минор - определитель урезанной матрицы, число без знака позиции. Дополнение - то же число, умноженное на $(-1)^{i+j}$. У элементов, где сумма индексов чётная, они совпадают, а где нечётная - отличаются знаком.

Как быстро понять знак, не возводя в степень? По шахматной раскраске: в левом верхнем углу плюс, соседние клетки по горизонтали и вертикали - минус, дальше снова плюс. На матрице любого порядка это работает одинаково.

По какой строке раскладывать определитель? По той, где больше нулей: каждый ноль экономит один минор. Если нулей нет, их получают элементарным преобразованием строк - определитель от прибавления одной строки к другой не меняется.

Зачем нужен базисный минор? Он даёт ранг матрицы, а вместе с ним - число линейно независимых строк и столбцов. Через ранг проверяют совместность системы уравнений и определяют размерность пространства решений.

Коротко

1. Минор $M_{ij}$ - определитель, оставшийся после вычёркивания $i$-й строки и $j$-го столбца; порядок падает на единицу.
2. Алгебраическое дополнение $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$: тот же минор со знаком по шахматной доске.
3. Для $A$ со строками $(2;\ -1;\ 3)$, $(0;\ 4;\ 1)$, $(5;\ 2;\ -2)$ вычёркивание второй строки и третьего столбца даёт $M_{23} = 9$ и $A_{23} = -9$.
4. Разложение по второй строке: $0 \cdot 4 + 4 \cdot (-19) + 1 \cdot (-9) = -85$, столько же даёт разложение по первому столбцу.
5. Для прямоугольной матрицы работают миноры порядка $k$: наибольший ненулевой из них называется базисным, а его порядок равен рангу.