Как решить систему матричным методом: разбор 3 на 3

Дано: система трёх линейных уравнений $2x + y + z = 3$, $x + y + 2z = 1$, $3x + 2y + z = 6$. Найти: $x$, $y$, $z$ матричным методом.

Матричный метод (он же метод обратной матрицы) устроен в одну строчку: система записывается как $AX = B$, обе части умножаются слева на $A^{-1}$, и решение получается готовым столбцом $X = A^{-1}B$. Работает он ровно тогда, когда $\det A \neq 0$. Ответ здесь: $x = 1$, $y = 2$, $z = -1$. Калькулятор сверху считает определитель, союзную и обратную матрицы для твоих чисел, а график показывает, как решение тянется за свободными членами.

Решение по шагам

Шаг 1. Записываем систему в матричной форме. Коэффициенты при неизвестных становятся матрицей $A$, сами неизвестные - столбцом $X$, свободные члены - столбцом $B$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}.$$

Порядок неизвестных во всех уравнениях должен быть одинаковым: сначала $x$, потом $y$, потом $z$. Если в каком-то уравнении неизвестной нет, на её месте стоит ноль, а не пропуск.

Шаг 2. Считаем определитель. Раскладываем по первой строке:

$$\det A = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-3) - 1 \cdot (-5) + 1 \cdot (-1) = -2.$$

Определитель не равен нулю, значит обратная матрица существует и решение единственно. Если тебе привычнее считать определитель треугольником или по правилу Саррюса, посмотри разбор определителя третьего порядка - результат должен получиться тот же.

Шаг 3. Выписываем девять алгебраических дополнений. Каждое дополнение $A_{ij}$ - это минор (определитель, оставшийся после вычёркивания строки $i$ и столбца $j$) со знаком $(-1)^{i+j}$:

$$\begin{aligned} A_{11} &= +(1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = -3, & A_{12} &= -(1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) = 5, & A_{13} &= +(1 \cdot 2 - 1 \cdot 3) = -1, \\ A_{21} &= -(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = 1, & A_{22} &= +(2 \cdot 1 - 1 \cdot 3) = -1, & A_{23} &= -(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) = -1, \\ A_{31} &= +(1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = 1, & A_{32} &= -(2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = -3, & A_{33} &= +(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 1. \end{aligned}$$

Шаг 4. Транспонируем матрицу дополнений. Союзная (присоединённая) матрица $\text{adj}\,A$ получается отражением относительно главной диагонали: дополнение $A_{12} = 5$ уезжает в позицию (2; 1), а на место (1; 2) встаёт $A_{21} = 1$. Подробности этого шага - в разборе присоединённой матрицы.

$$\text{adj}\,A = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Шаг 5. Делим на определитель. Обратная матрица - это союзная, делённая на $\det A$. Удобнее не делить каждый элемент, а вынести множитель за скобку: так меньше дробей и меньше шансов ошибиться со знаком.

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \text{adj}\,A = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Шаг 6. Умножаем обратную матрицу на столбец свободных членов. Строка $A^{-1}$ умножается на столбец $B$ поэлементно, суммы складываются:

$$X = A^{-1}B = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -9 + 1 + 6 \\ 15 - 1 - 18 \\ -3 - 1 + 6 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}.$$

Шаг 7. Проверяем подстановкой. Это обязательный шаг: он ловит и ошибку в дополнениях, и потерянный знак определителя.

Все три равенства выполняются точно.

Ответ: $x = 1$, $y = 2$, $z = -1$.

Формула и откуда она берётся

Сравни с обычным уравнением $ax = b$: чтобы найти $x$, обе части делят на $a$, и это законно, пока $a \neq 0$. У матриц деления нет, вместо него - умножение на обратную матрицу $A^{-1}$, для которой по определению $A^{-1}A = E$, где $E$ - единичная матрица.

Умножим обе части равенства $AX = B$ слева на $A^{-1}$. Слева получится $A^{-1}(AX) = (A^{-1}A)X = EX = X$, справа остаётся $A^{-1}B$. Отсюда и берётся рабочая формула метода:

$$X = A^{-1}B, \qquad \det A \neq 0.$$

Слово «слева» здесь не украшение. Умножение матриц некоммутативно, поэтому $A^{-1}$ надо приписывать к обеим частям с одной и той же стороны - с той, с которой матрица $A$ примыкает к неизвестной. Для уравнения вида $XA = B$ множитель уходит вправо и ответ будет другим: этот случай подробно разобран в задаче про матричное уравнение.

Условие $\det A \neq 0$ - это и есть условие существования $A^{-1}$: обратная матрица равна союзной, делённой на определитель, а на ноль делить нельзя. Заодно отсюда видно, почему решение единственно: если бы нашлось два разных столбца, оба равнялись бы одному и тому же произведению $A^{-1}B$.

Если определитель равен нулю

Нулевой определитель не означает, что задача не решается, - он означает, что не работает именно матричный метод. Обратной матрицы нет, формулу применять не к чему, и система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений.

Возьмём систему $x + 2y + z = 3$, $2x + 4y + 2z = 7$, $x + y + z = 2$. Вторая строка матрицы коэффициентов ровно вдвое больше первой, поэтому определитель равен нулю. Но левая часть второго уравнения - это удвоенная левая часть первого, то есть 6, а справа стоит 7. Противоречие, система несовместна. Если бы справа стояла шестёрка, второе уравнение было бы копией первого и решений оказалось бы бесконечно много.

Различает эти случаи не определитель, а ранги: сравнивают ранг матрицы коэффициентов с рангом расширенной матрицы. Как их считать, разобрано в задаче про ранг матрицы, а сам разбор вырожденной системы удобнее вести методом Гаусса: он доводит систему до ступенчатого вида и сразу показывает, какая строка даёт противоречие или превращается в нулевую.

Матричный метод, Крамер и Гаусс: что выбрать

Три школьных способа решают одну и ту же задачу, но стоят по-разному. Матричный метод для системы 3 на 3 требует посчитать десять определителей: один основной и девять дополнений. Правило Крамера - четыре определителя третьего порядка; как это выглядит на числах, показано в статье про правило Крамера. Метод Гаусса определителей не считает вовсе.

Собственное преимущество у матричного метода одно, но весомое: обратная матрица считается один раз, а потом работает с любым столбцом свободных членов. Если в задаче просят решить систему сразу для нескольких правых частей (типичная история в экономических балансовых моделях и в расчётах цепей), Гаусс придётся прогонять заново для каждой, а тут достаточно ещё одного умножения $A^{-1}B$. Для системы 4 на 4 и выше считать дополнения вручную уже невыгодно: там обратную матрицу находят методом Гаусса-Жордана.

Частые ошибки

• Неверный порядок множителей. Пишут $X = BA^{-1}$ вместо $X = A^{-1}B$. Столбец $B$ имеет размер 3 на 1, а $A^{-1}$ - 3 на 3, такое произведение просто не определено: число столбцов первой матрицы не совпадает с числом строк второй.
• Забытое транспонирование. Матрицу дополнений делят на определитель, не отразив её относительно главной диагонали. На симметричной матрице ошибка не видна, а здесь сразу даст неверный ответ: $A_{12} = 5$ обязано оказаться во второй строке союзной матрицы.
• Потерянные знаки $(-1)^{i+j}$. Дополнения с нечётной суммой индексов берутся с минусом. Быстрая проверка: произведение $A \cdot \text{adj}\,A$ должно давать диагональную матрицу с числом $\det A$ на диагонали.
• Пропущенная неизвестная. В уравнении $x + 2z = 5$ переменной $y$ нет, и в матрице на её месте обязан стоять ноль. Если столбец просто сдвинуть, система будет решена не та.
• Свободные члены без знака. Когда уравнение записано как $2x + y + z - 3 = 0$, при переносе тройки вправо знак меняется. В столбец $B$ идёт уже перенесённое значение.
• Деление на определитель в последний момент. Если сначала умножить союзную матрицу на $B$, а потом поделить результат на $\det A$ - ответ верный, и так даже удобнее. Ошибка в другом: поделить на определитель дважды, сначала внутри $A^{-1}$, а потом ещё раз в конце.

FAQ

Чем матричный метод отличается от метода Крамера? Оба требуют квадратной матрицы и ненулевого определителя и дают одно и то же решение. Крамер считает отдельный определитель для каждой неизвестной, а матричный метод один раз строит обратную матрицу и затем получает весь столбец решений сразу. Для одной правой части Крамер короче, для нескольких выгоднее матричный.

Можно ли решить матричным методом систему, где уравнений больше, чем неизвестных? Нет. Матрица коэффициентов обязана быть квадратной, иначе обратной матрицы не существует по определению. Прямоугольные системы исследуют по рангам и решают методом Гаусса.

Обязательно ли искать обратную матрицу через союзную? Нет, это лишь один из способов. Для порядка 2 и 3 он самый быстрый вручную, а начиная с 4 на 4 удобнее метод Гаусса-Жордана: рядом с матрицей приписывают единичную и элементарными преобразованиями доводят левую половину до единичной, тогда правая становится обратной.

Что делать, если элементы обратной матрицы дробные? Не превращать их в десятичные дроби раньше времени. Множитель $1/\det A$ выносят за матрицу и оставляют целые числа внутри, а делят уже готовый столбец $\text{adj}\,A \cdot B$. Так и арифметика проще, и округления не накапливаются.

Коротко

1. Записать систему как $AX = B$: коэффициенты в матрицу, неизвестные в столбец, свободные члены в правый столбец; пропущенные неизвестные - нули.
2. Посчитать $\det A$. Ноль - метод не применим, дальше только ранги и Гаусс.
3. Найти девять алгебраических дополнений со знаками $(-1)^{i+j}$ и транспонировать матрицу дополнений: получится союзная матрица.
4. Разделить союзную матрицу на определитель - это $A^{-1}$; умножить её на столбец $B$ и получить $X$.
5. Для системы $2x + y + z = 3$, $x + y + 2z = 1$, $3x + 2y + z = 6$ определитель равен $-2$, а ответ $x = 1$, $y = 2$, $z = -1$; подстановка в три уравнения даёт 3, 1 и 6.