Как найти фундаментальную систему решений: разбор

Дано: однородная система трёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными

$$\begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 + x_4 = 0, \\ 2x_1 - 4x_2 + 3x_3 - x_4 = 0, \\ 3x_1 - 6x_2 + 4x_3 = 0. \end{cases}$$

Найти: фундаментальную систему решений и общее решение. Матрица коэффициентов приводится методом Гаусса к ступенчатому виду, её ранг оказывается равным $r = 2$ при числе неизвестных $n = 4$, значит свободных неизвестных $n - r = 2$ и в фундаментальной системе ровно два вектора. Ответ: $e_1 = (2;\ 1;\ 0;\ 0)$ и $e_2 = (-4;\ 0;\ 3;\ 1)$, общее решение $X = C_1 e_1 + C_2 e_2$ с произвольными числами $C_1$ и $C_2$. Калькулятор сверху решает эту же систему и любую другую однородную: он показывает ранг, свободные неизвестные и сами базисные решения.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем матрицу коэффициентов. Система однородная, столбец свободных членов целиком нулевой, а элементарные преобразования строк его не меняют. Поэтому расширенную матрицу не пишут: достаточно матрицы коэффициентов.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 2 & -4 & 3 & -1 \\ 3 & -6 & 4 & 0 \end{pmatrix}.$$

Шаг 2. Прямой ход метода Гаусса. Ведущим берём $a_{11} = 1$. Из второй строки вычитаем первую, умноженную на 2, из третьей - первую, умноженную на 3:

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}.$$

Второй столбец обнулился сам: он пропорционален первому, поэтому ведущий элемент второй строки придётся искать уже в третьем столбце. Третья строка совпала со второй, вычитаем её и получаем нулевую строку:

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Шаг 3. Считаем ранг и разбиваем неизвестные на две группы. Ненулевых строк осталось две, поэтому $\operatorname{rang} A = 2$. Ведущие элементы стоят в первом и третьем столбцах, значит базисные неизвестные - это $x_1$ и $x_3$, а свободные - $x_2$ и $x_4$. Число векторов будущей фундаментальной системы равно числу свободных неизвестных: $n - r = 4 - 2 = 2$. Если ранг вызывает сомнения, его считают отдельно, по схеме из разбора как найти ранг матрицы.

Шаг 4. Доводим до приведённого ступенчатого вида. Так базисные неизвестные выражаются через свободные без обратного хода. Вычитаем из первой строки вторую:

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x_1 - 2x_2 + 4x_4 = 0, \\ x_3 - 3x_4 = 0. \end{cases}$$

Отсюда сразу видны формулы, которыми базисные неизвестные выражены через свободные:

$$x_1 = 2x_2 - 4x_4, \qquad x_3 = 3x_4.$$

Шаг 5. Строим базисные решения. Каждой свободной неизвестной по очереди даём единицу, остальным свободным - нули, а базисные досчитываем по формулам шага 4.

Первый набор: $x_2 = 1$, $x_4 = 0$. Тогда $x_1 = 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 = 2$ и $x_3 = 3 \cdot 0 = 0$, то есть $e_1 = (2;\ 1;\ 0;\ 0)$.

Второй набор: $x_2 = 0$, $x_4 = 1$. Тогда $x_1 = 2 \cdot 0 - 4 \cdot 1 = -4$ и $x_3 = 3 \cdot 1 = 3$, то есть $e_2 = (-4;\ 0;\ 3;\ 1)$.

Шаг 6. Записываем общее решение. Любое решение однородной системы - линейная комбинация найденных векторов:

$$X = C_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad C_1, C_2 \in \mathbb{R}.$$

Ответ: фундаментальная система состоит из двух решений $e_1 = (2;\ 1;\ 0;\ 0)$ и $e_2 = (-4;\ 0;\ 3;\ 1)$, общее решение однородной системы $X = C_1 e_1 + C_2 e_2$.

Формула и откуда она берётся

Множество решений однородной системы $Ax = 0$ - не просто набор наборов чисел, а линейное подпространство в $\mathbb{R}^n$: сумма двух решений снова решение, решение, умноженное на число, тоже решение. Отсюда и название: фундаментальная система решений - это базис такого подпространства, а общее решение - разложение произвольного элемента по этому базису.

Размерность подпространства решений даёт теорема о ранге и дефекте:

$$\dim \{\, x \in \mathbb{R}^n : Ax = 0 \,\} = n - \operatorname{rang} A.$$

Обоснование прячется в самой процедуре. Ступенчатый вид даёт $r$ независимых уравнений, каждое из которых жёстко определяет одну базисную неизвестную. Свободные неизвестные не связаны ничем: их значения задаются произвольно, а всё остальное по ним восстанавливается однозначно. Значит, решение полностью описывается набором из $n - r$ чисел, и параметров ровно столько.

Линейная независимость векторов ФСР проверяется без вычислений. Выпишем их в строки матрицы и посмотрим на столбцы свободных неизвестных: в нашем случае это столбцы $x_2$ и $x_4$, и там стоит единичная матрица $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Единичный блок имеет ранг $n - r$, а ранг всей матрицы не меньше ранга её части, поэтому строки линейно независимы при любых значениях остальных координат.

Однородная система совместна всегда - нулевой набор ей подходит по определению, так что по теореме Кронекера-Капелли ранги основной и расширенной матриц совпадают автоматически. Содержательный вопрос другой: есть ли у неё ненулевые решения. Ответ даёт то же равенство. При $r < n$ свободные неизвестные есть, и ненулевые решения обязательно найдутся; при $r = n$ их нет, система имеет единственное нулевое решение, а фундаментальной системы у неё не существует.

Проверка ответа и другой выбор свободных неизвестных

Проверка занимает минуту: каждый вектор подставляется в исходные уравнения, а не в ступенчатую матрицу - иначе ошибка преобразований останется незамеченной.

Проверить стоит и комбинацию. Ползунки калькулятора сверху задают коэффициенты $C_1$ и $C_2$: при $C_1 = 1$ и $C_2 = 1$ получается вектор $(-2;\ 1;\ 3;\ 1)$, и он тоже обращает все три уравнения в нуль. Именно это и означает, что найден базис, а не пара случайных решений.

Фундаментальная система не единственна, и совпадение ответа с учебником по виду векторов необязательно. Свободными можно было взять $x_1$ и $x_4$: минор, составленный из столбцов $x_2$ и $x_3$ ступенчатой матрицы, отличен от нуля, поэтому эта пара тоже годится в базисные. Тогда $x_3 = 3x_4$ и $x_2 = 0{,}5x_1 + 2x_4$, а базисные решения получаются другие: $(2;\ 1;\ 0;\ 0)$ и $(0;\ 2;\ 3;\ 1)$. Разница чисто внешняя - второй вектор равен $e_2 + 2e_1$, то есть обе системы натягивают одно и то же двумерное подпространство. Проверять ответ надо не побуквенным сравнением, а подстановкой и подсчётом числа векторов.

Фундаментальная система в неоднородной задаче

ФСР нужна не только сама по себе: на ней держится структура решения неоднородной системы. Возьмём ту же левую часть, но с правыми частями 2, 5 и 7. Прямой ход даёт совместную систему, а приведённый вид - формулы $x_1 = 1 + 2x_2 - 4x_4$ и $x_3 = 1 + 3x_4$. Положив обе свободные неизвестные равными нулю, получаем частное решение $x_{\text{ч}} = (1;\ 0;\ 1;\ 0)$, и общее решение выглядит так:

$$X = (1;\ 0;\ 1;\ 0) + C_1 e_1 + C_2 e_2.$$

Правило общее: решение неоднородной системы есть сумма любого её частного решения и общего решения соответствующей однородной системы. Поэтому при решении методом Гаусса ФСР считают один раз, а частных решений может понадобиться несколько - техника прямого и обратного хода разобрана в задаче решить систему методом Гаусса.

Та же конструкция работает в языке операторов: множество решений системы $Ax = 0$ - это ядро матрицы $A$, а фундаментальная система решений - его базис. Поэтому в задачах на образ и ядро линейного оператора дефект считают ровно этим способом, а дальше проверяют равенство ранга и дефекта числу столбцов.

Частые ошибки

• Считают число векторов ФСР по числу уравнений. Векторов ровно $n - r$: в разобранной задаче три уравнения, но ранг равен двум, поэтому базисных решений два, а не три.
• Берут свободными неизвестные из столбцов с ведущими элементами. Свободные - это столбцы без ведущих. Если взять $x_1$ и $x_3$ за свободные, определитель оставшегося минора окажется нулевым, и выразить остальное не получится.
• Не замечают нулевую строку и завышают ранг. Третья строка после преобразований обнулилась целиком; если посчитать ранг равным трём, свободная неизвестная останется одна и половина ответа потеряется.
• Дают всем свободным неизвестным единицы сразу. Так получится одно решение $(-2;\ 1;\ 3;\ 1)$ вместо базиса из двух. Единица ставится по очереди, остальным свободным в этот момент - нули.
• Добавляют в ФСР вектор, пропорциональный уже найденному. Векторы $e_2$ и $2e_2$ линейно зависимы, система от этого не становится полнее, а число векторов обязано равняться $n - r$.
• Приписывают частное решение к однородной системе. В ответе на однородную задачу свободного слагаемого нет: там только комбинация $C_1 e_1 + C_2 e_2$.

FAQ

Сколько векторов должно получиться в фундаментальной системе? Ровно $n - r$, где $n$ - число неизвестных, а $r$ - ранг матрицы коэффициентов. Число уравнений роли не играет: лишние уравнения при приведении превращаются в нулевые строки. Если получилось другое количество, ошибка либо в подсчёте ранга, либо в разбиении неизвестных на базисные и свободные.

Может ли фундаментальной системы не быть вообще? Да, если $r = n$. Тогда свободных неизвестных нет, единственное решение нулевое, а базис нулевого подпространства пуст. Для квадратной матрицы это равносильно условию $\det A \neq 0$. В калькуляторе сверху такой случай показывает пример «Только нулевое решение».

Обязательно ли доводить матрицу до приведённого ступенчатого вида? Нет, достаточно обычного ступенчатого: базисные неизвестные тогда находят обратным ходом, снизу вверх. Приведённый вид просто экономит шаг - базисные неизвестные оказываются выражены через свободные сразу, и ошибиться при подстановке сложнее.

Почему ответы в учебнике и у меня различаются? Потому что базис не единственный: другой выбор свободных неизвестных или домножение вектора на число дают внешне другую систему, натягивающую то же подпространство. Сравнивают не сами векторы, а их количество и принадлежность решений системе; при желании проверяют, что каждый вектор одного ответа линейно выражается через векторы другого.

Коротко

1. Записать матрицу коэффициентов (столбец нулевых свободных членов не нужен) и привести её элементарными преобразованиями строк к ступенчатому виду.
2. Посчитать ранг $r$ по числу ненулевых строк; столбцы с ведущими элементами дают базисные неизвестные, остальные - свободные.
3. Число векторов ФСР равно $n - r$. В задаче $n = 4$, $r = 2$, значит базисных решений два.
4. Выразить базисные неизвестные через свободные и построить векторы: каждой свободной по очереди единица, остальным нули. Получаем $e_1 = (2;\ 1;\ 0;\ 0)$ и $e_2 = (-4;\ 0;\ 3;\ 1)$.
5. Общее решение $X = C_1 e_1 + C_2 e_2$; ответ проверяется подстановкой каждого вектора в исходные уравнения.