Как найти пересечение подпространств: базис и размерность

Дано: два подпространства пространства $\mathbb{R}^4$, заданные порождающими векторами. Первое: $U = L(u_1, u_2)$, где $u_1 = (1;\ 2;\ 1;\ 0)$ и $u_2 = (0;\ 1;\ 1;\ 1)$. Второе: $V = L(v_1, v_2)$, где $v_1 = (1;\ 1;\ 1;\ 0)$ и $v_2 = (0;\ 2;\ 1;\ 1)$. Найти: базис и размерность пересечения $U \cap V$, размерность суммы $U + V$ и сверку по формуле Грассмана.

Метод такой: каждое подпространство переводим из порождающих векторов в систему однородных уравнений, обе системы объединяем в одну и решаем. Ответ: $\dim(U \cap V) = 1$, базис пересечения состоит из одного вектора $w = (1;\ 3;\ 2;\ 1)$, $\dim(U + V) = 3$, формула Грассмана выполняется: $2 + 2 = 3 + 1$. Калькулятор сверху считает то же самое для любой пары систем, а два столбика одинаковой высоты на его графике и есть формула Грассмана.

Решение по шагам

Шаг 1. Размерности самих подпространств. Векторы $u_1$ и $u_2$ не пропорциональны, значит они независимы и $\dim U = 2$. То же верно для $v_1$ и $v_2$, поэтому $\dim V = 2$. Этот шаг пропускать нельзя: если бы в какой-то системе один вектор выражался через остальные, размерность оказалась бы меньше числа векторов и вся дальнейшая арифметика поехала бы.

Шаг 2. Размерность суммы. Сумма $U + V$ порождается всеми четырьмя векторами сразу, поэтому её размерность равна рангу матрицы, составленной из них построчно:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Здесь из третьей строки вычли первую и прибавили вторую, а из четвёртой вычли удвоенную вторую и прибавили новую третью. Ненулевых строк осталось три, значит $\dim(U + V) = 3$, а базис суммы можно взять из исходных векторов: $u_1$, $u_2$, $v_1$.

Шаг 3. Переводим $U$ в систему уравнений. Ищем все векторы $n = (n_1;\ n_2;\ n_3;\ n_4)$, у которых скалярные произведения с $u_1$ и $u_2$ равны нулю:

$$\begin{cases} n_1 + 2n_2 + n_3 = 0, \\ n_2 + n_3 + n_4 = 0. \end{cases}$$

Свободными берём $n_3$ и $n_4$. При $n_3 = 1,\ n_4 = 0$ получаем $n = (1;\ -1;\ 1;\ 0)$, при $n_3 = 0,\ n_4 = 1$ получаем $n = (2;\ -1;\ 0;\ 1)$. Каждый такой вектор даёт уравнение, которому подчиняются все векторы $U$:

$$U:\quad \begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 0, \\ 2x_1 - x_2 + x_4 = 0. \end{cases}$$

Уравнений ровно два, потому что $4 - \dim U = 2$, и решения этой системы образуют подпространство размерности 2. Оно содержит $U$ и имеет ту же размерность, а значит совпадает с $U$ полностью: система задаёт подпространство, а не просто ограничивает его.

Шаг 4. Переводим $V$ в систему уравнений. Та же процедура для $v_1$ и $v_2$ даёт условия $n_1 + n_2 + n_3 = 0$ и $2n_2 + n_3 + n_4 = 0$, а её фундаментальная система решений состоит из векторов $(1;\ 1;\ -2;\ 0)$ и $(1;\ -1;\ 0;\ 2)$. Отсюда

$$V:\quad \begin{cases} x_1 + x_2 - 2x_3 = 0, \\ x_1 - x_2 + 2x_4 = 0. \end{cases}$$

Шаг 5. Объединяем системы. Вектор лежит в пересечении тогда и только тогда, когда он удовлетворяет обеим системам сразу. Выписываем все четыре уравнения в одну систему и решаем её методом Гаусса:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Ранг объединённой системы равен 3, неизвестных четыре, поэтому свободная неизвестная одна: $x_4 = t$. Обратный ход даёт $x_3 = 2t$, затем $x_2 = 2x_3 - x_4 = 3t$ и $x_1 = x_2 - x_3 = t$.

Шаг 6. Записываем ответ. Общее решение имеет вид $x = t \cdot (1;\ 3;\ 2;\ 1)$, то есть пересечение одномерно.

Ответ. $U \cap V = L(w)$, где $w = (1;\ 3;\ 2;\ 1)$; $\dim(U \cap V) = 1$; $\dim(U + V) = 3$; формула Грассмана выполняется: $2 + 2 = 3 + 1$.

Формула Грассмана и откуда она берётся

Формула связывает четыре размерности одним равенством:

$$\dim(U + V) = \dim U + \dim V - \dim(U \cap V).$$

Её удобнее читать в симметричном виде: $\dim U + \dim V = \dim(U + V) + \dim(U \cap V)$. Именно это равенство рисует калькулятор сверху двумя столбиками одинаковой высоты.

Вывод формулы простой и объясняет, почему вычитается именно пересечение. Возьмём базис пересечения из $k$ векторов. Он лежит и в $U$, и в $V$, поэтому его можно дополнить до базиса $U$ (добавив $\dim U - k$ векторов) и отдельно до базиса $V$ (добавив $\dim V - k$ векторов). Все эти векторы вместе порождают сумму, и можно доказать, что они независимы. Считаем их: $k + (\dim U - k) + (\dim V - k) = \dim U + \dim V - k$. Это и есть размерность суммы.

Иными словами, при простом сложении размерностей общая часть учитывается дважды, и лишний экземпляр приходится вычесть. У формулы есть полезное следствие-оценка: раз $\dim(U + V) \le n$, то $\dim(U \cap V) \ge \dim U + \dim V - n$. Для нашей задачи это даёт $2 + 2 - 4 = 0$, то есть пересечение могло оказаться и нулевым, а вот две плоскости в $\mathbb{R}^3$ обязаны пересекаться хотя бы по прямой: $2 + 2 - 3 = 1$.

Второй способ: приравнять линейные комбинации

Пересечение можно найти и без перехода к уравнениям подпространств. Вектор лежит в $U \cap V$ ровно тогда, когда он раскладывается и по $u_1, u_2$, и по $v_1, v_2$. Приравниваем разложения:

$$x_1 u_1 + x_2 u_2 = y_1 v_1 + y_2 v_2.$$

Расписав равенство по координатам, получаем систему с четырьмя неизвестными $x_1, x_2, y_1, y_2$:

$$\begin{cases} x_1 = y_1, \\ 2x_1 + x_2 = y_1 + 2y_2, \\ x_1 + x_2 = y_1 + y_2, \\ x_2 = y_2. \end{cases}$$

Первое и четвёртое уравнения сразу дают $y_1 = x_1$ и $y_2 = x_2$. Подставляем их во второе: $2x_1 + x_2 = x_1 + 2x_2$, откуда $x_1 = x_2$. Третье уравнение после подстановки обращается в тождество и новых ограничений не даёт. Положив $x_1 = x_2 = t$, получаем $t(u_1 + u_2) = t \cdot (1;\ 3;\ 2;\ 1)$, то есть тот же ответ.

Какой способ выбрать, зависит от условия. Если подпространства заданы порождающими векторами, второй способ короче: ничего переводить не нужно, сразу пишется одна система. Если хотя бы одно подпространство уже задано уравнениями, выгоднее первый: вторую систему достаточно дописать снизу. Важная деталь второго способа: размерность пространства решений по $x$ и $y$ совпадает с размерностью пересечения только тогда, когда каждая порождающая система независима, иначе появятся лишние параметры, не меняющие сам вектор.

Как проверить ответ

Проверка делается устно и занимает полминуты. Найденный вектор $w = (1;\ 3;\ 2;\ 1)$ должен раскладываться по каждой системе порождающих: и правда, $w = u_1 + u_2$, поскольку $(1;\ 2;\ 1;\ 0) + (0;\ 1;\ 1;\ 1) = (1;\ 3;\ 2;\ 1)$, и одновременно $w = v_1 + v_2$, так как $(1;\ 1;\ 1;\ 0) + (0;\ 2;\ 1;\ 1) = (1;\ 3;\ 2;\ 1)$. Вектор лежит в обоих подпространствах, значит он действительно из пересечения.

Вторая проверка идёт по уравнениям: $1 - 3 + 2 = 0$ и $2 - 3 + 1 = 0$ для системы $U$, $1 + 3 - 4 = 0$ и $1 - 3 + 2 = 0$ для системы $V$. Все четыре равенства верны.

Третья проверка арифметическая: подставляем найденные размерности в формулу Грассмана. Получилось $2 + 2 = 3 + 1$, обе части равны четырём. Если бы размерность суммы вышла, скажем, 4, пересечение обязано было бы стать нулевым, и вектора $w$ просто не существовало бы. Такой случай тоже бывает: в калькуляторе он собран в примере «Только нулевой вектор», где сумма двух плоскостей заполняет всё $\mathbb{R}^4$, пересечение состоит из одного нуля, а сумма называется прямой. Похожая логика работает и при поиске образа линейного оператора: там тоже сначала выписывают порождающие векторы, а потом отбирают базис.

Частые ошибки

• Путают пересечение с суммой. Объединение порождающих векторов $u_1, u_2, v_1, v_2$ задаёт сумму $U + V$, а не пересечение. Пересечение почти всегда меньше каждого из подпространств, а сумма больше.
• Ищут общие векторы среди порождающих. Если ни один из $u_i$ не совпал ни с одним из $v_j$, это ничего не значит: общий вектор $(1;\ 3;\ 2;\ 1)$ в списке порождающих не встречается, но в пересечении лежит.
• Считают объединение подпространств подпространством. Множество $U \cup V$ подпространством не является: сумма вектора из $U$ и вектора из $V$ может не попасть ни туда, ни сюда. Подпространством является именно сумма $U + V$.
• Берут уравнения только одного подпространства. В объединённую систему обязаны войти все уравнения обоих: пересечение задаётся совокупностью условий, а не половиной из них.
• Ошибаются в числе уравнений. Подпространство размерности $k$ в $\mathbb{R}^n$ задаётся ровно $n - k$ независимыми уравнениями. Если уравнений вышло больше, значит среди них есть зависимые и ранг посчитан неверно.
• Забывают, что пересечение никогда не пусто. Нулевой вектор принадлежит любому подпространству, поэтому ответ «пересечение пустое» неверен всегда; правильная формулировка для такого случая - «пересечение нулевое, его размерность равна нулю».

FAQ

Чем пересечение подпространств отличается от суммы? Пересечение состоит из векторов, которые лежат сразу в обоих подпространствах, и это самое большое подпространство, содержащееся в каждом из них. Сумма состоит из всевозможных векторов вида $u + v$ и, наоборот, является самым маленьким подпространством, содержащим оба. Размерность пересечения не превосходит меньшей из двух размерностей, а размерность суммы не меньше большей.

Может ли пересечение подпространств быть пустым? Нет. Любое подпространство содержит нулевой вектор, поэтому он лежит и в пересечении. Когда других общих векторов нет, говорят, что пересечение нулевое и его размерность равна нулю, а сумму в этом случае называют прямой и пишут $U \oplus V$.

Как искать пересечение, если оба подпространства заданы уравнениями? Это самый быстрый вариант: две системы просто записываются одна под другой, полученная общая система решается методом Гаусса, и её фундаментальная система решений и есть базис пересечения. Шаги 3 и 4 разбора при этом не нужны.

Сколько векторов будет в базисе пересечения? Столько, сколько свободных неизвестных останется в объединённой системе уравнений, то есть $n$ минус ранг этой системы. В разборе ранг равен 3 при $n = 4$, поэтому базис состоит из одного вектора. Тот же результат даёт формула Грассмана, и совпадение двух способов подсчёта служит контролем.

Коротко

1. Находим размерности $\dim U$ и $\dim V$ как ранги систем порождающих векторов, а $\dim(U + V)$ как ранг всех векторов вместе.
2. Каждое подпространство переводим в систему однородных уравнений: решаем систему на векторы, ортогональные всем порождающим, и получаем $n - \dim$ уравнений.
3. Объединяем обе системы в одну и решаем методом Гаусса; фундаментальная система решений и есть базис пересечения.
4. Проверяем ответ по формуле Грассмана $\dim U + \dim V = \dim(U + V) + \dim(U \cap V)$ и подстановкой найденного вектора в оба подпространства.
5. Для примера из условия: $\dim U = \dim V = 2$, $\dim(U + V) = 3$, $\dim(U \cap V) = 1$, базис пересечения образует вектор $(1;\ 3;\ 2;\ 1)$.