Как найти линейную оболочку векторов: базис и размерность

Дано: четыре вектора пространства $\mathbb{R}^4$: $a_1 = (1;\ 2;\ 0;\ 1)$, $a_2 = (2;\ 3;\ 1;\ 0)$, $a_3 = (3;\ 5;\ 1;\ 1)$, $a_4 = (1;\ 1;\ 1;\ 1)$ и вектор $b = (4;\ 6;\ 2;\ 2)$. Найти: базис и размерность оболочки $L(a_1, a_2, a_3, a_4)$, а также выяснить, лежит ли в ней вектор $b$.

Метод один: записываем векторы строками матрицы и приводим её методом Гаусса к ступенчатому виду. Число ненулевых строк даёт размерность, а векторы, чьи строки не обнулились, дают базис. Ответ: $\dim L = 3$, базис образуют $a_1$, $a_2$, $a_4$, лишний вектор $a_3 = a_1 + a_2$, вектор $b$ лежит в оболочке и равен $a_1 + a_2 + a_4$. Калькулятор сверху пересчитает то же самое для любой системы: столбики показывают, как растёт размерность при добавлении очередного вектора.

Решение по шагам

Шаг 1. Записываем векторы строками матрицы. Порядок строк совпадает с нумерацией векторов, и это важно: именно по номеру обнулившейся строки мы потом поймём, какой вектор оказался лишним.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Шаг 2. Обнуляем первый столбец. Вычитаем первую строку с нужными множителями: из второй $2a_1$, из третьей $3a_1$, из четвёртой $a_1$.

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Вторая и третья строки уже совпали. Это первый сигнал, что один из векторов лишний, но фиксировать ответ рано: обнулиться может и ещё одна строка.

Шаг 3. Обнуляем второй столбец. Вычитаем вторую строку из третьей и из четвёртой:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Перестановка строк ничего не меняет в оболочке, она нужна только для аккуратного ступенчатого вида.

Шаг 4. Считаем размерность. Ненулевых строк три, значит ранг системы равен трём:

$$\dim L(a_1, a_2, a_3, a_4) = \operatorname{rang} A = 3.$$

Шаг 5. Выписываем базис. Обнулилась третья строка, и получилась она из вектора $a_3$. Значит лишний именно он, а оставшиеся три вектора линейно независимы и образуют базис оболочки:

$$\text{базис } L: \quad a_1 = (1;\ 2;\ 0;\ 1), \quad a_2 = (2;\ 3;\ 1;\ 0), \quad a_4 = (1;\ 1;\ 1;\ 1).$$

Проследим, чему равен лишний вектор. На шаге 2 третья строка превратилась в $a_3 - 3a_1$, вторая в $a_2 - 2a_1$, и на шаге 3 их разность дала ноль. Отсюда $a_3 - 3a_1 = a_2 - 2a_1$, то есть

$$a_3 = a_1 + a_2 = (1 + 2;\ 2 + 3;\ 0 + 1;\ 1 + 0) = (3;\ 5;\ 1;\ 1).$$

Сходится с условием, проверка пройдена.

Шаг 6. Проверяем вектор $b$. Приписываем его пятой строкой и смотрим, вырастет ли ранг. Вычитаем $4a_1$:

$$b - 4a_1 = (0;\ -2;\ 2;\ -2) = (a_2 - 2a_1) + (a_4 - a_1),$$

потому что $(0;\ -1;\ 1;\ -2) + (0;\ -1;\ 1;\ 0) = (0;\ -2;\ 2;\ -2)$. Строка обнулилась, ранг не изменился и остался равен трём. Раскрываем скобки и получаем разложение:

$$b = a_1 + a_2 + a_4 = (1 + 2 + 1;\ 2 + 3 + 1;\ 0 + 1 + 1;\ 1 + 0 + 1) = (4;\ 6;\ 2;\ 2).$$

Ответ: $\dim L = 3$, базис $\{a_1, a_2, a_4\}$, вектор $a_3 = a_1 + a_2$ лишний, вектор $b$ принадлежит оболочке и раскладывается как $b = a_1 + a_2 + a_4$.

Что такое линейная оболочка и почему её размерность равна рангу

Линейная оболочка системы векторов $a_1, \ldots, a_k$ это множество всех их линейных комбинаций:

$$L(a_1, \ldots, a_k) = \{\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_k a_k \mid \lambda_i \in \mathbb{R}\}.$$

Здесь два слова ключевые: «всех» и «комбинаций». Оболочка это не перечень заданных векторов, а бесконечное множество, в которое они попадают лишь как частные случаи при коэффициентах ноль и единица. Сумма двух таких комбинаций снова комбинация, умножение на число тоже, поэтому оболочка всегда является подпространством, причём наименьшим из содержащих все заданные векторы.

Размерность подпространства по определению равна числу векторов в его базисе. Базис оболочки это максимальная линейно независимая подсистема исходной системы: добавить к ней что-то ещё нельзя, независимость сломается, а выбросить нельзя, потеряется направление. Максимальное число независимых векторов системы и есть её ранг, поэтому размерность оболочки всегда совпадает с рангом матрицы, составленной из этих векторов. Само вычисление ранга с проверкой через окаймляющие миноры подробно разобрано на странице как найти ранг матрицы, здесь оно используется как готовый инструмент.

Осталось понять, почему метод Гаусса не портит ответ. Каждое элементарное преобразование строк заменяет вектор системы на его комбинацию с другими и обратимо. Это значит, что старые векторы выражаются через новые, а новые через старые, и множество всех комбинаций не меняется. Оболочка строк матрицы инвариантна относительно элементарных преобразований строк, потому-то её размерность и можно считать по ступенчатому виду.

Какой базис писать в ответ: исходные векторы или строки ступенчатого вида

В задачах встречаются два разных ответа, и оба верны, но отвечают на разные вопросы. Первый вариант это базис из исходных векторов, как в разборе выше: $a_1$, $a_2$, $a_4$. Его требуют, когда в условии стоит фраза «выберите базис из данной системы» или когда потом нужно выразить остальные векторы через базисные.

Второй вариант это ненулевые строки ступенчатого вида: $(1;\ 2;\ 0;\ 1)$, $(0;\ -1;\ 1;\ -2)$, $(0;\ 0;\ 0;\ 2)$. Они тоже составляют базис той же самой оболочки, ведь преобразования её не изменили. Такой базис удобнее для вычислений, потому что он почти диагональный, и координаты любого вектора в нём находятся подстановкой сверху вниз. Но это уже не исходные векторы, и писать его там, где просили подсистему, нельзя.

Отличить ситуации просто. Если в ответе должны стоять именно заданные векторы, номера строк приходится отслеживать и не переставлять их без пометок. Если базис нужен только как рабочий инструмент, подойдут ступенчатые строки. Как пересчитать координаты одного и того же вектора при переходе от одного базиса к другому, разобрано в статье про матрицу перехода.

Ещё одно полезное наблюдение видно на графике калькулятора. Размерность набирается жадно: векторы берутся слева направо, и очередной вектор входит в базис тогда и только тогда, когда он поднимает ранг. Серый столбик той же высоты означает лишний вектор. Частный случай такой проверки для двух векторов это проверка на коллинеарность: коллинеарные векторы дают оболочку размерности один.

Как задать оболочку уравнениями и проверить принадлежность иначе

Оболочка задана списком порождающих векторов, но то же подпространство можно описать системой однородных уравнений. Нужен вектор $n$, ортогональный всем векторам системы, то есть решение однородной системы $A n = 0$ с той же матрицей $A$. Для нашей задачи решение единственно с точностью до множителя: $n = (2;\ -1;\ -1;\ 0)$, откуда

$$L = \{x \in \mathbb{R}^4 \mid 2x_1 - x_2 - x_3 = 0\}.$$

Число таких уравнений всегда равно $n - \dim L$, в нашем случае $4 - 3 = 1$. Подстановка мгновенно подтверждает решение: для $a_1$ получаем $2 - 2 - 0 = 0$, для $a_2$ получаем $4 - 3 - 1 = 0$, для $a_4$ получаем $2 - 1 - 1 = 0$, для $b$ получаем $8 - 6 - 2 = 0$. Все четыре вектора лежат в оболочке.

Такая форма записи делает проверку принадлежности одной строчкой арифметики вместо решения системы. Возьмём вектор $c = (2;\ 1;\ 2;\ 3)$: подстановка даёт $4 - 1 - 2 = 1 \neq 0$, значит $c$ не принадлежит оболочке. Метод Гаусса подтвердит это же, но дольше: ранг расширенной системы поднимется до четырёх.

Есть и третья формулировка того же вопроса. Принадлежность $b$ оболочке равносильна совместности системы $\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \lambda_3 a_4 = b$, где базисные векторы стоят столбцами, а $b$ столбцом свободных членов. По теореме Кронекера-Капелли система совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной, и её решение сразу даёт коэффициенты разложения. Тот же приём работает и при описании образа линейного отображения, где оболочкой столбцов матрицы оказывается образ оператора.

Частые ошибки

• Размерность приравнивают к числу векторов. В системе четыре вектора, но размерность оболочки равна трём. Число порождающих векторов это верхняя оценка, а не ответ.
• Путают строки и столбцы. Если векторы записаны строками, базис ищут среди строк, и обнулившаяся строка указывает на лишний вектор. Если записывать их столбцами, базис дают ведущие столбцы исходной матрицы. Смешение двух схем выдаёт чужие векторы.
• Теряют нумерацию при перестановке строк. После двух перестановок уже не понять, какой вектор обнулился, и в ответе оказывается не тот лишний вектор. Пометки у строк спасают.
• В ответ на «выберите базис из данной системы» пишут строки ступенчатого вида. Это базис той же оболочки, но не подсистема исходных векторов, и задача считается нерешённой.
• Оболочку отождествляют со всем пространством. Три независимых вектора в $\mathbb{R}^4$ дают подпространство размерности три, а не всё $\mathbb{R}^4$: вектор $c = (2;\ 1;\ 2;\ 3)$ в него не попадает.
• Проверяют принадлежность на глаз. Подбор коэффициентов работает только на простых числах. Формальная проверка это сравнение рангов или подстановка в уравнение подпространства.

FAQ

Чем линейная оболочка отличается от самой системы векторов? Система это конечный список, оболочка это бесконечное множество всех линейных комбинаций из этого списка. Разные системы могут порождать одну и ту же оболочку: например, $\{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ и $\{a_1, a_2, a_4\}$ дают одно и то же подпространство, потому что $a_3$ выражается через остальные.

Может ли размерность оболочки превысить число векторов? Нет. Выполняется двойная оценка $\dim L \leqslant \min(k,\ n)$, где $k$ число векторов, а $n$ размерность пространства. Пять векторов в $\mathbb{R}^3$ всегда дадут оболочку размерности не выше трёх, а два вектора в $\mathbb{R}^5$ не выше двух.

Что делать, если векторы заданы не координатами, а многочленами или матрицами? Зафиксировать базис исходного пространства и выписать координатные строки: для многочленов степени не выше трёх это коэффициенты при $1, t, t^2, t^3$. Дальше задача становится обычной координатной, метод не меняется. Как выглядит координатная запись в другом базисе, показано в разборе про координаты вектора в новом базисе.

Как найти оболочку суммы двух систем? Объединить порождающие векторы обеих систем в одну матрицу и найти её ранг: $L_1 + L_2 = L(a_1, \ldots, a_k, b_1, \ldots, b_m)$. Размерность пересечения затем считается по формуле Грассмана $\dim(L_1 + L_2) = \dim L_1 + \dim L_2 - \dim(L_1 \cap L_2)$.

Коротко

1. Записать векторы строками матрицы, сохранив нумерацию.
2. Привести матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк: оболочка при этом не меняется.
3. Число ненулевых строк это размерность оболочки, она же ранг системы: в примере $\dim L = 3$.
4. Базис из исходных векторов составляют те, чьи строки не обнулились: $a_1$, $a_2$, $a_4$, а лишний вектор выражается через них, $a_3 = a_1 + a_2$.
5. Принадлежность вектора проверяется сравнением рангов или подстановкой в уравнение подпространства $2x_1 - x_2 - x_3 = 0$: вектор $b = (4;\ 6;\ 2;\ 2)$ лежит в оболочке и равен $a_1 + a_2 + a_4$.