Матрица перехода от одного базиса к другому: формула

Матрица перехода связывает два базиса одного и того же пространства: она показывает, как координаты вектора в одном базисе превращаются в координаты в другом. Сам вектор при этом не меняется, меняется только система отсчёта, в которой мы его описываем. Тема кажется громоздкой из-за индексов и транспонирований, но в основе лежит одна простая идея: столбцы матрицы перехода - это координаты новых базисных векторов, записанные в старом базисе. Ниже разберём, как составить матрицу перехода, как с её помощью пересчитать координаты вектора, зачем нужны определитель и обратная матрица и где студенты ошибаются чаще всего. Чтобы сразу почувствовать связь, покрути калькулятор ниже: он собирает матрицу из заданного базиса и показывает разложение вектора прямо на плоскости.

Что такое матрица перехода

Пусть в пространстве $\mathbb{R}^2$ есть старый базис $e_1, e_2$ и новый базис $f_1, f_2$. Каждый новый базисный вектор можно разложить по старому базису:

$f_1 = a\,e_1 + c\,e_2, \qquad f_2 = b\,e_1 + d\,e_2.$

Матрица перехода $P$ от старого базиса к новому составляется так: координаты $f_1$ в старом базисе ставим первым столбцом, координаты $f_2$ - вторым:

$P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.$

Главное правило, которое стоит запомнить раз и навсегда: столбцы матрицы перехода - это новые базисные векторы, расписанные в старом базисе. Если новый базис задан векторами $f_1=(2,1)$ и $f_2=(-1,1)$ (координаты даны в стандартном базисе), то матрица перехода равна

$P = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$

Рассчитать для своей задачи

Как пересчитать координаты вектора

Здесь кроется самая частая путаница. Базисные векторы и координаты вектора преобразуются по-разному. Если вектор $v$ имеет координаты $[x', y']$ в новом базисе, то его координаты $[x, y]$ в старом базисе получаются умножением на матрицу перехода:

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}.$

То есть та же матрица $P$, что собирает новый базис из старого, переводит координаты в обратную сторону - из нового базиса в старый. Это не ошибка и не опечатка: базисные векторы и координаты преобразуются взаимно обратно, и именно поэтому одна матрица обслуживает оба направления, просто в разных ролях.

Рассчитать для своей задачи

На схеме видно, как вектор $v$ раскладывается на две части: одна идёт вдоль $f_1$, другая вдоль $f_2$. Длины этих частей и есть новые координаты $x'$ и $y'$. Зелёная ломаная - это и есть запись $v = x'\,f_1 + y'\,f_2$.

Определитель и обратная матрица

Чтобы найти новые координаты вектора по его старым координатам, нужна обратная матрица перехода $P^{-1}$:

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = P^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$

Для матрицы $2\times 2$ обратная считается по короткой формуле через определитель $\det P = ad - bc$:

$P^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$

Определитель тут не просто промежуточная величина. Если $\det P = 0$, обратной матрицы не существует, а значит, векторы $f_1$ и $f_2$ лежат на одной прямой и не образуют базис. Ненулевой определитель - это критерий того, что выбранные векторы действительно задают новую систему координат. Геометрически модуль определителя равен площади параллелограмма, построенного на $f_1$ и $f_2$: если площадь нулевая, параллелограмм вырождается в отрезок.

Полный пример с числами

Возьмём матрицу перехода из примера выше и вектор $v$ с координатами $(3, 2)$ в стандартном базисе. Найдём его координаты в новом базисе.

$P = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \det P = 2\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 3.$

Определитель ненулевой, значит базис корректный и обратная матрица существует:

$P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$

Умножаем её на старые координаты вектора:

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/3 \\ 1/3 \end{pmatrix}.$

Проверка: $\tfrac{5}{3} f_1 + \tfrac{1}{3} f_2 = \tfrac{5}{3}(2,1) + \tfrac{1}{3}(-1,1) = (3, 2)$, что совпадает с исходным вектором. Калькулятор выше даёт ровно эти значения: подставь $f_1=(2,1)$, $f_2=(-1,1)$ и точку $(3,2)$, и увидишь $x'\approx 1{,}67$, $y'\approx 0{,}33$.

Переход между двумя произвольными базисами

Часто стандартный базис вообще не участвует, и нужно перейти сразу между двумя базисами $A$ и $B$. Принцип тот же. Составляем матрицу перехода $P_A$ от стандартного базиса к $A$ (её столбцы - векторы базиса $A$) и матрицу $P_B$ для базиса $B$. Тогда матрица перехода от $A$ к $B$ собирается через обе:

$P_{A \to B} = P_B^{-1} P_A.$

Идея простая: сначала по $P_A$ переводим координаты из $A$ в стандартный базис, потом по $P_B^{-1}$ - из стандартного в $B$. Перемножение двух переходов даёт прямой переход, минуя промежуточный шаг руками.

Частые ошибки

• Путают строки и столбцы. Новые базисные векторы ставят в столбцы, а не в строки. Если записать их по строкам, получится транспонированная матрица, и все координаты пересчитаются неверно.
• Путают направление. Матрица $P$ переводит координаты из нового базиса в старый, а из старого в новый переводит обратная $P^{-1}$. Многие умножают на $P$ там, где нужна $P^{-1}$.
• Забывают проверить определитель. Если $\det P = 0$, векторы не образуют базис, и задача поставлена некорректно. Это надо заметить до начала вычислений.
• Смешивают преобразование базиса и преобразование координат. Базисные векторы и координаты вектора меняются взаимно обратными матрицами, поэтому их нельзя пересчитывать одной и той же операцией.

FAQ

Чем матрица перехода отличается от матрицы линейного оператора? Матрица перехода связывает два базиса одного пространства и не меняет сами векторы, меняются только их координаты. Матрица оператора описывает преобразование, которое реально перемещает векторы. Внешне они похожи, но смысл разный.

Как быстро проверить, что матрица перехода найдена верно? Умножьте матрицу на координаты вектора в новом базисе и сравните результат со старыми координатами. Либо проверьте, что столбцы матрицы совпадают с координатами новых базисных векторов в старом базисе.

Можно ли использовать матрицу перехода в пространствах размерности больше двух? Да, всё работает одинаково в $\mathbb{R}^n$: матрица перехода имеет размер $n\times n$, её столбцы - это новые базисные векторы в старом базисе, а правила с определителем и обратной матрицей сохраняются.

Коротко

Матрица перехода от одного базиса к другому составляется из координат новых базисных векторов, записанных по столбцам в старом базисе. Эта матрица $P$ переводит координаты вектора из нового базиса в старый, а обратная $P^{-1}$ - из старого в новый. Определитель $\det P = ad - bc$ должен быть ненулевым, иначе векторы не образуют базис. Для перехода между двумя произвольными базисами комбинируют две матрицы перехода через стандартный базис.