Длина вектора через координаты: формула и примеры

Умение найти длину (модуль) вектора - одна из базовых операций аналитической геометрии. Она нужна везде: от вычисления расстояния между двумя точками до нормировки направления в задачах механики и компьютерной графики. Когда вектор задан координатами, его длину считают по формуле, которая напрямую вырастает из теоремы Пифагора. Ниже - вывод, примеры в плоскости и в пространстве, связь с направляющими косинусами и разбор типичных ошибок. Чтобы почувствовать, как меняется длина при изменении координат, подвигайте ползунки калькулятора:

Формула длины вектора в плоскости

Пусть вектор $\vec{a}$ задан парой координат: $\vec{a} = (x,\, y)$. Это означает, что его начало совмещено с началом координат, а конец лежит в точке $A(x,\, y)$. Проведём два катета: горизонтальный длиной $|x|$ и вертикальный длиной $|y|$. Вектор $\vec{a}$ - это гипотенуза прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:

$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$

Знак координаты не важен: квадраты $x^2$ и $y^2$ всегда неотрицательны, поэтому длина вектора, смотрящего в любую из четырёх четвертей, считается одинаково.

Пример. $\vec{a} = (3;\, 4)$:

$$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$

Тройка (3, 4, 5) - самая знаменитая пифагорова тройка; удобно держать её в голове как контрольный пример. Ещё одна: $\vec{b} = (-5;\, 12)$ даёт $|\vec{b}| = \sqrt{25 + 144} = 13$.

Рассчитать для своей задачи

Формула длины вектора в пространстве

В трёхмерном пространстве вектор $\vec{a} = (x,\, y,\, z)$. Идея та же, только применяем теорему Пифагора дважды. Сначала считаем длину проекции вектора на горизонтальную плоскость $xOy$:

$$d_{xy} = \sqrt{x^2 + y^2}.$$

Затем замечаем, что сам вектор, $d_{xy}$ и вертикальная компонента $z$ снова образуют прямоугольный треугольник. Ещё одно применение теоремы даёт:

$$|\vec{a}| = \sqrt{d_{xy}^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.$$

Это единственная формула для трёхмерного случая. Корень из суммы трёх квадратов - ничего принципиально нового по сравнению с плоскостью.

Пример 1. $\vec{b} = (1;\, 2;\, 2)$:

$$|\vec{b}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.$$

Пример 2. $\vec{c} = (2;\, -3;\, 6)$:

$$|\vec{c}| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7.$$

«Круглые» ответы в пространстве встречаются реже, чем в плоскости, поэтому учебные задачи с ними ценны: они позволяют быстро проверить, не перепутали ли вы $+$ и $-$ под знаком корня.

Длина вектора по двум точкам

Вектор $\overrightarrow{AB}$ задан своим началом $A(x_1,\, y_1)$ и концом $B(x_2,\, y_2)$. Координаты вектора - это разности соответствующих координат конца и начала:

$$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1).$$

Подставляем в формулу длины:

$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$

Это одновременно формула расстояния между двумя точками на плоскости. В пространстве к ней добавляется третья разность:

$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}.$$

Пример. $A = (1;\, 3)$, $B = (4;\, 7)$:

$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.$$

Обратите внимание: перестановка точек не меняет результат, потому что разности возводятся в квадрат. $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BA}|$.

Рассчитать для своей задачи

Единичный вектор и нормировка

Вектор с длиной, равной единице, называют единичным или ортом. Чтобы получить орт из любого ненулевого вектора $\vec{a}$, нужно разделить каждую его координату на длину:

$$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\frac{x}{|\vec{a}|},\; \frac{y}{|\vec{a}|},\; \frac{z}{|\vec{a}|}\right).$$

Такая операция называется нормировкой. После неё длина нового вектора равна единице:

$$|\hat{a}| = \sqrt{\left(\frac{x}{|\vec{a}|}\right)^2 + \left(\frac{y}{|\vec{a}|}\right)^2 + \left(\frac{z}{|\vec{a}|}\right)^2} = \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{|\vec{a}|} = 1.$$

Нормировка сохраняет направление вектора, но «убирает» его масштаб. В физике нормированный вектор задаёт направление силы или скорости; в компьютерной графике нормали к поверхности всегда хранятся как орты, иначе модели освещения дают неверный результат.

Пример. $\vec{a} = (3;\, 4)$, $|\vec{a}| = 5$:

$$\hat{a} = \left(\frac{3}{5};\; \frac{4}{5}\right) = (0{,}6;\; 0{,}8).$$

Проверка: $\sqrt{0{,}6^2 + 0{,}8^2} = \sqrt{0{,}36 + 0{,}64} = \sqrt{1} = 1$ - верно.

Направляющие косинусы

В пространстве координаты единичного вектора имеют ясный геометрический смысл. Каждая из них - это косинус угла между вектором и соответствующей осью координат:

$$\cos\alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}, \quad \cos\beta = \frac{y}{|\vec{a}|}, \quad \cos\gamma = \frac{z}{|\vec{a}|}.$$

Здесь $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - углы между $\vec{a}$ и осями $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Из формулы длины немедленно следует тождество:

$$\cos^2\!\alpha + \cos^2\!\beta + \cos^2\!\gamma = 1.$$

Оно позволяет быстро проверять задачи: если сумма квадратов направляющих косинусов не равна единице, в вычислениях допущена ошибка.

Пример. $\vec{b} = (1;\, 2;\, 2)$, $|\vec{b}| = 3$:

$$\cos\alpha = \frac{1}{3}, \quad \cos\beta = \frac{2}{3}, \quad \cos\gamma = \frac{2}{3}.$$

Проверка: $\tfrac{1}{9} + \tfrac{4}{9} + \tfrac{4}{9} = \tfrac{9}{9} = 1$ - верно.

Направляющие косинусы удобны, когда нужно описать ориентацию вектора в пространстве без явного задания углов: три числа от −1 до 1, сумма квадратов которых равна 1.

Связь длины с другими операциями

Длина вектора напрямую связана со скалярным произведением. Для любого вектора:

$$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = x^2 + y^2 + z^2.$$

Поэтому $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$. Из этого же вытекает формула угла между двумя векторами через скалярное произведение:

$$\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}.$$

Знаменатель здесь - произведение длин, вычисленных по нашей формуле. Таким образом, длина вектора - это «кирпичик», из которого строятся все остальные метрические операции с векторами: угол, косинусное расстояние (в машинном обучении), проекция.

Частые ошибки

• Сложить корни, а не числа под корнем. $\sqrt{x^2} + \sqrt{y^2} = |x| + |y|$, это не то же самое, что $\sqrt{x^2 + y^2}$. По неравенству треугольника $|x| + |y| \ge \sqrt{x^2 + y^2}$, так что ошибка всегда завышает ответ.
• Поставить минус под корнем. Некоторые пишут $\sqrt{x^2 - y^2}$ по аналогии с вычитанием в теореме Пифагора (катет из гипотенузы). Но длина вектора - это гипотенуза, а не катет: всегда плюс.
• Забыть вычесть координаты начала. Если вектор задан точками $A$ и $B$, нельзя писать $\sqrt{x_2^2 + y_2^2}$ - нужна разность $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
• Потерять компоненту в пространстве. При решении пространственной задачи убедитесь, что в сумме три слагаемых. Если одна координата равна нулю, её квадрат тоже равен нулю, но пропускать его при записи нельзя - это источник арифметических ошибок.
• Дать приближённый ответ без указания точного. Если $|\vec{a}| = \sqrt{7}$, пишите именно так. Числовое $2{,}646$ имеет смысл только когда задача явно требует округлить до сотых.

FAQ

Чем длина вектора отличается от его координат?

Координаты зависят от выбора системы координат. Если систему повернуть, координаты тех же точек изменятся. Длина вектора - инвариант: она одна и та же в любой прямоугольной системе координат. Именно поэтому длину называют скалярной характеристикой вектора.

Как найти длину вектора, если задан угол и одна координата?

Если задан угол $\alpha$ между вектором и осью $Ox$, а координата $x$ известна, то $|\vec{a}| = x / \cos\alpha$. Координата $y$ при этом: $y = |\vec{a}|\sin\alpha$. Но если обе координаты известны, быстрее и точнее использовать формулу $\sqrt{x^2 + y^2}$.

Может ли длина вектора быть отрицательной?

Нет. Длина вектора - это корень из суммы неотрицательных чисел. Единственный случай, когда $|\vec{a}| = 0$, - нулевой вектор $(0;\, 0)$ или $(0;\, 0;\, 0)$. Для нулевого вектора направление не определено.

Коротко

Длина вектора $\vec{a} = (x,\, y)$ в плоскости: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. В пространстве $\vec{a} = (x,\, y,\, z)$: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Для вектора по двум точкам берём разности координат. Поделив на длину, получаем единичный вектор и направляющие косинусы, сумма квадратов которых всегда равна единице. Самая частая ошибка - сложить $|x| + |y|$ вместо $\sqrt{x^2 + y^2}$: это путаница между суммой катетов и гипотенузой.