Длина вектора в пространстве: формула по координатам

Длина вектора (или его модуль) - одна из первых характеристик, с которой встречаются в аналитической геометрии. Если вектор задан координатами $\vec{a}(x;\, y;\, z)$ в прямоугольной системе координат, его длину считают по простой формуле, которая напрямую вытекает из трёхмерного аналога теоремы Пифагора. Ниже разберём вывод, направляющие косинусы, типовые задачи и частые ошибки. Покрутите сначала калькулятор ниже - он пересчитывает длину и углы с осями мгновенно при изменении координат.

Формула длины вектора в пространстве

Пусть вектор $\vec{a}$ задан в прямоугольной декартовой системе координат своими проекциями на три оси:

$\vec{a} = (x,\; y,\; z).$

Тогда длина (модуль) вектора равна:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.$

Знак модуля $|\cdot|$ здесь означает именно длину - неотрицательное вещественное число. Нулевой вектор $\vec{0} = (0;\,0;\,0)$ имеет нулевую длину; для него направляющие косинусы не определены.

Рассчитать для своей задачи

Вывод через двойное применение теоремы Пифагора

Геометрический смысл формулы раскрывается в два шага. Рассмотрим вектор $\vec{a}(x;\, y;\, z)$ от начала координат $O(0;\,0;\,0)$ до точки $A(x;\, y;\, z)$.

Шаг 1. Рассмотрим проекцию $OA'$ на плоскость $xOy$, где $A' = (x;\, y;\, 0)$. Длина этой проекции по теореме Пифагора:

$d_{xy} = \sqrt{x^2 + y^2}.$

Шаг 2. Точка $A$ находится на высоте $z$ над точкой $A'$. Отрезок $OA$ - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $d_{xy}$ и $z$:

$|OA| = \sqrt{d_{xy}^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.$

Вот и весь вывод. Двумерный случай $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ - частный случай при $z = 0$.

Рассчитать для своей задачи

Направляющие косинусы вектора

Направляющие косинусы - это косинусы углов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, которые вектор образует с осями $OX$, $OY$, $OZ$ соответственно. Они выражаются через координаты и длину вектора:

$\cos\alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}, \quad \cos\beta = \frac{y}{|\vec{a}|}, \quad \cos\gamma = \frac{z}{|\vec{a}|}.$

Важное тождество - сумма квадратов направляющих косинусов всегда равна единице:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{|\vec{a}|^2} = 1.$

Это тождество удобно использовать как проверку: если подставить вычисленные косинусы и сумма квадратов не равна 1, значит, где-то допущена арифметическая ошибка.

Единичный вектор (орт) в направлении $\vec{a}$:

$\vec{e}_a = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\cos\alpha,\; \cos\beta,\; \cos\gamma\right).$

Пример разбора задачи

Разберём типичную задачу: найти длину вектора $\vec{b}(1;\, 2;\, 2)$ и его направляющие косинусы.

Длина:

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.$

Направляющие косинусы:

$\cos\alpha = \frac{1}{3}, \quad \cos\beta = \frac{2}{3}, \quad \cos\gamma = \frac{2}{3}.$

Проверка:

$\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1 \checkmark.$

Углы с осями (через обратный косинус):

$\alpha = \arccos\frac{1}{3} \approx 70{,}5^\circ, \quad \beta = \gamma = \arccos\frac{2}{3} \approx 48{,}2^\circ.$

Если нужен угол, а не косинус, - переходите через $\arccos$. Значения от $0°$ до $180°$ (знак координаты определяет, тупой угол или острый).

Связь с расстоянием между двумя точками

Если вектор задан не от начала координат, а от точки $B(x_1;\, y_1;\, z_1)$ до точки $C(x_2;\, y_2;\, z_2)$, его координаты:

$\vec{BC} = (x_2 - x_1;\; y_2 - y_1;\; z_2 - z_1).$

Длина вектора совпадает с расстоянием $BC$:

$|\vec{BC}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}.$

Формула расстояния между двумя точками - это не отдельная теорема, а просто формула модуля разностного вектора.

Единичный вектор и нормировка

Единичный вектор (орт) сохраняет направление, но имеет длину 1. Нормировка:

$\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\frac{x}{|\vec{a}|};\; \frac{y}{|\vec{a}|};\; \frac{z}{|\vec{a}|}\right).$

Например, для $\vec{a}(-6;\, 2;\, 3)$:

$|\vec{a}| = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7,$

$\vec{e} = \left(-\frac{6}{7};\; \frac{2}{7};\; \frac{3}{7}\right).$

Проверка: $(-6/7)^2 + (2/7)^2 + (3/7)^2 = 36/49 + 4/49 + 9/49 = 49/49 = 1$.

Применение в задачах на угол между векторами

Формула длины входит в вычисление скалярного произведения. Если известны координаты двух векторов $\vec{a}(x_1;\, y_1;\, z_1)$ и $\vec{b}(x_2;\, y_2;\, z_2)$, косинус угла между ними:

$\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\;\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}.$

Здесь длины обоих векторов считаются по той же формуле - они стоят в знаменателе в качестве нормировки. Например, для $\vec{a}(1;\,0;\,1)$ и $\vec{b}(0;\,1;\,1)$:

$|\vec{a}| = \sqrt{2}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{2}, \quad \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 + 0 + 1 = 1,$

$\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{2}, \quad \varphi = 60^\circ.$

Если угол между векторами нужно найти, а не скалярное произведение - последовательность такая: вычислить обе длины по основной формуле, затем скалярное произведение, затем поделить.

Длина вектора в задачах на периметр и диагонали

Формула расстояния между двумя точками (а значит, и модуля разностного вектора) регулярно встречается в задачах на нахождение периметра треугольника или длин диагоналей многогранника. Если вершины треугольника $A(1;\,2;\,3)$, $B(4;\,6;\,3)$, $C(1;\,2;\,7)$, то стороны:

$|AB| = \sqrt{9+16+0} = 5, \quad |BC| = \sqrt{9+16+16} = \sqrt{41}, \quad |CA| = \sqrt{0+0+16} = 4.$

Периметр: $5 + \sqrt{41} + 4 \approx 15{,}4$. Здесь каждый раз применяется одна и та же формула - для трёх разных векторов. Автоматизировать такие подсчёты удобно в калькуляторе выше: задайте координаты каждого из трёх разностных векторов и получите их длины.

Частые ошибки

• Суммируют координаты без возведения в квадрат. Формула $|\vec{a}| = x + y + z$ верна только при строго положительных координатах и то лишь случайно при $x = y = z = 1/\sqrt{3}$. Всегда квадраты, потом корень.
• Забывают знак под корнем при отрицательных координатах. Это невозможно: $x^2 \geq 0$ всегда, поэтому выражение под корнем неотрицательно. Но путают, нужен ли модуль самих координат - нет, квадрат и так всё исправляет.
• Путают длину вектора и сумму модулей координат. $|\vec{a}| \neq |x| + |y| + |z|$ - последнее называется манхэттенской нормой и в задачах аналитической геометрии не используется.
• Не переводят вектор к начальной точке при вычислении расстояния. Если вектор от $B$ до $C$ - сначала находят координаты $\vec{BC} = C - B$, и лишь потом считают модуль.
• Используют двумерную формулу в трёхмерной задаче. Если в условии три координаты - под корнем три слагаемых, не два.

FAQ

Как найти длину вектора, заданного двумя точками в пространстве? Вычтите координаты начальной точки из конечной: $\vec{AB} = (x_B - x_A;\, y_B - y_A;\, z_B - z_A)$, а затем найдите модуль по формуле $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$.

Чем отличается длина вектора от расстояния между точками? Ничем по значению: расстояние между двумя точками равно длине вектора, проведённого из одной в другую. Это одна и та же формула - просто разные геометрические контексты.

Как проверить правильность найденных направляющих косинусов? Сложите квадраты всех трёх косинусов: $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma$ должно равняться ровно 1. Если результат отличается от 1, ошибка либо в самих косинусах, либо в вычислении длины вектора.

Коротко

Длина вектора $\vec{a}(x;\, y;\, z)$ в пространстве вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ - это двукратное применение теоремы Пифагора. Направляющие косинусы $\cos\alpha = x/|\vec{a}|$, $\cos\beta = y/|\vec{a}|$, $\cos\gamma = z/|\vec{a}|$ задают ориентацию вектора в пространстве и всегда удовлетворяют тождеству $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$, которое служит удобной проверкой вычислений.