Проекция точки на прямую в пространстве: формула и расчёт

Когда на экзамене по аналитической геометрии встречается задача «найти проекцию точки на прямую», многие студенты начинают интуитивно рисовать перпендикуляры «на глаз». Между тем вся операция сводится к одной формуле со скалярным произведением и занимает пять строчек вычислений. Разберём алгоритм от начала до конца: как задаётся прямая, что именно называется проекцией, как выводится формула параметра $t$ и как по нему получить координаты основания перпендикуляра $H$ и расстояние $\rho$. Чтобы сразу почувствовать геометрию задачи, подвигайте ползунки калькулятора ниже - схема и числа обновятся мгновенно.

Что такое проекция точки на прямую

Пусть в пространстве задана точка $M$ и прямая $\ell$. Проекция (или ортогональная проекция) точки $M$ на прямую $\ell$ - это точка $H$ на прямой, такая что отрезок $MH$ перпендикулярен $\ell$. Её также называют основанием перпендикуляра, опущенного из $M$ на $\ell$.

Из определения вытекают два следствия:

• Расстояние от $M$ до прямой $\ell$ равно длине $|MH|$; это кратчайшее расстояние от точки до прямой.
• Если $M$ лежит на $\ell$, то $H = M$ и расстояние равно нулю.

Для вычисления $H$ нам нужно задать прямую аналитически. Стандартный способ - векторно-параметрическое уравнение:

$\mathbf{r}(t) = A + t\,\mathbf{d}, \quad t \in \mathbb{R},$

где $A$ - любая точка на прямой, $\mathbf{d}$ - ненулевой направляющий вектор. При $t=0$ мы находимся в точке $A$, при $t=1$ - в точке $A + \mathbf{d}$, при $t < 0$ - в «обратную» сторону.

Рассчитать для своей задачи

Вывод формулы: параметр t через скалярное произведение

Зафиксируем уравнение прямой $\mathbf{r}(t) = A + t\,\mathbf{d}$. Обозначим вектор $\overrightarrow{AM} = M - A$. Нам нужно найти $t^*$ такой, что точка $H = A + t^*\mathbf{d}$ удовлетворяет условию перпендикулярности:

$\overrightarrow{MH} \perp \mathbf{d}.$

Выпишем $\overrightarrow{MH} = H - M = A + t^*\mathbf{d} - M = t^*\mathbf{d} - \overrightarrow{AM}$.

Условие перпендикулярности - скалярное произведение равно нулю:

$\overrightarrow{MH} \cdot \mathbf{d} = 0 \implies (t^*\mathbf{d} - \overrightarrow{AM}) \cdot \mathbf{d} = 0.$

Раскроем скобки:

$t^*\,(\mathbf{d} \cdot \mathbf{d}) - \overrightarrow{AM} \cdot \mathbf{d} = 0.$

Отсюда немедленно:

$\boxed{t^* = \frac{\overrightarrow{AM} \cdot \mathbf{d}}{|\mathbf{d}|^2}.}$

Это главная формула задачи. Числитель - скалярное произведение вектора $\overrightarrow{AM}$ и направляющего вектора, знаменатель - квадрат длины $\mathbf{d}$. Заметьте: $|\mathbf{d}|^2 = \mathbf{d} \cdot \mathbf{d}$, поэтому вычислений меньше, чем кажется.

Алгоритм: пять шагов от условия до ответа

После того как формула выведена, весь алгоритм сводится к арифметике:

1. Составить вектор $\overrightarrow{AM} = M - A = (M_x - A_x,\; M_y - A_y,\; M_z - A_z)$.
2. Посчитать скалярные произведения: $\overrightarrow{AM} \cdot \mathbf{d}$ и $|\mathbf{d}|^2 = \mathbf{d} \cdot \mathbf{d}$.
3. Найти параметр: $t^* = (\overrightarrow{AM} \cdot \mathbf{d})\;/\;|\mathbf{d}|^2$.
4. Координаты основания: $H = A + t^*\mathbf{d}$, то есть $H_x = A_x + t^* d_x$ и т.д.
5. Расстояние: $\rho = |MH| = \sqrt{(H_x - M_x)^2 + (H_y - M_y)^2 + (H_z - M_z)^2}$.

Рассчитать для своей задачи

Пример: полный расчёт с числами

Разберём конкретную задачу из стандартного учебника.

Условие. Дана точка $M(3;\,2;\,4)$. Прямая $\ell$ проходит через точку $A(0;\,0;\,0)$ и имеет направляющий вектор $\mathbf{d} = \{1;\,2;\,1\}$. Найти координаты проекции $H$ и расстояние $\rho = |MH|$.

Шаг 1. Вектор $\overrightarrow{AM} = M - A = (3;\,2;\,4)$ (совпадает с $M$, так как $A$ - начало координат).

Шаг 2. Скалярное произведение: $\overrightarrow{AM} \cdot \mathbf{d} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 3 + 4 + 4 = 11.$ Квадрат длины вектора: $|\mathbf{d}|^2 = 1^2 + 2^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 = 6.$

Шаг 3. Параметр: $t^* = \frac{11}{6} \approx 1{,}833.$

Шаг 4. Координаты основания: $H = A + t^*\mathbf{d} = \left(\frac{11}{6};\;\frac{22}{6};\;\frac{11}{6}\right) = \left(\frac{11}{6};\;\frac{11}{3};\;\frac{11}{6}\right).$

Шаг 5. Расстояние: $\overrightarrow{MH} = H - M = \left(\frac{11}{6} - 3;\;\frac{11}{3} - 2;\;\frac{11}{6} - 4\right) = \left(-\frac{7}{6};\;\frac{5}{3};\;-\frac{13}{6}\right).$ $\rho = \sqrt{\frac{49}{36} + \frac{25}{9} + \frac{169}{36}} = \sqrt{\frac{49 + 100 + 169}{36}} = \sqrt{\frac{318}{36}} = \frac{\sqrt{318}}{6} \approx 2{,}972.$

Проверьте в калькуляторе выше: при $M = (3;\,2;\,4)$, $A = (0;\,0;\,0)$, $\mathbf{d} = (1;\,2;\,1)$ результат совпадёт с этими числами.

Когда прямая задана по двум точкам или уравнением

Задачи часто формулируют иначе: прямая проходит через две точки $P$ и $Q$. Тогда направляющий вектор получается элементарно: $\mathbf{d} = Q - P$. Точку $A$ можно взять любую из двух.

Если прямая задана симметрическим уравнением

$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n},$

то точка $A = (x_0, y_0, z_0)$, а направляющий вектор $\mathbf{d} = (l, m, n)$.

Параметрическое уравнение $x = x_0 + lt$, $y = y_0 + mt$, $z = z_0 + nt$ - это уже готовый вид для формулы: $A = (x_0, y_0, z_0)$, $\mathbf{d} = (l, m, n)$.

Симметричная точка относительно прямой

Смежная задача: найти точку $M'$, симметричную $M$ относительно прямой $\ell$. Как только известна проекция $H$, симметричная точка определяется мгновенно:

$M' = 2H - M.$

Геометрический смысл: $H$ - середина отрезка $MM'$, поэтому $M' = H + \overrightarrow{HM'} = H + \overrightarrow{MH}^{-1} = 2H - M$.

Тот же алгоритм: находим $t^*$, считаем $H$, применяем формулу. Расстояние от $M$ до $M'$ равно $2\rho$.

Частые ошибки

• Забыть перевести прямую в параметрический вид. Если прямая задана симметрическим уравнением, нужно выписать $A$ и $\mathbf{d}$ явно перед подстановкой.
• Взять $\overrightarrow{MA}$ вместо $\overrightarrow{AM}$. Вектор должен идти от точки на прямой $A$ к искомой точке $M$. Знак ошибки в числителе даст неверный $t^*$, и проекция «улетит» в другую сторону.
• Делить на $|\mathbf{d}|$ вместо $|\mathbf{d}|^2$. Частая путаница с формулой для расстояния через модуль $|\mathbf{d}|$: там в числителе стоит другая величина (длина векторного произведения). Здесь же знаменатель - именно $|\mathbf{d}|^2$.
• Нулевой направляющий вектор. Если $\mathbf{d} = \mathbf{0}$, прямая не определена. Всегда проверяй: хотя бы одна компонента $\mathbf{d}$ ненулевая.
• Не проверять результат. Простая проверка: убедиться, что $\overrightarrow{MH} \cdot \mathbf{d} = 0$ (скалярное произведение равно нулю). Если нет - где-то опечатка.

FAQ

Можно ли найти проекцию точки на прямую через матрицы? Да. Если $\mathbf{d}$ нормирован в единичный вектор $\hat{\mathbf{d}}$, то ортогональная проекция вектора $\mathbf{v}$ на направление $\hat{\mathbf{d}}$ - это $(\mathbf{v} \cdot \hat{\mathbf{d}})\,\hat{\mathbf{d}}$, то есть умножение на матрицу-проектор $P = \hat{\mathbf{d}}\,\hat{\mathbf{d}}^T$. Для произвольного (ненормированного) $\mathbf{d}$: $P = \mathbf{d}\,\mathbf{d}^T / |\mathbf{d}|^2$. Метод эквивалентен формуле $t^*$, но нагляднее в линейно-алгебраическом контексте.

Как найти расстояние от точки до прямой через векторное произведение? Формула: $\rho = |\overrightarrow{AM} \times \mathbf{d}|\;/\;|\mathbf{d}|$. Это мгновенно, если нужно только расстояние без координат $H$. Но если нужно $H$, всё равно придётся считать $t^*$ через скалярное произведение.

Что если точка M лежит на прямой? Тогда $\overrightarrow{AM}$ коллинеарен $\mathbf{d}$, то есть $\overrightarrow{AM} = \lambda\,\mathbf{d}$ для некоторого $\lambda$. Подставив в формулу, получим $t^* = \lambda$, а $H = A + \lambda\,\mathbf{d} = M$. Расстояние $\rho = |MH| = 0$. Калькулятор выше покажет $\rho = 0{,}000$ в таком случае.

Коротко

Проекция точки $M$ на прямую $\ell = A + t\,\mathbf{d}$ - это основание перпендикуляра $H = A + t^*\,\mathbf{d}$, где параметр $t^* = \overrightarrow{AM}\cdot\mathbf{d}\;/\;|\mathbf{d}|^2$. Расстояние от точки до прямой равно $\rho = |MH|$. Весь расчёт - три скалярных произведения и подстановка. Проверка - скалярное произведение $\overrightarrow{MH}\cdot\mathbf{d}$ должно быть нулём.