Оптическое свойство параболы: фокус и отражение

Зеркало в форме параболы собирает все параллельные лучи в одну точку - фокус. На этом строятся параболические антенны, рефлекторы прожекторов и телескопы-рефлекторы. Математическое ядро эффекта - равенство углов падения и отражения, записанное через уравнение нормали к параболе. Ниже - интерактивный калькулятор: задайте фокусное расстояние и высоту луча и сразу увидите, как меняется точка попадания.

Уравнение параболы и фокусное расстояние

Каноническая парабола с вершиной в начале координат и осью вдоль $Ox$:

$y^2 = 4px,$

где $p$ - параметр параболы, равный расстоянию от вершины до фокуса $F(p, 0)$ и одновременно расстоянию от вершины до директрисы $x = -p$.

Для параболы $y^2 = 4px$ фокусное расстояние $f = p$; нередко встречается запись $y^2 = 4fx$. Чем меньше $f$, тем «острее» парабола и тем ближе фокус к вершине.

Доказательство оптического свойства

Рассчитать для своей задачи

Возьмём произвольную точку $M(x_0, y_0)$ на параболе, т. е. $y_0^2 = 4px_0$. Докажем, что горизонтальный луч $\overrightarrow{u} = (1, 0)$, падая в точку $M$, отражается точно в фокус $F(p, 0)$.

Шаг 1. Уравнение касательной в точке $M$.

Дифференцирую $y^2 = 4px$:

$2y\,\frac{dy}{dx} = 4p \implies \frac{dy}{dx}\bigg|_M = \frac{2p}{y_0}.$

Касательная проходит через $M$ с наклоном $k = 2p/y_0$.

Шаг 2. Нормаль как биссектриса.

Угол падения $\alpha$ горизонтального луча к нормали должен равняться углу отражения $\beta$ (закон зеркального отражения). Направление нормали в точке $M$:

$\vec{n} = \left(-\frac{2p}{y_0},\, 1\right) \text{ (вектор нормали к касательной)}.$

Вектор от $M$ к фокусу $F$:

$\overrightarrow{MF} = (p - x_0,\, -y_0).$

Шаг 3. Проверка равенства углов.

Косинусы углов $\alpha$ (между $\vec{u}$ и $\vec{n}$) и $\beta$ (между $\overrightarrow{MF}$ и $\vec{n}$) вычисляются через скалярное произведение. После подстановки $y_0^2 = 4px_0$ оба косинуса совпадают, что доказывает: $\vec{n}$ - биссектриса угла между падающим и отражённым лучами, а значит, отражённый луч проходит через $F$.

Фокальный радиус и директриса

Для точки $M(x_0, y_0)$ расстояние до фокуса:

$|MF| = \sqrt{(x_0 - p)^2 + y_0^2}.$

Подставив $y_0^2 = 4px_0$:

$|MF| = \sqrt{(x_0 - p)^2 + 4px_0} = \sqrt{(x_0 + p)^2} = x_0 + p.$

Расстояние от $M$ до директрисы $x = -p$:

$d(M, \text{дир.}) = x_0 + p.$

Таким образом, каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы - это и есть классическое определение параболы.

Рассчитать для своей задачи

Применения оптического свойства

Параболические антенны. Сигнал приходит с большого расстояния параллельным пучком. Вогнутая параболоидная поверхность (парабола, повёрнутая вокруг оси) собирает его в фокус, где стоит приёмник. Усиление мощности пропорционально площади раскрыва.

Рефлекторы фар и прожекторов. Источник света помещается в фокус: лучи, отражаясь от параболоидного зеркала, уходят строго параллельно оси - формируется узкий направленный пучок.

Телескопы-рефлекторы. Схема Ньютона: большое параболическое зеркало собирает параллельные лучи от звезды в фокус; плоское вторичное зеркало выводит изображение в окуляр. Параболоидные зеркала диаметром 8–10 м используются в современных телескопах.

Солнечные концентраторы. Паратрансная параболическая труба фокусирует солнечное излучение на трубке с теплоносителем: в точке фокуса температура достигает 400–550 °C, достаточно для выработки пара.

Парабола с вершиной не в начале координат

Если вершина смещена в точку $(h, k)$, уравнение принимает вид:

$(y - k)^2 = 4p(x - h).$

Фокус - в точке $(h + p,\; k)$, директриса - $x = h - p$. Оптическое свойство сохраняется: параллельные оси симметрии лучи по-прежнему собираются в фокус.

Для «горизонтальной» параболы $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ ось симметрии вертикальна, фокус - в точке $(h,\; k + p)$, параллельные оси лучи собираются в этот фокус.

Числовая иллюстрация

Парабола $y^2 = 12x$ (то есть $p = 3$, фокус $F(3, 0)$). Возьмём луч $y = 2$ (параллельный оси). Точка на параболе: $4 = 12x_0 \Rightarrow x_0 = 1/3$, то есть $M(1/3,\;2)$.

Фокальный радиус: $|MF| = x_0 + p = 1/3 + 3 = 10/3 \approx 3{,}33$.

Угол наклона касательной в $M$: $k = 2p/y_0 = 6/2 = 3$. Нормаль имеет наклон $-1/3$.

Уравнение нормали: $y - 2 = -\tfrac{1}{3}(x - 1/3)$. При $y = 0$: $x = 1/3 + 6 = 19/3$. Нормаль не проходит через фокус (нормаль - это не отражённый луч), зато доказательство выше гарантирует, что отражённый луч попадает в $F(3, 0)$.

Частые ошибки

• Путают касательную с нормалью. Доказательство оптического свойства строится через нормаль (перпендикуляр к касательной) - именно нормаль является биссектрисой угла падения и отражения.
• Полагают, что параметр $p$ - это половина фокусного расстояния. В каноническом уравнении $y^2 = 4px$ параметр $p$ равен фокусному расстоянию $f$. В ряде учебников встречается запись $y^2 = 2px$, где $p$ - половина фокусного расстояния; важно смотреть на обозначения конкретного источника.
• Применяют свойство к любой кривой. Оптическое свойство строго доказано для параболы. Окружность, эллипс, гипербола обладают аналогичными, но другими фокусными свойствами (два фокуса вместо одного у эллипса/гиперболы).
• Забывают о конечной апертуре. Реальная параболическая антенна имеет ограниченный раскрыв: лучи, попадающие за краем параболоида, в фокус не отражаются.
• Смешивают плоскую параболу и параболоид. Оптическое свойство плоской параболы (2D) распространяется на параболоид вращения (3D) именно поэтому параболические зеркала строятся как тела вращения.

FAQ

Почему параллельные лучи сходятся именно в фокус, а не в другую точку? Это следствие закона зеркального отражения и специфической кривизны параболы: в каждой точке нормаль ровно делит угол между падающим горизонтальным лучом и направлением на фокус. Доказательство через уравнение нормали (шаг 3 выше) подтверждает это алгебрически для любой точки кривой.

Можно ли использовать полукруглое зеркало вместо параболического? Нет, у сферического зеркала возникает сферическая аберрация: лучи, далёкие от оси, фокусируются чуть ближе к зеркалу, чем осевые. Парабола лишена этого дефекта - все параллельные лучи (при любой высоте) сходятся в один фокус.

Как связаны оптическое свойство параболы и парабола в баллистике? Никак напрямую. Баллистическая парабола - траектория тела в однородном поле тяготения. Оптическое свойство - характеристика кривой как геометрического объекта. Форма та же, приложения независимы.

Коротко

Оптическое свойство параболы: каждый луч, параллельный оси симметрии, после отражения проходит через фокус $F$. Доказывается через равенство углов падения и отражения на нормали в точке касания. Фокальный радиус любой точки параболы равен расстоянию до директрисы. На этом принципе работают параболические антенны, фары, телескопы-рефлекторы и солнечные концентраторы.