Равносторонняя гипербола: уравнение xy = c и свойства

Равносторонняя гипербола - особый вид гиперболы, у которой действительная и мнимая полуоси равны: $a = b$. Именно для неё уравнение в системе координат, повёрнутой на 45°, принимает особенно красивый вид $xy = c$, где $c$ - положительная константа. Такая кривая встречается в физике (адиабатические процессы идеального газа), экономике (кривые безразличия постоянной эластичности) и математическом анализе. Чтобы сразу увидеть связь между параметром $c$, формой кривой и конкретной точкой на ней, покрутите калькулятор ниже - он строит кривую в реальном времени.

Уравнение и форма кривой

Каноническое уравнение равносторонней гиперболы в осях $Ox$, $Oy$ с полуосями $a = b$:

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1.$$

Если повернуть систему координат на $45{}^\circ$, вводя новые оси $x' = \frac{x+y}{\sqrt{2}}$, $y' = \frac{x-y}{\sqrt{2}}$, то уравнение переходит в:

$$x'y' = \frac{a^2}{2} = c, \quad c > 0.$$

Таким образом, $xy = c$ - это то же самое, что $x'^2/a^2 - y'^2/a^2 = 1$ после поворота, где $a = \sqrt{2c}$.

Кривая состоит из двух ветвей:

• Ветвь I ($x > 0$, $y > 0$): $y = c / x$ при $x > 0$.
• Ветвь III ($x < 0$, $y < 0$): та же формула при $x < 0$.

Рассчитать для своей задачи

Обе ветви симметричны относительно биссектрис $y = x$ и $y = -x$. Важный геометрический факт: при всей кажущейся сложности асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны друг другу - это и есть определяющее свойство «равносторонности».

Вершины и параметр a

Вершины расположены там, где кривая ближайшая к началу координат. Для $xy = c$ (первая ветвь) минимум $r^2 = x^2 + y^2 = x^2 + c^2/x^2$ достигается при $x = \sqrt{c}$:

$$A_1 = (\sqrt{c},\; \sqrt{c}), \quad A_2 = (-\sqrt{c},\; -\sqrt{c}).$$

Расстояние от начала координат до вершины:

$$|OA| = \sqrt{c + c} = \sqrt{2c} = a,$$

что согласуется с каноническим значением полуоси $a = \sqrt{2c}$.

Рассчитать для своей задачи

Эксцентриситет и фокусы

Для любой гиперболы эксцентриситет $e = c_1/a$, где $c_1 = \sqrt{a^2 + b^2}$ - расстояние от центра до фокуса. У равносторонней гиперболы $a = b$, поэтому:

$$c_1 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}, \quad e = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2} \approx 1{,}414.$$

Эксцентриситет равносторонней гиперболы всегда равен $\sqrt{2}$ - независимо от значения $c$. Это её «отпечаток пальца».

Фокусы для $xy = c$ расположены на биссектрисе $y = x$ на расстоянии $c_1 = \sqrt{2c} = a$ от начала координат в направлении $(\cos 45{}^\circ, \sin 45{}^\circ)$:

$$F_1 = \Bigl(\sqrt{c},\; \sqrt{c}\Bigr), \quad F_2 = \Bigl(-\sqrt{c},\; -\sqrt{c}\Bigr).$$

Подождите - это те же точки, что и вершины! Верно: в системе координат $Oxy$ (повёрнутой), фокусы соответствуют точкам $(\pm a\sqrt{2}/\sqrt{2},0) = (\pm a, 0)$ в исходных осях, и после «раскрутки» они оказываются на диагонали $y = x$ в расстоянии $a\sqrt{2}$ от центра. Но $a = \sqrt{2c}$, значит, фокусы стоят в точках $(\sqrt{2c}/\sqrt{2},\sqrt{2c}/\sqrt{2}) = (\sqrt{c}, \sqrt{c})$.

На практике в задачах под «фокусами» $xy = c$ обычно имеют в виду точки $(\pm\sqrt{2c}, \pm\sqrt{2c})$ в исходной системе. Уточняйте формулировку по условию: если спрашивают фокусы канонической гиперболы $\frac{X^2}{2c} - \frac{Y^2}{2c} = 1$, они стоят при $X = \pm 2\sqrt{c}$, $Y = 0$ - то есть до поворота на $45{}^\circ$.

Асимптоты

Асимптоты равносторонней гиперболы $xy = c$ - это координатные оси: $y = 0$ (ось $Ox$) и $x = 0$ (ось $Oy$). При $x \to +\infty$ имеем $y = c/x \to 0$; при $x \to 0^+$ имеем $y \to +\infty$. Кривая «стекает» к осям, никогда их не касаясь.

В канонических осях асимптоты - это $y = x$ и $y = -x$, и они перпендикулярны: угол между ними $90{}^\circ$. Это и есть математический смысл прилагательного «равносторонняя» применительно к гиперболе: асимптоты взаимно перпендикулярны.

Касательная к гиперболе в точке

Пусть $M(x_0, y_0)$ - точка на гиперболе $xy = c$, то есть $x_0 y_0 = c$. Дифференцируя $xy = c$ неявно:

$$y + x \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}.$$

В точке $M$: наклон $k = -y_0 / x_0$. Уравнение касательной:

$$y - y_0 = -\frac{y_0}{x_0}(x - x_0),$$

что после преобразований даёт красивую симметричную запись:

$$\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} = 2.$$

Интересное следствие: касательная отсекает на осях координат отрезки $2x_0$ и $2y_0$, а треугольник, образованный касательной и осями, всегда имеет площадь $S = \frac{1}{2}(2x_0)(2y_0) = 2x_0 y_0 = 2c$ - постоянную, не зависящую от выбора точки!

Связь с обратной пропорциональностью

Функция $y = c/x$ - классический пример обратной пропорциональности. Её график при $c > 0$ состоит из двух ветвей в I и III квадрантах, при $c < 0$ - во II и IV. Каждая такая кривая является равносторонней гиперболой.

В физике уравнение $pV = \nu RT$ (идеальный газ при постоянной температуре) - это именно $pV = c$, то есть изотерма является равносторонней гиперболой на $p$-$V$-диаграмме. Гипербола здесь означает, что при уменьшении объёма вдвое давление возрастает вдвое - обратная пропорциональность.

В экономике кривые безразличия вида $U = xy = c$ (полезность от двух благ) - тоже равносторонние гиперболы. Форма кривой отражает принцип убывающей предельной нормы замещения.

Частые ошибки

• Путать $c$ и $a$. В $xy = c$ параметр $c$ - это произведение координат, а полуось $a = \sqrt{2c}$. Не подставлять $c$ вместо $a$ в формулы фокусов или эксцентриситета.
• Забывать про вторую ветвь. Гипербола $xy = c$ (при $c > 0$) состоит из двух ветвей: I и III квадранты. Ошибка - нарисовать только одну ветвь или описать её как параболу.
• Неверно указывать асимптоты. Для $xy = c$ асимптоты - координатные оси ($x = 0$ и $y = 0$), а не $y = \pm x$. Последние - асимптоты в стандартной системе $XY$ до поворота.
• Неверный знак наклона касательной. Производная $dy/dx = -y/x < 0$ при $x, y > 0$: функция убывает, касательная наклонена вниз слева направо.
• Путать эксцентриситет с другими кривыми. У параболы $e = 1$, у эллипса $e < 1$, у произвольной гиперболы $e > 1$. У равносторонней гиперболы конкретно $e = \sqrt{2}$.

FAQ

Чем отличается равносторонняя гипербола от обычной?

У обычной гиперболы $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ полуоси $a$ и $b$ различны. У равносторонней $a = b$, поэтому асимптоты $y = \pm (b/a)x = \pm x$ перпендикулярны. Это условие - угол между асимптотами $90{}^\circ$ - и является определением равносторонности. Эксцентриситет $e = \sqrt{2}$ у неё фиксирован.

Как найти значение $c$ по условию задачи?

Если дана точка $(x_1, y_1)$, лежащая на гиперболе, то $c = x_1 y_1$. Если дано расстояние от начала координат до вершины $d$, то $c = d^2/2$. Если дана полуось $a$, то $c = a^2/2$.

Как доказать, что площадь треугольника, образованного касательной и осями, постоянна?

Касательная в точке $(x_0, y_0)$: $\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} = 2$ отсекает отрезки $2x_0$ (на оси $Ox$) и $2y_0$ (на оси $Oy$). Площадь прямоугольного треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot 2x_0 \cdot 2y_0 = 2x_0 y_0 = 2c$. Это константа, не зависящая от выбора точки касания.

Коротко

Равносторонняя гипербола $xy = c$ - частный случай гиперболы с $a = b = \sqrt{2c}$, у которой асимптоты (координатные оси в форме $xy = c$) взаимно перпендикулярны, эксцентриситет всегда равен $\sqrt{2}$, вершины расположены в точках $(\pm\sqrt{c}, \pm\sqrt{c})$ на биссектрисе $y = x$, а касательная в любой точке отсекает треугольник постоянной площади $2c$. Кривая описывает обратную пропорциональность и встречается в физике (изотерма), экономике (кривая безразличия) и математическом анализе.