Сопряжённая гипербола: уравнение и общие асимптоты

Сопряжённая гипербола - это вторая гипербола, которая строится на той же паре полуосей $a$ и $b$, что и исходная, но «раскрыта» в перпендикулярном направлении. Если исходная гипербола $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ветвями уходит вправо и влево, то сопряжённая к ней ветвями уходит вверх и вниз и описывается уравнением с минус единицей в правой части. Главная их особенность в том, что обе кривые опираются на один и тот же крест прямых-асимптот: издалека они выглядят как четыре ветви, обнимающие общий угол с разных сторон. Ниже разберём, как из уравнения исходной гиперболы получить сопряжённую, почему асимптоты у них общие, как связаны эксцентриситеты и где лежат фокусы. Чтобы сразу увидеть обе кривые вместе, покрутите полуоси $a$ и $b$ в калькуляторе ниже: он рисует исходную и сопряжённую гиперболу, их общие асимптоты, фокусы на одной окружности и проверяет соотношение эксцентриситетов.

Что такое сопряжённая гипербола

Возьмём каноническую гиперболу с центром в начале координат и осями вдоль координатных осей:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.$

Её действительная ось лежит на оси $x$, вершины находятся в точках $(\pm a, 0)$, а ветви раскрываются вправо и влево. Сопряжённой к ней называют гиперболу с тем же уравнением, но с противоположным знаком в правой части:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1,$

что после умножения на $-1$ удобно переписать в каноническом виде

$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1.$

Из этой записи видно главное: у сопряжённой гиперболы действительной становится ось $y$. Её вершины лежат в точках $(0, \pm b)$, а ветви раскрываются вверх и вниз. То, что у исходной гиперболы было мнимой полуосью ($b$), у сопряжённой работает как действительная, и наоборот. Поэтому говорят, что две гиперболы взаимно сопряжены: каждая является сопряжённой для другой.

Почему асимптоты у них общие

Асимптоты гиперболы - это две прямые, к которым ветви бесконечно приближаются, не пересекая их. Для канонической гиперболы $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ они задаются уравнениями

$y = \pm \frac{b}{a}\,x.$

Самый быстрый способ их получить - заменить в уравнении гиперболы единицу справа на ноль: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0$. Это уравнение распадается на пару прямых $y = \pm\dfrac{b}{a}x$. Но точно такое же распадение получится и из уравнения сопряжённой гиперболы, если приравнять её левую часть к нулю: ведь левые части у исходной и сопряжённой гиперболы совпадают, отличаются только правые. Значит, обе гиперболы имеют одни и те же асимптоты $y = \pm\dfrac{b}{a}x$. Это не совпадение, а прямое следствие определения: сопряжённая гипербола строится из той же квадратичной формы, поэтому крест асимптот у них общий.

Рассчитать для своей задачи

Наклон общих асимптот равен отношению $b/a$. Чем больше мнимая полуось $b$ по сравнению с $a$, тем круче расходятся асимптоты и тем «шире» открываются обе гиперболы. На анимации выше видно, как при изменении $b$ обе кривые синхронно перестраиваются вокруг одного и того же угла.

Основной прямоугольник и построение

Удобный способ начертить обе гиперболы сразу - через так называемый основной (характеристический) прямоугольник. Его стороны параллельны осям координат, а полуразмеры равны $a$ по горизонтали и $b$ по вертикали, то есть прямоугольник имеет размеры $2a \times 2b$ и центрирован в начале координат.

Рассчитать для своей задачи

Диагонали этого прямоугольника, продолженные в обе стороны, и есть общие асимптоты обеих гипербол - их угловой коэффициент как раз равен $b/a$. Середины вертикальных сторон прямоугольника $(\pm a, 0)$ - это вершины исходной гиперболы, а середины горизонтальных сторон $(0, \pm b)$ - вершины сопряжённой. Поэтому, нарисовав один прямоугольник и его диагонали, вы сразу получаете каркас для обеих кривых: исходная вписывается в горизонтальные «карманы», сопряжённая - в вертикальные.

Фокусы и полуфокусное расстояние

Для канонической гиперболы расстояние от центра до каждого фокуса обозначают $c$ и находят по формуле

$c = \sqrt{a^2 + b^2}.$

Поскольку выражение под корнем симметрично относительно $a$ и $b$, величина $c$ у исходной и сопряжённой гиперболы одна и та же. Различается только расположение фокусов: у исходной гиперболы они лежат на оси $x$ в точках $(\pm c, 0)$, а у сопряжённой - на оси $y$ в точках $(0, \pm c)$. Все четыре фокуса оказываются на одной окружности радиуса $c$ с центром в начале координат. Эта общая «фокальная окружность» - ещё одна наглядная связь между двумя сопряжёнными кривыми; на главном графике калькулятора она показана золотой линией, а фокусы отмечены точками $F_1, F_2, F_1', F_2'$.

Связь эксцентриситетов

Эксцентриситет гиперболы - это отношение полуфокусного расстояния к действительной полуоси. У исходной гиперболы действительная полуось равна $a$, поэтому

$e_1 = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a},$

а у сопряжённой действительной полуосью служит $b$, поэтому

$e_2 = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b}.$

Эти два эксцентриситета связаны изящным соотношением. Подставим $c^2 = a^2 + b^2$ в сумму обратных квадратов:

$\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1.$

То есть для любой пары сопряжённых гипербол выполняется $\dfrac{1}{e_1^2} + \dfrac{1}{e_2^2} = 1$. Это соотношение часто проверяют в задачах: если вы нашли оба эксцентриситета и сумма их обратных квадратов не равна единице, значит, где-то закралась ошибка. В калькуляторе выше эта проверка показана отдельной полоской: красный сегмент равен $1/e_1^2$, синий - $1/e_2^2$, и вместе они всегда заполняют единицу.

Пример: построить сопряжённую и найти её элементы

Разберём типовую формулировку. Дана гипербола $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. Здесь $a^2 = 16$ и $b^2 = 9$, то есть $a = 4$, $b = 3$. Уравнение сопряжённой получаем заменой правой части на $-1$:

$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = -1, \qquad \text{или} \qquad \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1.$

Её вершины лежат на оси $y$: $(0, \pm 3)$. Общие асимптоты обеих гипербол - $y = \pm\dfrac{3}{4}x$. Полуфокусное расстояние одинаково: $c = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$. Значит, фокусы исходной гиперболы - $(\pm 5, 0)$, а сопряжённой - $(0, \pm 5)$. Эксцентриситеты: $e_1 = 5/4 = 1{,}25$ и $e_2 = 5/3 \approx 1{,}67$. Проверка: $\dfrac{1}{e_1^2} + \dfrac{1}{e_2^2} = \dfrac{16}{25} + \dfrac{9}{25} = 1$ - соотношение выполнено, решение согласовано.

Если ваша задача отличается числами, удобно сразу собрать всю цепочку рассуждений: задайте свои $a$ и $b$ в калькуляторе и нажмите «Показать ответ», чтобы получить полный разбор с уравнениями, вершинами, фокусами и асимптотами.

Частые ошибки

• Путаница со знаком правой части. Сопряжённая гипербола получается заменой $1$ на $-1$ (или, что то же самое, перестановкой членов с переносом в канонический вид $\dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{x^2}{a^2} = 1$), а не сменой знаков у $a^2$ или $b^2$.
• Перестановка полуосей в фокусе. Полуфокусное расстояние всегда $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ и одинаково для обеих гипербол. Не нужно «менять местами» $a$ и $b$ при переходе к сопряжённой - под корнем они и так симметричны.
• Деление на не ту полуось в эксцентриситете. Эксцентриситет считается через действительную полуось: у исходной это $a$ ($e_1 = c/a$), у сопряжённой - $b$ ($e_2 = c/b$). Брать в обоих случаях $a$ - типичная ошибка.
• Свои асимптоты у каждой гиперболы. У сопряжённых гипербол асимптоты общие. Если вы получили для них разные прямые, проверьте вывод: обе должны давать $y = \pm\dfrac{b}{a}x$.
• Сопряжённая и равнобочная - не одно и то же. Сопряжённость связывает две разные кривые, а равнобочность ($a = b$) - свойство одной гиперболы. При $a = b$ обе сопряжённые гиперболы равнобочные, но в общем случае это разные понятия.

FAQ

Как из уравнения гиперболы получить сопряжённую? Замените единицу в правой части на минус единицу: из $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ получается $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = -1$. Чтобы привести к каноническому виду, умножьте на $-1$ и переставьте члены: $\dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{x^2}{a^2} = 1$.

Почему у сопряжённых гипербол общие асимптоты? Потому что асимптоты определяются левой частью уравнения (она у обеих одинакова): приравняв $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2}$ к нулю, и для исходной, и для сопряжённой гиперболы получаем одну и ту же пару прямых $y = \pm\dfrac{b}{a}x$.

Совпадают ли фокусы сопряжённых гипербол? Нет, но они лежат на одной окружности. Полуфокусное расстояние $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ у обеих одинаково, поэтому фокусы исходной $(\pm c, 0)$ и сопряжённой $(0, \pm c)$ находятся на окружности радиуса $c$.

Коротко

Сопряжённая гипербола к $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ - это кривая $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = -1$, раскрытая вдоль оси $y$ с вершинами $(0, \pm b)$. У обеих гипербол общие асимптоты $y = \pm\dfrac{b}{a}x$ и одинаковое полуфокусное расстояние $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, а их эксцентриситеты связаны соотношением $\dfrac{1}{e_1^2} + \dfrac{1}{e_2^2} = 1$. Удобный каркас для построения обеих кривых - основной прямоугольник $2a \times 2b$, диагонали которого лежат на общих асимптотах.