Директриса гиперболы: формула, уравнение и свойство

Директриса гиперболы - это прямая, перпендикулярная действительной оси, для которой выполняется фокально-директориальное свойство: у каждой точки гиперболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до этой прямой постоянно и равно эксцентриситету. У гиперболы две директрисы, по одной на каждый фокус, и расположены они между ветвями, ближе к центру, чем вершины. Ниже разберём, как вывести уравнение директрисы гиперболы через полуоси и эксцентриситет, как директрисы связаны с фокусами и асимптотами и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь полуосей, эксцентриситета и положения директрис, покрути калькулятор ниже: он строит гиперболу с обеими директрисами и фокусами и проверяет свойство для выбранной точки.

Что такое директриса гиперболы

Возьмём каноническую гиперболу

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,$

где $a$ - действительная полуось (расстояние от центра до вершины), а $b$ - мнимая полуось. Фокусы лежат на оси $Ox$ в точках $(\pm c, 0)$, где $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы:

$e = \frac{c}{a} > 1.$

Директрисы - это две вертикальные прямые, симметричные относительно центра. Каждая директриса «отвечает» за ближайший к ней фокус: правому фокусу $(c, 0)$ соответствует правая директриса, левому фокусу - левая. Именно через эту пару фокус-директриса и формулируется определяющее свойство гиперболы, к которому мы вернёмся ниже.

Рассчитать для своей задачи

Формула и уравнение директрисы гиперболы

Уравнения директрис гиперболы записываются через действительную полуось и эксцентриситет:

$x = \pm \frac{a}{e}.$

Поскольку $e = c/a$, ту же формулу удобно выразить только через $a$ и $c$:

$x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{a}{c/a} = \pm \frac{a^2}{c}.$

Обе записи эквивалентны - выбирайте ту, где данные задачи проще подставить. Из формулы сразу видно важное: так как $e > 1$, дробь $a/e$ меньше $a$, поэтому директрисы всегда проходят ближе к центру, чем вершины гиперболы $(\pm a, 0)$. А фокусы, наоборот, лежат дальше вершин, ведь $c > a$. Получается характерный порядок точек на оси: центр, директриса, вершина, фокус.

Рассчитать для своей задачи

Чем больше эксцентриситет, тем сильнее ветви гиперболы «раскрываются» и тем ближе директрисы прижимаются к центру. В пределе очень большого $e$ директрисы стремятся к оси $Oy$, а при $e \to 1$ (гипербола становится узкой) они приближаются к вершинам.

Фокально-директориальное свойство

Главное, ради чего вводят директрису, - это единое определение гиперболы. Для любой точки $P$ на гиперболе отношение её расстояния до фокуса $r$ к расстоянию до соответствующей директрисы $d$ постоянно:

$\frac{r}{d} = e.$

Это и есть фокально-директориальное (директориальное) свойство. Оно роднит все конические сечения: для эллипса то же отношение даёт $e < 1$, для параболы $e = 1$, а для гиперболы $e > 1$. То есть гиперболу можно определить как множество точек, у которых расстояние до фокуса в $e$ раз больше расстояния до директрисы, причём $e > 1$.

Рассчитать для своей задачи

Проверим свойство на числах. Возьмём $a = 3$, $b = 4$. Тогда $c = \sqrt{9 + 16} = 5$, эксцентриситет $e = 5/3 \approx 1{,}67$, а правая директриса - это прямая $x = a^2/c = 9/5 = 1{,}8$. Выберем на правой ветви точку $P(5;\ 16/3)$: подстановка в уравнение $25/9 - (256/9)/16 = 25/9 - 16/9 = 1$ подтверждает, что точка лежит на гиперболе. Расстояние до правого фокуса $(5, 0)$ равно $r = 16/3 \approx 5{,}33$, расстояние до директрисы $d = 5 - 1{,}8 = 3{,}2$, и отношение $r/d = 5{,}33/3{,}2 = 5/3 = e$. Калькулятор выше пересчитывает эту цепочку для любой точки ветви.

Связь директрисы с фокусом и эксцентриситетом

Удобно держать в голове три величины и связи между ними. Зная любые две из набора $a$, $c$, $e$, легко найти всё остальное и записать директрисы:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad e = \frac{c}{a}, \qquad x_{\text{дир}} = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{a^2}{c}.$

Например, если в задаче дан эксцентриситет $e$ и фокусное расстояние $2c$, то $a = c/e$, а директрисы сразу получаются как $x = \pm a/e = \pm c/e^2$. Если же известно уравнение директрисы $x = \pm p$ и координата фокуса $(\pm c, 0)$, то $a^2 = pc$ (так как $p = a^2/c$), а дальше $b^2 = c^2 - a^2$ восстанавливает каноническое уравнение. Эта «развязка» через три величины покрывает большинство стандартных постановок.

Полезно помнить и геометрический смысл: директриса проходит через основание перпендикуляра, опущенного из вершины определённым образом, но проще запоминать её именно как $x = a/e$ - формулу, которая никогда не подведёт.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: дана гипербола $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$, нужно найти эксцентриситет и уравнения директрис.

Сначала выписываем полуоси: $a^2 = 9$, значит $a = 3$; $b^2 = 16$, значит $b = 4$. Находим $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$

Считаем эксцентриситет:

$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67.$

Записываем уравнения директрис двумя эквивалентными способами для самоконтроля:

$x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{3}{5/3} = \pm \frac{9}{5} = \pm 1{,}8, \qquad x = \pm \frac{a^2}{c} = \pm \frac{9}{5} = \pm 1{,}8.$

Оба пути дали $x = \pm 1{,}8$ - значит, расчёт согласован. Проверка разумности: директриса $1{,}8$ меньше вершины $a = 3$, а фокус $c = 5$ больше вершины, так что порядок «директриса, вершина, фокус» соблюдён. Калькулятор выше собирает ровно такую цепочку рассуждений автоматически, оставляя вам контроль над формулами.

Частые ошибки

• Путаница формул эллипса и гиперболы. Формула директрисы $x = a/e$ одинакова по виду, но $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ для гиперболы и $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ для эллипса - перепутав знак, получите неверное $c$.
• Деление на эксцентриситет наоборот. Директриса - это $x = a/e$, а не $x = a \cdot e$. Поскольку $e > 1$, директриса ближе к центру, чем вершина; если получилось дальше вершины, формула перевёрнута.
• Расстояние до директрисы как до точки. $d$ - это расстояние от точки до прямой $x = a/e$, то есть $d = |x_P - a/e|$ по горизонтали, а не отрезок до какой-то точки на прямой.
• Несоответствие фокуса и директрисы. В свойстве $r/d = e$ берут фокус и директрису из одной пары (оба правые или оба левые). Смешав правый фокус с левой директрисой, получите неверное отношение.
• Эксцентриситет меньше единицы. Для гиперболы всегда $e > 1$. Если в ответе $e \le 1$, перепутаны $a$ и $c$ или взята формула эллипса.

FAQ

Сколько директрис у гиперболы и где они расположены? У гиперболы две директрисы - вертикальные прямые $x = \pm a/e$, симметричные относительно центра. Обе проходят между ветвями, ближе к центру, чем вершины, потому что $a/e < a$ при $e > 1$.

Как найти уравнение директрисы гиперболы, если известны полуоси? Сначала найдите $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ и эксцентриситет $e = c/a$, затем подставьте в формулу $x = \pm a/e = \pm a^2/c$. Например, для $a = 3$, $b = 4$ получаем $c = 5$, $e = 5/3$ и директрисы $x = \pm 1{,}8$.

Чем директриса гиперболы отличается от директрисы параболы и эллипса? Форма определения общая: $r/d = e$. Разница в значении эксцентриситета - у гиперболы $e > 1$, у параболы $e = 1$ (и директриса всего одна), у эллипса $e < 1$. Поэтому одно и то же свойство порождает три разных кривых.

Коротко

Директриса гиперболы $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ - это пара прямых $x = \pm a/e = \pm a^2/c$, где $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ и $e = c/a > 1$. Директрисы лежат между ветвями, ближе к центру, чем вершины, а фокусы - дальше. Их роль задаёт фокально-директориальное свойство $r/d = e$: расстояние от любой точки гиперболы до фокуса в $e$ раз больше расстояния до соответствующей директрисы.