Директриса эллипса: уравнение, эксцентриситет, свойство

Директриса эллипса - это прямая, перпендикулярная большой оси, которая вместе с фокусом задаёт сам эллипс через постоянное отношение расстояний. Если для параболы фокус и директриса хорошо знакомы со школы, то у эллипса директрисы появляются позже и часто кажутся искусственными. На деле они дают второе, очень элегантное определение кривой: точка лежит на эллипсе тогда и только тогда, когда отношение её расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно эксцентриситету. Ниже разберём, что такое директриса эллипса, как вывести её уравнение через эксцентриситет, как фокус и директриса связаны свойством $r/d = e$ и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть эту связь вживую, покрути калькулятор: он двигает точку по эллипсу и показывает, что отношение $r/d$ не меняется.

Что такое директриса эллипса

Возьмём эллипс в каноническом виде с горизонтальной большой осью:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad a > b > 0.$

Здесь $a$ - большая полуось, $b$ - малая полуось. Фокусы лежат на оси $Ox$ в точках $(\pm c, 0)$, где $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ - фокусное расстояние. Эксцентриситет $e = c/a$ показывает, насколько эллипс вытянут: при $e \to 0$ это почти окружность, при $e \to 1$ - сильно сплюснутая фигура.

Директрисы эллипса - это две прямые, перпендикулярные большой оси и симметричные относительно центра. Каждому фокусу соответствует своя директриса: правому фокусу $(c, 0)$ - правая директриса, левому $(-c, 0)$ - левая. Они находятся вне эллипса, дальше его вершин, и сами кривую не пересекают.

Рассчитать для своей задачи

Уравнение директрисы эллипса

Каждая директриса задаётся очень простым уравнением. Правая и левая директрисы - это вертикальные прямые:

$x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{a^2}{c}.$

Обе записи эквивалентны: подставив $e = c/a$ в $a/e$, получаем $a/(c/a) = a^2/c$. Какой формой пользоваться - зависит от того, что дано в задаче. Если известен эксцентриситет, удобнее $a/e$; если известны $a$ и $c$, проще сразу $a^2/c$.

Важное наблюдение: поскольку $0 < e < 1$, дробь $a/e$ всегда больше $a$. Значит, директриса лежит дальше от центра, чем вершина эллипса - она не задевает кривую. Чем ближе $e$ к единице (эллипс вытянутее), тем ближе директриса подходит к вершине; чем меньше $e$, тем дальше она отодвигается, уходя в бесконечность для окружности.

Рассчитать для своей задачи

Для эллипса с полуосями $a = 5$ и $b = 3$ получаем $c = \sqrt{25 - 9} = 4$, эксцентриситет $e = 4/5 = 0{,}8$, а директрисы $x = \pm 5/0{,}8 = \pm 6{,}25$. Вершина эллипса при этом находится в точке $x = a = 5$, то есть директриса действительно отстоит от центра дальше вершины.

Фокус-директориальное свойство: r/d = e

Главный смысл директрисы - во втором определении эллипса. Возьмём любую точку $P$ на кривой, её расстояние до фокуса обозначим $r$, а расстояние до соответствующей директрисы (по перпендикуляру) - $d$. Тогда для всех точек эллипса выполняется одно и то же равенство:

$\frac{r}{d} = e.$

Это и есть фокус-директориальное свойство. Оно работает в обе стороны: множество всех точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) постоянно и меньше единицы, - это в точности эллипс с эксцентриситетом, равным этому отношению.

Проверим на точке-вершине $(a, 0)$ для эллипса с $a = 5$. Расстояние до правого фокуса: $r = a - c = 5 - 4 = 1$. Расстояние до правой директрисы: $d = a/e - a = 6{,}25 - 5 = 1{,}25$. Отношение $r/d = 1/1{,}25 = 0{,}8 = e$ - совпадает. В калькуляторе выше можно подвинуть точку $P$ в любое место эллипса и убедиться, что отношение $r/d$ держится равным $e$, хотя сами $r$ и $d$ меняются.

Рассчитать для своей задачи

Связь директрисы с эксцентриситетом

Эксцентриситет связывает между собой все элементы эллипса. Из него сразу выражаются и фокус, и директриса:

$c = a e, \qquad x_{\text{дир}} = \frac{a}{e}, \qquad b = a\sqrt{1 - e^2}.$

Отсюда видно, почему директриса и фокус движутся «навстречу» при изменении формы. Произведение расстояний от центра до фокуса и до директрисы постоянно и равно квадрату полуоси:

$c \cdot \frac{a}{e} = a e \cdot \frac{a}{e} = a^2.$

Это удобный контрольный факт: координата фокуса $c$ и координата директрисы $a/e$ всегда дают в произведении $a^2$. Если в решении это произведение не сходится, где-то ошибка в $c$ или $e$.

Как решать задачи с директрисой

Типовой план для большинства задач выглядит так:

1. Привести уравнение к каноническому виду и выписать $a^2$ и $b^2$ (под большей дробью стоит $a^2$).
2. Найти $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ и эксцентриситет $e = c/a$.
3. Записать директрисы $x = \pm a/e$ (или $\pm a^2/c$) и фокусы $(\pm c, 0)$.
4. Если в задаче дана точка - проверить свойство $r/d = e$ напрямую.

Если большая ось эллипса вертикальна (под $y^2$ стоит большее число), всё то же самое, но директрисы становятся горизонтальными: $y = \pm a/e$, а фокусы лежат на оси $Oy$. Главное - сначала определить, какая ось большая, и не перепутать $a$ с $b$.

Частые ошибки

• Путают $a$ и $b$. Большая полуось $a$ всегда стоит под большей из дробей. Если взять меньшую, $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ даст корень из отрицательного числа.
• Считают директрису через $c$, а не через $a$. Директриса - это $a/e = a^2/c$, а не $c/e$ и не $c^2/a$. Простая проверка: $c \cdot (a/e) = a^2$.
• Думают, что директриса проходит через фокус или вершину. Директриса всегда лежит вне эллипса, дальше вершины: $a/e > a$.
• Берут $d$ как расстояние до центра, а не до директрисы. В свойстве $r/d = e$ величина $d$ - это перпендикуляр от точки именно до прямой-директрисы.
• Забывают про ориентацию осей. При вертикальной большой оси директрисы горизонтальны ($y = \pm a/e$), а фокусы - на оси $Oy$.

FAQ

Зачем эллипсу директриса, если есть определение через сумму расстояний до фокусов? Определение через сумму $r_1 + r_2 = 2a$ удобно для построения, а директриса даёт единое определение для всех конических сечений сразу. Эллипс, парабола и гипербола отличаются только значением $e$: меньше единицы - эллипс, равно единице - парабола, больше единицы - гипербола. Это объединяющий взгляд.

Где находится директриса относительно эллипса? Всегда снаружи, дальше вершины: $a/e > a$, потому что $0 < e < 1$. Чем сильнее вытянут эллипс (больше $e$), тем ближе директриса к вершине; у почти круглого эллипса она уходит очень далеко.

Как связаны фокус и директриса? Они отвечают друг другу попарно: правому фокусу соответствует правая директриса, левому - левая. Произведение их расстояний от центра постоянно: $c \cdot (a/e) = a^2$. И вместе они задают эллипс через свойство $r/d = e$.

Коротко

Директриса эллипса - это прямая $x = \pm a/e = \pm a^2/c$, перпендикулярная большой оси и лежащая вне кривой. Вместе с соответствующим фокусом она даёт второе определение эллипса: отношение расстояния от точки до фокуса к расстоянию до директрисы постоянно и равно эксцентриситету $e = c/a$. Чтобы решить задачу, приведите уравнение к каноническому виду, найдите $c$ и $e$, выпишите директрисы и при необходимости проверьте свойство $r/d = e$ для конкретной точки.