Координаты вектора в новом базисе: формула и пример

Один и тот же вектор на плоскости выглядит по-разному в разных системах координат: его длина и направление не меняются, а вот числа, которыми мы его записываем, зависят от выбранного базиса. Координаты вектора в новом базисе - это коэффициенты его разложения по новым базисным векторам, и находят их через матрицу перехода и обратную матрицу. Ниже разберём, что такое матрица перехода, как из неё получить формулу $[v]_f = P^{-1} v$, как выглядит разложение геометрически и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь между вектором, базисом и его новыми координатами, покрутите калькулятор ниже: он строит разложение прямо на плоскости и пересчитывает координаты, как только вы двигаете любой ползунок.

Что значит «координаты вектора в базисе»

Базис на плоскости - это два неколлинеарных вектора $f_1$ и $f_2$. Любой вектор $v$ можно единственным образом представить как их линейную комбинацию:

$v = a\,f_1 + b\,f_2.$

Пара чисел $(a; b)$ и есть координаты вектора $v$ в базисе $\{f_1, f_2\}$. В привычном стандартном базисе $e_1 = (1; 0)$, $e_2 = (0; 1)$ координаты совпадают с самими компонентами вектора: запись $v = (4; 3)$ означает $v = 4 e_1 + 3 e_2$. Но стоит сменить базис - и те же геометрические стрелки описываются другими числами. Именно поэтому говорят, что координаты зависят от базиса, а сам вектор - нет: он остаётся на месте, меняется лишь «линейка», которой мы его измеряем.

Матрица перехода к новому базису

Чтобы перейти от стандартного базиса к новому, удобно собрать новые базисные векторы в столбцы одной матрицы. Матрица перехода $P$ - это матрица, столбцами которой служат координаты новых базисных векторов в старом базисе:

$P = \begin{pmatrix} f_{1x} & f_{2x} \\ f_{1y} & f_{2y} \end{pmatrix} = [\,f_1 \mid f_2\,].$

Эта матрица переводит координаты из нового базиса в старый: если вектор имеет в новом базисе столбец координат $[v]_f = (a; b)^{T}$, то его старые координаты получаются как $v = P\,[v]_f$. Проверить это легко: умножение $P$ на столбец $(a; b)^{T}$ по правилам матричного произведения даёт ровно $a\,f_1 + b\,f_2$. То есть матрица перехода - это компактная запись формулы разложения.

Важное условие: чтобы $f_1$ и $f_2$ действительно образовывали базис, они должны быть линейно независимы. На языке матрицы это значит, что определитель $\det P \ne 0$. Если $\det P = 0$, новые векторы коллинеарны, базиса не получается, и разложение либо не существует, либо не единственно.

Формула координат в новом базисе

Нам обычно дано обратное: известны старые координаты $v$, а найти нужно новые $(a; b)$. Раз $v = P\,[v]_f$, домножим обе части слева на обратную матрицу $P^{-1}$ и получим главную формулу:

$[v]_f = P^{-1}\,v.$

Словами: чтобы найти координаты вектора в новом базисе, надо умножить обратную матрицу перехода на столбец старых координат. Вся задача сводится к двум шагам - обратить матрицу $2 \times 2$ и выполнить одно матричное умножение. Для матрицы второго порядка обратная находится по короткому правилу:

$P^{-1} = \frac{1}{\det P} \begin{pmatrix} f_{2y} & -f_{2x} \\ -f_{1y} & f_{1x} \end{pmatrix}, \qquad \det P = f_{1x} f_{2y} - f_{2x} f_{1y}.$

Рассчитать для своей задачи

На видео видно главное: вектор $v$ зафиксирован, а его новые координаты живут вместе с базисом. Поверните $f_1$ и $f_2$ - и параллелограмм разложения перестроится, числа $(a; b)$ станут другими, хотя стрелка $v$ не шелохнётся. Это и есть наглядный смысл формулы $[v]_f = P^{-1} v$: новые координаты - проекции вектора на новые оси, а не свойство самого вектора.

Геометрический смысл: разложение по параллелограмму

Формулу удобно читать как построение. Чтобы разложить $v$ по базису $\{f_1, f_2\}$, через конец вектора $v$ проводят две прямые, параллельные базисным векторам. Точки их пересечения с направлениями $f_1$ и $f_2$ отсекают отрезки $a\,f_1$ и $b\,f_2$ - стороны параллелограмма, диагональю которого служит сам $v$. Числа $a$ и $b$ показывают, сколько раз базисный вектор укладывается вдоль своей стороны.

Рассчитать для своей задачи

На схеме вектор $v$ - это диагональ параллелограмма, построенного на направлениях $f_1$ и $f_2$. Золотые скобки измеряют, какая доля каждого базисного вектора входит в разложение: вдоль $f_1$ укладывается $a$ единиц, вдоль $f_2$ - $b$ единиц. Эти доли и есть искомые координаты. Когда базис ортонормированный (взаимно перпендикулярные единичные векторы), параллелограмм становится прямоугольником, а координаты сводятся к обычным скалярным проекциям; в общем же случае базис косоугольный, и координаты приходится считать через обратную матрицу.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: найти координаты вектора $v = (4; 3)$ в базисе $f_1 = (2; 1)$, $f_2 = (-1; 2)$. Сначала запишем матрицу перехода из столбцов нового базиса и посчитаем её определитель:

$P = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \det P = 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1 = 5 \ne 0.$

Определитель не равен нулю, значит $f_1$ и $f_2$ образуют базис. Теперь выпишем обратную матрицу по правилу для $2 \times 2$:

$P^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$

Остаётся умножить её на столбец старых координат вектора:

$[v]_f = P^{-1} v = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 11 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}2 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}.$

Итак, в новом базисе $v = 2{,}2\,f_1 + 0{,}4\,f_2$. Полезно сразу проверить ответ обратной подстановкой: $2{,}2 \cdot (2; 1) + 0{,}4 \cdot (-1; 2) = (4{,}4 - 0{,}4;\ 2{,}2 + 0{,}8) = (4; 3)$ - исходный вектор восстановился, расчёт верен. Калькулятор выше собирает ровно эту цепочку: задайте те же числа на ползунках, и он покажет $a = 2{,}2$, $b = 0{,}4$ и нарисует тот же параллелограмм разложения.

Когда базис задан не от стандартного

Иногда нужно пересчитать координаты не от стандартного базиса, а из одного произвольного базиса в другой. Тогда строят две матрицы перехода - от старого базиса к стандартному ($P$) и от нового к стандартному ($Q$), - а координаты связывает формула $[v]_{\text{new}} = Q^{-1} P\,[v]_{\text{old}}$. Произведение $Q^{-1} P$ называют матрицей перехода между двумя базисами напрямую. Принцип тот же: новые координаты получаются умножением подходящей матрицы перехода на старый столбец, просто матрица собирается из двух шагов. Для базисов большой размерности обращать матрицу целиком невыгодно: систему $P\,[v]_f = v$ решают напрямую, например через LU-разложение матрицы перехода, которое заменяет дорогое обращение прямой и обратной подстановкой.

Частые ошибки

• Путают, что записывать в столбцы матрицы перехода. В столбцы $P$ идут координаты новых базисных векторов в старом базисе, а не наоборот. Если записать их в строки, получится транспонированная матрица и неверный ответ.
• Умножают на $P$ вместо $P^{-1}$. Матрица $P$ переводит новые координаты в старые. Чтобы из старых получить новые, нужна именно обратная матрица $P^{-1}$.
• Забывают проверить $\det P$. Если определитель равен нулю, векторы коллинеарны и базиса не образуют - формула неприменима, а ответ не существует или не единствен.
• Теряют делитель $1/\det P$ в обратной матрице. Для матрицы $2 \times 2$ обратная - это присоединённая матрица, делённая на определитель. Пропуск деления даёт координаты, увеличенные в $\det P$ раз.
• Не делают проверку. Обратная подстановка $a\,f_1 + b\,f_2$ должна вернуть исходный вектор. Это самый быстрый способ поймать арифметическую ошибку.

FAQ

Как найти координаты вектора в новом базисе? Соберите матрицу перехода $P$ из столбцов новых базисных векторов, найдите обратную матрицу $P^{-1}$ и умножьте её на столбец старых координат: $[v]_f = P^{-1} v$. Получившийся столбец - это координаты $(a; b)$, то есть коэффициенты разложения $v = a\,f_1 + b\,f_2$.

Что такое матрица перехода и в каком направлении она работает? Матрица перехода $P = [\,f_1 \mid f_2\,]$ составлена из координат нового базиса в старом. Она переводит координаты из нового базиса в старый ($v = P\,[v]_f$), а обратная к ней - из старого в новый. Поэтому для пересчёта старых координат в новые нужна именно $P^{-1}$.

Зачем нужен определитель матрицы перехода? Определитель $\det P$ проверяет, образуют ли новые векторы базис. Если $\det P \ne 0$, они линейно независимы и разложение единственно; если $\det P = 0$, векторы лежат на одной прямой, и базиса не получается. Кроме того, $\det P$ входит в формулу обратной матрицы как делитель.

Коротко

Координаты вектора в новом базисе - это коэффициенты $a$ и $b$ его разложения $v = a\,f_1 + b\,f_2$. Чтобы их найти, собирают матрицу перехода $P$ из столбцов нового базиса и умножают обратную матрицу на старый столбец: $[v]_f = P^{-1} v$. Геометрически это построение параллелограмма со сторонами вдоль $f_1$ и $f_2$ и диагональю $v$. Перед расчётом проверяют $\det P \ne 0$, а после - делают обратную подстановку, чтобы убедиться, что исходный вектор восстановился.