Как проверить коллинеарность векторов: пошаговое решение

Дано: векторы $\mathbf{a}(2;\ -3;\ 4)$, $\mathbf{b}(-6;\ 9;\ -12)$ и $\mathbf{c}(4;\ -6;\ 7)$. Найти: коллинеарны ли пары $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{a}$, $\mathbf{c}$. Проверяем двумя способами: сравниваем отношения соответствующих координат и считаем векторное произведение, которое у коллинеарных векторов равно нулю.

Ответ: $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ коллинеарны, $\mathbf{b} = -3\mathbf{a}$, векторы направлены противоположно; $\mathbf{a}$ и $\mathbf{c}$ не коллинеарны, $\mathbf{a}\times\mathbf{c} = (3;\ 2;\ 0) \ne \mathbf{0}$. Калькулятор сверху проводит ту же проверку для любых координат и показывает отношения по каждой координате столбиками: у коллинеарной пары они одной высоты.

Решение по шагам

Шаг 1. Отношения координат для пары $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$. Делим каждую координату $\mathbf{b}$ на соответствующую координату $\mathbf{a}$:

$$\frac{b_x}{a_x} = \frac{-6}{2} = -3, \qquad \frac{b_y}{a_y} = \frac{9}{-3} = -3, \qquad \frac{b_z}{a_z} = \frac{-12}{4} = -3.$$

Все три отношения совпали. Значит, есть одно число $\lambda = -3$, на которое умножается каждая координата $\mathbf{a}$, чтобы получилась координата $\mathbf{b}$. Это и есть определение коллинеарности в координатах: $\mathbf{b} = \lambda\mathbf{a}$.

Шаг 2. Та же пара через векторное произведение. Раскрываем определитель по первой строке:

$$\begin{aligned} \mathbf{a}\times\mathbf{b} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 2 & -3 & 4\\ -6 & 9 & -12 \end{vmatrix}\\ &= \mathbf{i}\bigl((-3)(-12) - 4\cdot 9\bigr) - \mathbf{j}\bigl(2\cdot(-12) - 4\cdot(-6)\bigr) + \mathbf{k}\bigl(2\cdot 9 - (-3)(-6)\bigr)\\ &= \mathbf{i}\,(36 - 36) - \mathbf{j}\,(-24 + 24) + \mathbf{k}\,(18 - 18) = (0;\ 0;\ 0). \end{aligned}$$

Нулевой вектор подтверждает вывод шага 1. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма на двух векторах, а у коллинеарных векторов параллелограмм сплющен в отрезок. Подробнее этот смысл разобран в статье про векторное произведение и площадь параллелограмма.

Шаг 3. Направление. Коэффициент $\lambda = -3$ отрицательный, поэтому $\mathbf{b}$ втрое длиннее $\mathbf{a}$ и смотрит в обратную сторону. Проверка через скалярное произведение: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = -12 - 27 - 48 = -87$, а произведение длин $|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}| = \sqrt{29}\cdot 3\sqrt{29} = 87$. Косинус угла равен $-1$, угол $180^\circ$.

Шаг 4. Отношения координат для пары $\mathbf{a}$, $\mathbf{c}$.

$$\frac{c_x}{a_x} = \frac{4}{2} = 2, \qquad \frac{c_y}{a_y} = \frac{-6}{-3} = 2, \qquad \frac{c_z}{a_z} = \frac{7}{4} = 1{,}75.$$

Первые два отношения равны, третье нет. Одного несовпадения достаточно: общего множителя $\lambda$ не существует, векторы не коллинеарны. Здесь и ловится самая частая ошибка: проверили две координаты, увидели двойку и поставили «да».

Шаг 5. Та же пара через векторное произведение.

$$\mathbf{a}\times\mathbf{c} = \bigl((-3)\cdot 7 - 4\cdot(-6);\ \ 4\cdot 4 - 2\cdot 7;\ \ 2\cdot(-6) - (-3)\cdot 4\bigr) = (3;\ 2;\ 0).$$

Вектор ненулевой, его модуль $\sqrt{9 + 4 + 0} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$. Параллелограмм на $\mathbf{a}$ и $\mathbf{c}$ имеет настоящую площадь, значит векторы не лежат на одной прямой.

Ответ: векторы $\mathbf{a}(2;\ -3;\ 4)$ и $\mathbf{b}(-6;\ 9;\ -12)$ коллинеарны, $\mathbf{b} = -3\mathbf{a}$, направлены противоположно; векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{c}(4;\ -6;\ 7)$ не коллинеарны, потому что $c_z / a_z = 1{,}75 \ne 2$ и $\mathbf{a}\times\mathbf{c} = (3;\ 2;\ 0)$.

Формула и откуда она берётся

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Направление при этом может совпадать или быть противоположным. Для ненулевого $\mathbf{a}$ это равносильно существованию числа $\lambda$, для которого $\mathbf{b} = \lambda\mathbf{a}$. В координатах равенство распадается на три:

$$b_x = \lambda a_x, \qquad b_y = \lambda a_y, \qquad b_z = \lambda a_z \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{b_x}{a_x} = \frac{b_y}{a_y} = \frac{b_z}{a_z} = \lambda.$$

Вторая запись верна только тогда, когда у $\mathbf{a}$ нет нулевых координат, и в этом её слабость. Векторное произведение обходится без деления. Его модуль равен $|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\varphi$, а синус обнуляется ровно при $\varphi = 0^\circ$ или $180^\circ$. Поэтому для ненулевых векторов

$$\mathbf{a} \parallel \mathbf{b} \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf{a}\times\mathbf{b} = \mathbf{0}.$$

Полезно посмотреть на компоненты произведения: $a_y b_z - a_z b_y$, $a_z b_x - a_x b_z$, $a_x b_y - a_y b_x$. Это миноры второго порядка матрицы, составленной из строк $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$. Каждый минор равен нулю ровно тогда, когда отношения в соответствующей паре координат совпадают, только записано это перекрёстным умножением вместо деления. Все три минора нулевые означают, что ранг матрицы из двух строк не больше единицы, то есть строки пропорциональны.

Если среди координат есть нули

Отношения координат ломаются на нуле, и такие случаи надо разбирать отдельно. Возьмём $\mathbf{p}(0;\ 5;\ -2)$ и $\mathbf{q}(0;\ -10;\ 4)$. Отношение по $x$ имеет вид $0/0$, и это не ошибка и не запрет: условие $q_x = \lambda p_x$ превращается в $0 = \lambda\cdot 0$ и выполняется при любом $\lambda$. Остальные координаты дают $-10/5 = -2$ и $4/(-2) = -2$, так что $\mathbf{q} = -2\mathbf{p}$ и векторы коллинеарны.

Другая пара: $\mathbf{p}(0;\ 5;\ -2)$ и $\mathbf{r}(3;\ 5;\ -2)$. Здесь нужно $3 = \lambda\cdot 0$, а такого $\lambda$ нет. Правило простое: если у одного вектора координата нулевая, у коллинеарного ему вектора (ненулевого) она тоже обязана быть нулевой. Векторное произведение даёт тот же вывод без разбора случаев: $\mathbf{p}\times\mathbf{q} = (0;\ 0;\ 0)$, а $\mathbf{p}\times\mathbf{r} = (0;\ -6;\ -15)$.

Отдельный случай: нулевой вектор. По соглашению он коллинеарен любому вектору: направления у него нет, и векторное произведение с ним всегда нулевое. Если в задаче спрашивают «найдите $\lambda$», а первый вектор нулевой при ненулевом втором, ответа нет, хотя формально векторы коллинеарны.

Векторы на плоскости и задачи с параметром

На плоскости у вектора две координаты, и из трёх миноров остаётся один. Критерий превращается в определитель второго порядка: $a_x b_y - a_y b_x = 0$. Для $\mathbf{u}(3;\ -1)$ и $\mathbf{v}(-9;\ 3)$ получаем $3\cdot 3 - (-1)(-9) = 9 - 9 = 0$, векторы коллинеарны, и $\mathbf{v} = -3\mathbf{u}$. Переключатель «на плоскости» в калькуляторе считает именно этот определитель.

Часто одну координату не дают, а просят её найти. Пусть нужно подобрать $m$, при котором $\mathbf{a}(2;\ -3;\ 4)$ и $\mathbf{d}(m;\ 6;\ -8)$ коллинеарны. Известные координаты сразу дают множитель: $6/(-3) = -2$ и $-8/4 = -2$, они совпали, значит $\lambda = -2$. Неизвестная координата подчиняется тому же множителю: $m = -2\cdot 2 = -4$. Проверка: $\mathbf{a}\times\mathbf{d} = \bigl((-3)(-8) - 4\cdot 6;\ 4\cdot(-4) - 2\cdot(-8);\ 2\cdot 6 - (-3)(-4)\bigr) = (0;\ 0;\ 0)$.

Если бы известные отношения не совпали, ответ был бы «ни при каком $m$». Это тоже нормальный результат, и его стоит проверять до того, как искать параметр.

Коллинеарность редко бывает целью сама по себе. Параллельность двух прямых в пространстве означает коллинеарность их направляющих векторов, а параллельность плоскостей сводится к коллинеарности нормалей, как в разборе условий параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Почему не хватает угла на глаз

Векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{c}$ из условия почти совпадают по направлению. Угол между ними находится точнее всего через тангенс: $\operatorname{tg}\varphi = |\mathbf{a}\times\mathbf{c}| / (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) = \sqrt{13}/54$, откуда $\varphi \approx 3{,}82^\circ$. Косинус при этом равен $54/\sqrt{2929} \approx 0{,}9978$, и при округлении до двух знаков легко принять его за единицу.

Поэтому проверку через угол между векторами с приближёнными числами использовать не стоит. Целочисленные координаты дают целочисленные миноры, и ноль там либо есть, либо нет. Для самоконтроля годится тождество Лагранжа: $|\mathbf{a}\times\mathbf{c}|^2 + (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})^2 = |\mathbf{a}|^2|\mathbf{c}|^2$, то есть $13 + 2916 = 29\cdot 101 = 2929$. Если равенство сошлось, векторное произведение посчитано без ошибок.

Частые ошибки

• Проверили две координаты из трёх. Пара $\mathbf{a}$, $\mathbf{c}$ даёт $2$, $2$ и $1{,}75$: по первым двум векторы выглядят коллинеарными. Сравнивать нужно все координаты без исключения.
• Отношение $0/0$ сочли запретом. Если у обоих векторов одна и та же координата нулевая, она просто выпадает из проверки. Запрещает коллинеарность только пара «ноль и не ноль».
• Потеряли знак в миноре. В средней компоненте векторного произведения стоит минус перед определителем, а порядок множителей в $a_z b_x - a_x b_z$ легко перевернуть. Для проверки коллинеарности знак не важен, но при поиске площади или нормали он решает.
• Отношения взяли в разном порядке. По $x$ разделили $b$ на $a$, а по $y$ разделили $a$ на $b$. Получаются числа $-3$ и $-1/3$, и коллинеарная пара ошибочно признаётся неколлинеарной.
• Коллинеарность спутали с сонаправленностью. Векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b} = -3\mathbf{a}$ коллинеарны, хотя смотрят в разные стороны. Сонаправленность требует ещё $\lambda > 0$.
• Решали через приближённый косинус. Значение $0{,}9978$ округляется до единицы, и неколлинеарная пара выдаётся за коллинеарную.

FAQ

Можно ли проверять коллинеарность через скалярное произведение? Можно: векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда $|\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}| = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$. Для нашей пары $|-87| = 87$. Но длины содержат корни, поэтому на практике удобнее возводить равенство в квадрат или сразу считать векторное произведение.

Сколько векторов может быть коллинеарно одному? Сколько угодно: все векторы вида $\lambda\mathbf{a}$ коллинеарны $\mathbf{a}$ и друг другу. Коллинеарность транзитивна для ненулевых векторов, поэтому группу векторов достаточно сравнить с одним из них.

Чем коллинеарность векторов отличается от мультиколлинеарности? Это разные понятия. Мультиколлинеарность в эконометрике означает сильную корреляцию между объясняющими переменными регрессии и лечится своими способами, см. устранение мультиколлинеарности. С геометрией векторов её роднит только идея линейной зависимости.

Как связаны коллинеарность и проекция? Проекция вектора на ось по модулю равна его длине ровно тогда, когда вектор коллинеарен оси. В разборе проекции вектора на ось это служит проверкой ответа: во всех остальных случаях проекция строго короче вектора.

Коротко

1. Записать отношения $b_x/a_x$, $b_y/a_y$, $b_z/a_z$ в одном порядке и сравнить все три.
2. Координату, нулевую у обоих векторов, пропустить; пара «ноль и не ноль» сразу означает, что векторы не коллинеарны.
3. Для проверки без деления посчитать $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$: нулевой вектор означает коллинеарность, на плоскости достаточно $a_x b_y - a_y b_x = 0$.
4. Знак $\lambda$ показывает направление: плюс означает сонаправленные векторы, минус означает противоположно направленные.
5. В примере $\mathbf{b} = -3\mathbf{a}$ и $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \mathbf{0}$, а для $\mathbf{c}$ отношения $2$, $2$, $1{,}75$ и $\mathbf{a}\times\mathbf{c} = (3;\ 2;\ 0)$, так что $\mathbf{a}$ и $\mathbf{c}$ не коллинеарны.