Угол между векторами: формула через скалярное произведение

Угол между двумя ненулевыми векторами - одна из фундаментальных характеристик в линейной алгебре. Она нужна в физике (проекции сил), в геометрии (перпендикулярность прямых и плоскостей), в машинном обучении (косинусное сходство) и в сотнях задач курса линейной алгебры. Главный инструмент вычисления угла - скалярное произведение: оно связывает координаты векторов с углом между ними через единственную формулу. Ниже - калькулятор, в котором можно выставить направления и длины двух векторов и сразу увидеть угол, косинус и геометрическую картину. После него разберём все детали вывода.

Формула угла через скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ определяется двумя способами - геометрически и через координаты, и оба дают одно и то же число. Геометрическое определение:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,$

где $\theta \in [0°, 180°]$ - угол между векторами, $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ - их длины (модули). Отсюда немедленно следует формула угла:

$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}, \qquad \theta = \arccos\!\left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}\right).$

В координатах скалярное произведение в $\mathbb{R}^2$:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y,$

в $\mathbb{R}^3$:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.$

Длина (модуль) вектора $\mathbf{a} = (a_x, a_y)$:

$|\mathbf{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2},$

и аналогично для $\mathbf{b}$. Таким образом, полная формула для угла в $\mathbb{R}^2$:

$\theta = \arccos\!\frac{a_x b_x + a_y b_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\,\sqrt{b_x^2+b_y^2}}.$

Рассчитать для своей задачи

Геометрический смысл и знак косинуса

Формула $\cos\theta = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}/(|\mathbf{a}||\mathbf{b}|)$ позволяет сразу читать знак скалярного произведения как геометрическую информацию:

• $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0$ - острый угол ($\theta < 90°$), векторы «смотрят» в одну полуплоскость;
• $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ - прямой угол ($\theta = 90°$), векторы ортогональны;
• $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0$ - тупой угол ($\theta > 90°$), векторы «смотрят» в противоположные полуплоскости.

Это условие ортогональности $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ - рабочий способ проверить перпендикулярность двух прямых в задачах: достаточно перемножить координаты и сложить, не вычисляя углов вообще.

Угол $\theta$ по определению лежит в отрезке $[0°, 180°]$: он всегда неотрицателен и не превышает развёрнутого угла. Это и есть область значений $\arccos$. Если вам нужен ориентированный угол (со знаком, с учётом направления обхода), используют $\mathrm{atan2}$ - но это уже другая задача.

Пошаговое решение: пример в R2

Разберём задачу: найти угол между $\mathbf{a} = (3;\,4)$ и $\mathbf{b} = (1;\,-2)$.

Шаг 1. Скалярное произведение: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 3\cdot1 + 4\cdot(-2) = 3 - 8 = -5.$

Шаг 2. Длины векторов: $|\mathbf{a}| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5, \quad |\mathbf{b}| = \sqrt{1^2+(-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}.$

Шаг 3. Косинус угла: $\cos\theta = \frac{-5}{5\cdot\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}} \approx -0{,}4472.$

Шаг 4. Угол: $\theta = \arccos(-0{,}4472) \approx 116{,}6°.$

Знак скалярного произведения отрицателен - угол тупой, что согласуется с геометрией.

Рассчитать для своей задачи

Пример в R3

Дано $\mathbf{a} = (1;\,2;\,2)$ и $\mathbf{b} = (2;\,-1;\,2)$. Найти угол.

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 1\cdot2 + 2\cdot(-1) + 2\cdot2 = 2 - 2 + 4 = 4.$

$|\mathbf{a}| = \sqrt{1+4+4} = 3, \quad |\mathbf{b}| = \sqrt{4+1+4} = 3.$

$\cos\theta = \frac{4}{3\cdot3} = \frac{4}{9} \approx 0{,}444, \qquad \theta \approx 63{,}6°.$

В трёхмерном случае всё то же самое - просто добавляется третье слагаемое в сумму и третий квадрат под корнем. Формула не меняется.

Нормированные векторы и косинусное сходство

Если вектор нормировать - разделить на свою длину, - получим единичный вектор $\hat{\mathbf{a}} = \mathbf{a}/|\mathbf{a}|$. Тогда:

$\hat{\mathbf{a}} \cdot \hat{\mathbf{b}} = \cos\theta.$

Скалярное произведение нормированных векторов равно косинусу угла между ними напрямую - никаких делений на длины. Именно этим пользуется косинусная мера сходства в информационном поиске и NLP: «похожесть» двух текстов (представленных как частотные векторы) измеряется косинусом угла между ними. При $\theta \to 0°$ тексты идентичны по содержанию, при $\theta \to 90°$ - не имеют общих ключевых слов.

Рассчитать для своей задачи

Проекция вектора и связь с углом

Скалярное произведение напрямую связано с проекцией: длина проекции $\mathbf{b}$ на направление $\mathbf{a}$ равна:

$\mathrm{пр}_{\mathbf{a}}\mathbf{b} = |\mathbf{b}|\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|}.$

Именно так находят физическую работу $A = \mathbf{F}\cdot\mathbf{s} = |\mathbf{F}||\mathbf{s}|\cos\theta$: она равна произведению модуля силы на длину пути и косинус угла между ними. При $\theta = 90°$ работа равна нулю: сила перпендикулярна перемещению. Это прямое следствие той же формулы угла.

Угол между векторами и вектор нормали к плоскости

В задачах стереометрии часто требуется найти угол между прямой и плоскостью или угол между двумя плоскостями. Для этого используют нормальные векторы. Нормальный вектор плоскости $Ax + By + Cz = D$ равен $\mathbf{n} = (A;\,B;\,C)$.

• Угол между двумя плоскостями с нормалями $\mathbf{n}_1$ и $\mathbf{n}_2$ равен углу между нормалями (или его дополнению до $180°$ - берут острый): $\cos\phi = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1|\,|\mathbf{n}_2|}.$
• Угол между прямой с направляющим вектором $\mathbf{l}$ и плоскостью с нормалью $\mathbf{n}$: угол $\varphi$ между прямой и плоскостью дополняет до $90°$ угол между $\mathbf{l}$ и $\mathbf{n}$, поэтому $\sin\varphi = \frac{|\mathbf{l}\cdot\mathbf{n}|}{|\mathbf{l}|\,|\mathbf{n}|}.$

В обоих случаях берётся модуль числителя, чтобы результат попадал в $[0°, 90°]$, - угол между геометрическими объектами (в отличие от угла между направленными векторами) всегда неотрицателен и не превышает $90°$.

Условие параллельности и ортогональности

Из формулы немедленно выводятся два важных условия:

Ортогональность ($\theta = 90°$, $\cos\theta = 0$): $\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \iff a_x b_x + a_y b_y = 0.$

Коллинеарность ($\theta = 0°$ или $180°$, $|\cos\theta| = 1$): модуль косинуса равен 1, что равносильно равенству нулю «векторного произведения» (в 2D - его скалярного аналога $a_x b_y - a_y b_x = 0$). Для проверки параллельности часто удобнее проверять пропорциональность координат: $a_x/b_x = a_y/b_y$ (при ненулевых знаменателях).

Эти два условия - рабочий инструмент во множестве задач: от построения ортонормального базиса методом Грама-Шмидта до проверки ортогональности функций в задачах на ряды Фурье (там роль скалярного произведения играет интеграл от произведения функций).

Как применять формулу в матрицах: угол между строками

Когда данные организованы в матрицу (таблица объектов и признаков), каждая строка - это вектор признаков одного объекта. Угол между двумя строками - это мера «похожести» объектов в пространстве признаков. Алгоритм:

1. Выбрать две строки: $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ и $\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n)$.
2. Посчитать скалярное произведение: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i$.
3. Найти длины: $|\mathbf{a}| = \sqrt{\sum a_i^2}$, $|\mathbf{b}| = \sqrt{\sum b_i^2}$.
4. Применить формулу косинуса и взять $\arccos$.

Это работает в любом числе измерений: формула угла не меняется при переходе от $\mathbb{R}^2$ к $\mathbb{R}^{100}$. Именно поэтому метод так популярен в анализе данных - он масштабируется на произвольную размерность без каких-либо изменений.

Частые ошибки

• Подстановка координат в неправильном порядке. Скалярное произведение $a_x b_x + a_y b_y$ берётся компонент на компонент: первый с первым, второй со вторым. Смешивать нельзя.
• Деление на произведение, а не на произведение длин. Делить нужно на $|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|$ - произведение двух корней, а не на $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|$ (абсолютное значение числа).
• Применение arccos к числу вне [-1, 1]. Если из-за ошибок округления получилось $\cos\theta = 1{,}0001$ - arccos не определён. Всегда стоит зажать: $\cos\theta = \min(1,\,\max(-1,\,x))$.
• Путаница со знаком скалярного произведения. Отрицательный результат - это нормально; он просто означает тупой угол. Брать $|\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}|$ перед делением на $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$ - грубая ошибка.
• Забытый третий компонент в R3. Добавить $(a_x b_x + a_y b_y)$ вместо $(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z)$ и сократить $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$ некорректно.

FAQ

Как найти угол между векторами, если задан только угол каждого с осью X? Если вектор $\mathbf{a}$ направлен под углом $\alpha$ к оси $Ox$, а $\mathbf{b}$ - под углом $\beta$, то угол между ними $\theta = |\alpha - \beta|$ (при необходимости берём $\min(\theta, 360° - \theta)$, чтобы попасть в $[0°,180°]$). Это частный случай формулы косинуса разности.

Можно ли найти угол между вектором и плоскостью через скалярное произведение? Да, через нормаль к плоскости. Если $\mathbf{n}$ - нормальный вектор плоскости, а $\mathbf{a}$ - вектор, то угол $\varphi$ между $\mathbf{a}$ и плоскостью равен дополнению до прямого угла: $\varphi = 90° - \theta$, где $\theta$ - угол между $\mathbf{a}$ и $\mathbf{n}$. Иначе: $\sin\varphi = |\cos\theta| = |\mathbf{a}\cdot\mathbf{n}|/(|\mathbf{a}||\mathbf{n}|)$.

Почему arccos возвращает угол в [0, 180], а не в [-180, 180]? Потому что угол между двумя векторами - это геометрическое расстояние, оно не может быть отрицательным. Для ориентированного угла (например, угол поворота от $\mathbf{a}$ к $\mathbf{b}$ против часовой стрелки) используют $\mathrm{atan2}(a_x b_y - a_y b_x,\; \mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$ в двумерном случае.

Коротко

Угол $\theta$ между ненулевыми векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ находится по формуле $\theta = \arccos\!\bigl((\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})/(|\mathbf{a}||\mathbf{b}|)\bigr)$, где скалярное произведение $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y$ (в $\mathbb{R}^2$) или с добавленным $a_z b_z$ в $\mathbb{R}^3$. Знак скалярного произведения сразу говорит о характере угла: плюс - острый, ноль - прямой, минус - тупой. Нормированные векторы дают косинус напрямую, без деления на длины.