Теорема Рисса о представлении функционала: доказательство

В функциональном анализе один из самых изящных результатов отвечает на простой вопрос: как устроены все непрерывные линейные функционалы в гильбертовом пространстве. Оказывается, любой такой функционал - это просто скалярное произведение с фиксированным вектором, и этот вектор единственный. Теорема Рисса о представлении функционала превращает абстрактное двойственное пространство в копию самого пространства и лежит в основе слабой сходимости, метода Галёркина и квантовой механики. Разберём формулировку, доказательство и то, как применять теорему в задачах.

Если нужно быстро применить теорему к конкретному функционалу - соберите запрос в форме ниже и получите разбор с выкладками.

Формулировка теоремы

Пусть $H$ - гильбертово пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$, а $f: H \to \mathbb{C}$ - ограниченный (непрерывный) линейный функционал. Тогда существует единственный вектор $y \in H$ такой, что

$$f(x) = \langle x, y \rangle \quad \text{для всех } x \in H,$$

причём норма функционала совпадает с нормой вектора: $\|f\| = \|y\|$.

Иными словами, каждый элемент сопряжённого пространства $H^*$ однозначно отождествляется с элементом самого $H$. Это отображение $f \mapsto y$ задаёт изометрический изоморфизм (в комплексном случае - антилинейный), поэтому говорят, что гильбертово пространство самосопряжённо: $H \cong H^*$. Именно это свойство выделяет гильбертовы пространства среди всех банаховых.

Рассчитать для своей задачи

Что значит "ограниченный функционал"

Линейность означает $f(\alpha x + \beta z) = \alpha f(x) + \beta f(z)$. Ограниченность - наличие константы $C$, при которой $|f(x)| \le C\,\|x\|$ для всех $x$. Наименьшее такое $C$ и есть норма функционала $\|f\| = \sup_{\|x\|=1} |f(x)|$.

Для линейных отображений между нормированными пространствами ограниченность равносильна непрерывности, поэтому в формулировке слова «ограниченный» и «непрерывный» взаимозаменяемы. Условие существенно: на бесконечномерном пространстве бывают разрывные линейные функционалы (их строят через базис Гамеля), и для них представления Рисса не существует.

Скалярное произведение всегда задаёт ограниченный функционал: по неравенству Коши - Буняковского $|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|$, то есть $f(x) = \langle x, y\rangle$ автоматически ограничен с нормой $\|y\|$. Теорема утверждает обратное - других ограниченных функционалов в гильбертовом пространстве нет.

Доказательство

Доказательство опирается на теорему о разложении в ортогональную сумму $H = M \oplus M^{\perp}$, где $M$ - замкнутое подпространство.

Случай нулевого функционала. Если $f \equiv 0$, берём $y = 0$ - представление тривиально.

Общий случай. Пусть $f \neq 0$. Рассмотрим ядро $M = \ker f = \{x : f(x) = 0\}$. Поскольку $f$ непрерывен, $M$ - замкнутое подпространство, и оно не совпадает со всем $H$ (иначе $f$ был бы нулевым). По теореме об ортогональном дополнении найдётся ненулевой вектор $z \in M^{\perp}$.

Нормируем его: $f(z) \neq 0$ (иначе $z \in M \cap M^{\perp} = \{0\}$). Теперь для произвольного $x \in H$ построим комбинацию, лежащую в ядре:

$$u = f(x)\,z - f(z)\,x, \qquad f(u) = f(x)f(z) - f(z)f(x) = 0,$$

значит $u \in M$, и $u \perp z$. Раскрывая $\langle u, z\rangle = 0$:

$$\langle f(x)\,z - f(z)\,x,\ z\rangle = f(x)\,\|z\|^2 - f(z)\,\langle x, z\rangle = 0.$$

Отсюда $f(x) = \dfrac{f(z)}{\|z\|^2}\,\langle x, z\rangle = \langle x, y\rangle$, где искомый вектор

$$y = \frac{\overline{f(z)}}{\|z\|^2}\, z.$$

Так представление построено для любого $x$.

Рассчитать для своей задачи

Единственность и равенство норм

Единственность. Пусть $\langle x, y_1\rangle = \langle x, y_2\rangle$ для всех $x$. Тогда $\langle x, y_1 - y_2\rangle = 0$ при любом $x$; подставив $x = y_1 - y_2$, получаем $\|y_1 - y_2\|^2 = 0$, то есть $y_1 = y_2$. Представляющий вектор определён однозначно.

Равенство норм. С одной стороны, $|f(x)| = |\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|$, значит $\|f\| \le \|y\|$. С другой - подставив $x = y$, имеем $f(y) = \|y\|^2$, откуда $\|f\| \ge |f(y)| / \|y\| = \|y\|$. Сложив оба неравенства, получаем $\|f\| = \|y\|$. Это и делает отображение $f \mapsto y$ изометрией.

Где теорема работает

Теорема Рисса - это не просто красивая алгебра, а рабочий инструмент. Несколько ключевых применений:

• Слабая сходимость. Определение $x_n \rightharpoonup x$ через $f(x_n) \to f(x)$ для всех $f \in H^*$ благодаря Риссу превращается в $\langle x_n, y\rangle \to \langle x, y\rangle$ для всех $y \in H$ - гораздо удобнее работать.
• Теорема Лакса - Мильграма и метод конечных элементов: существование слабого решения краевой задачи доказывается через представление подходящего функционала.
• Сопряжённый оператор. Существование $A^*$ для ограниченного оператора $A$ выводится именно из теоремы Рисса: функционал $x \mapsto \langle Ax, y\rangle$ представляется вектором, который и называют $A^* y$.
• Квантовая механика. Соответствие «бра» и «кет» в нотации Дирака $\langle \psi |$ ↔ $|\psi\rangle$ - это ровно изоморфизм Рисса между $H$ и $H^*$.

Близкий аппарат гильбертова пространства - разложение вектора по ортонормированной системе, где ключевую роль играет неравенство Бесселя для ряда Фурье; вместе с теоремой Рисса оно лежит в основе спектрального анализа операторов.

Простой пример

Возьмём $H = \mathbb{R}^n$ со стандартным скалярным произведением. Любой линейный функционал - это $f(x) = a_1 x_1 + \dots + a_n x_n$. Представляющий вектор очевиден: $y = (a_1, \dots, a_n)$, и $f(x) = \langle x, y\rangle$. В конечномерном случае теорема Рисса - это просто запись строки координат функционала как вектора-столбца.

В бесконечномерном $L^2[0,1]$ функционал $f(x) = \int_0^1 x(t)\,g(t)\,dt$ представляется функцией $y = \overline{g}$. Содержательность теоремы в том, что любой непрерывный функционал на $L^2$ имеет такой вид - никаких «экзотических» функционалов, не сводящихся к интегралу с весом, не существует.

Полезно проследить, как из абстрактного доказательства получается именно эта функция $g$. Ядро функционала $\ker f$ - это все $x$ с нулевым интегралом против $g$; ортогональное дополнение к нему одномерно и порождается как раз $\overline{g}$. Подставив этот вектор в общую формулу $y = \overline{f(z)}\,z / \|z\|^2$, мы и приходим к $y = \overline{g}$. Конкретный вид представляющего вектора всегда диктуется геометрией ядра - это общий рецепт: найти направление, перпендикулярное гиперплоскости $f(x) = 0$, и нормировать его значением функционала.

Частые ошибки

• Забывают про ограниченность. Для разрывного линейного функционала теорема неверна - представляющего вектора нет. Условие непрерывности обязательно.
• Путают пространства. Теорема работает именно в гильбертовом (полном со скалярным произведением) пространстве. В общем банаховом пространстве $H^*$ не изоморфен $H$, и аналога нет.
• Теряют сопряжение в комплексном случае. Отображение $f \mapsto y$ антилинейно: $(\alpha f) \mapsto \overline{\alpha}\,y$. В вычислении $y$ появляется $\overline{f(z)}$ - пропуск черты сопряжения даёт ошибку.
• Считают равенство норм очевидным. $\|f\| = \|y\|$ требует доказательства в обе стороны - через Коши - Буняковского и через подстановку $x = y$.

FAQ

Почему теорема верна только в гильбертовом пространстве? Доказательство опирается на ортогональное разложение $H = \ker f \oplus (\ker f)^{\perp}$, которое существует благодаря полноте и наличию скалярного произведения. В неполном или просто банаховом пространстве этого разложения нет, и представление через скалярное произведение невозможно.

Чем теорема Рисса о функционале отличается от теоремы Рисса - Фишера? Это разные результаты одного автора. Теорема о представлении функционала описывает строение $H^*$. Теорема Рисса - Фишера утверждает полноту пространства $L^2$ и то, что ряд Фурье сходится к функции по норме. Их легко спутать по названию, но содержание различно.

Как теорема связана с двойственностью пространств? Она задаёт изометрический (анти)изоморфизм $H \cong H^*$, поэтому гильбертово пространство рефлексивно и совпадает со своим вторым сопряжённым. Это сильнее, чем у произвольных банаховых пространств, где $H^*$ может иметь совсем другую структуру.

Коротко

Теорема Рисса о представлении функционала говорит: каждый ограниченный линейный функционал в гильбертовом пространстве записывается как скалярное произведение с единственным вектором $y$, причём $\|f\| = \|y\|$. Доказательство строит $y$ через ортогональное дополнение к ядру функционала. Результат отождествляет $H$ с $H^*$ и служит фундаментом слабой сходимости, теории сопряжённых операторов и нотации Дирака в квантовой механике.