Теорема Алаоглу-Банаха: слабая-* компактность шара

Теорема Алаоглу-Банаха (часто Банаха-Алаоглу или просто теорема Алаоглу) возвращает в бесконечномерный анализ то, чего там катастрофически не хватает, - компактность. В конечномерном пространстве замкнутый ограниченный шар компактен, и из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. В бесконечномерном нормированном пространстве это уже неверно: единичный шар по норме НЕ компактен. Теорема говорит, что если ослабить топологию до слабой-*, то единичный шар сопряжённого пространства снова становится компактным. Ниже разберём формулировку, идею доказательства через теорему Тихонова и зачем это нужно. Если нужно решить конкретную задачу по этой теме, соберите её в калькуляторе ниже.

Формулировка теоремы

Пусть $X$ - нормированное пространство над $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$, а $X^*$ - его сопряжённое (пространство всех непрерывных линейных функционалов на $X$ с нормой $\|f\| = \sup_{\|x\| \le 1} |f(x)|$). Обозначим замкнутый единичный шар сопряжённого

$$B_{X^*} = \{ f \in X^* : \|f\| \le 1 \}.$$

Теорема Алаоглу-Банаха. Шар $B_{X^*}$ компактен в слабой-* топологии пространства $X^*$.

Здесь ключевое слово - именно слабая-* топология ($\text{weak}^*$, или $\sigma(X^*, X)$). Это самая грубая топология на $X^*$, в которой непрерывны все отображения вычисления $f \mapsto f(x)$ при фиксированном $x \in X$. Грубее, чем топология по норме, поэтому компактных множеств в ней больше: «открытых множеств меньше - труднее раскидать покрытие, легче выделить конечное подпокрытие».

Рассчитать для своей задачи

Слабая-* топология: что значит сходимость

Чтобы понять теорему, нужно отделить три способа сходимости функционалов $f_n \to f$ в $X^*$.

• По норме (сильная): $\|f_n - f\| \to 0$ - равномерно по всем $x$ из единичного шара $X$.
• Слабая: $\Phi(f_n) \to \Phi(f)$ для каждого $\Phi \in X^{**}$ (элементы второго сопряжённого).
• Слабая-*: $f_n(x) \to f(x)$ для каждого фиксированного $x \in X$ - поточечная сходимость функционалов.

Слабая-* сходимость - самая слабая из трёх, и именно её хватает для компактности шара. Интуиция такая: функционал $f \in B_{X^*}$ задаётся набором своих значений $(f(x))_{x \in X}$, каждое из которых лежит в отрезке $[-\|x\|, \|x\|]$ (для вещественного случая). То есть весь шар «помещается» в произведение отрезков по всем $x$ - а это произведение, по теореме Тихонова, компактно.

Идея доказательства через теорему Тихонова

Доказательство - образцовый пример того, как теорема Тихонова о компактности произведения работает в анализе. Схема в три шага.

Шаг 1. Вложение в куб. Каждому $f \in B_{X^*}$ сопоставим точку

$$\Psi(f) = (f(x))_{x \in X} \in \prod_{x \in X} D_x, \qquad D_x = \{ \lambda : |\lambda| \le \|x\| \}.$$

Каждый сомножитель $D_x$ - компактный отрезок (или круг в комплексном случае). Произведение $K = \prod_{x} D_x$ с топологией Тихонова компактно.

Шаг 2. Образ замкнут. Множество $\Psi(B_{X^*})$ состоит из тех наборов $(\lambda_x)$, которые задают линейный функционал, то есть удовлетворяют условиям линейности

$$\lambda_{\alpha x + \beta y} = \alpha \lambda_x + \beta \lambda_y.$$

Каждое такое равенство - замкнутое условие в топологии произведения (она же поточечная), поэтому $\Psi(B_{X^*})$ - замкнутое подмножество компакта $K$, а значит само компактно.

Шаг 3. Гомеоморфизм. Отображение $\Psi$ - гомеоморфизм $B_{X^*}$ (со слабой-* топологией) на $\Psi(B_{X^*})$ (с топологией произведения), потому что обе топологии задаются ровно одними и теми же координатами $f \mapsto f(x)$. Значит, $B_{X^*}$ компактен.

Рассчитать для своей задачи

Секвенциальная версия и метризуемость

В приложениях чаще удобна не «топологическая» компактность, а секвенциальная - возможность выделить сходящуюся подпоследовательность. Здесь есть тонкость: компактность по покрытиям не всегда даёт секвенциальную компактность. Спасает сепарабельность.

Следствие. Если $X$ сепарабельно, то на $B_{X^*}$ слабая-* топология метризуема, и тогда $B_{X^*}$ слабо-* секвенциально компактен: из любой ограниченной последовательности $(f_n) \subset X^*$ можно выделить слабо-* сходящуюся подпоследовательность $f_{n_k} \overset{*}{\to} f$.

Метрику можно задать явно через счётное плотное множество $\{x_m\} \subset X$:

$$d(f, g) = \sum_{m=1}^{\infty} 2^{-m} \frac{|f(x_m) - g(x_m)|}{1 + |f(x_m) - g(x_m)|}.$$

Именно эта секвенциальная версия - рабочая лошадка вариационного исчисления: ограниченная по норме минимизирующая последовательность имеет слабо-* предельную точку, которая часто и оказывается искомым минимумом.

Подчеркнём, почему без сепарабельности приходится возвращаться к языку покрытий. Компактность по покрытиям и секвенциальная компактность совпадают только в метризуемых пространствах. Слабая-* топология на всём $X^*$ метризуемой обычно не бывает, но на ограниченном множестве (на нашем шаре) при сепарабельном $X$ она метризуема - и тогда оба понятия компактности слипаются. Если же $X$ несепарабельно, шар по-прежнему компактен по покрытиям, но выделить именно подпоследовательность не всегда удаётся; работают сети (направленности) и ультрафильтры вместо последовательностей.

Где это применяют

Теорема Алаоглу-Банаха - это «поставщик компактности» там, где её нет по норме. Несколько типичных применений.

• Существование минимума. В прямом методе вариационного исчисления берут минимизирующую последовательность, по теореме выделяют слабо-* сходящуюся подпоследовательность, а затем используют полунепрерывность функционала снизу - и предел оказывается точкой минимума.
• Меры как функционалы. Пространство мер $\mathcal{M}(K)$ - это сопряжённое к $C(K)$ (теорема Рисса). Шар вероятностных мер слабо-* компактен - отсюда существование инвариантных мер в эргодической теории и предельных мер в теории вероятностей (слабая сходимость распределений).
• Теория управления и PDE. Слабые решения уравнений в частных производных строят как слабо-* пределы приближённых решений; ограниченность по норме плюс теорема дают нужный компакт.
• Двойственность в оптимизации. Вместе с теоремой Хана-Банаха об отделимости теорема Алаоглу обеспечивает достижимость в двойственных задачах.

Связь с рефлексивностью

Особый случай - когда $X$ рефлексивно, то есть каноническое вложение $X \hookrightarrow X^{**}$ есть изоморфизм. Тогда слабая и слабая-* топологии на $X^* = X^{**\,*}$ совпадают, а сам шар $B_X$ исходного пространства оказывается слабо компактным.

Теорема (как следствие Алаоглу). Нормированное пространство $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар $B_X$ слабо компактен.

Это объясняет, почему в гильбертовых пространствах и в $L^p$ при $1 < p < \infty$ (рефлексивных) так удобно работать: ограниченная последовательность имеет слабо сходящуюся подпоследовательность прямо в самом пространстве, без перехода к сопряжённому. А в нерефлексивных $L^1$, $C[a,b]$, $c_0$ компактность живёт только в сопряжённом и только в слабой-* топологии.

Полезно держать в голове цепочку вложений и двойственностей на конкретных примерах. Для последовательностных пространств: $c_0^* = \ell^1$, $(\ell^1)^* = \ell^\infty$, а $\ell^p$ при $1 < p < \infty$ рефлексивно с $(\ell^p)^* = \ell^q$, где $1/p + 1/q = 1$. Шар в $\ell^\infty$ слабо-* компактен как сопряжённый к $\ell^1$, но сам $\ell^1$ нерефлексивен, и в нём ограниченная последовательность может не иметь слабо сходящейся подпоследовательности. Поэтому при работе с $L^1$ и мерами переходят к сопряжённой картине: рассматривают функции или меры как функционалы и применяют слабую-* компактность шара - именно так, например, строят слабый предел плотностей в задачах усреднения и гомогенизации.

Частые ошибки

• Брать шар в $X$, а не в $X^*$. Теорема про шар именно сопряжённого пространства. Шар самого $X$ слабо компактен лишь при рефлексивности.
• Путать топологии. Шар компактен в слабой-*, а не по норме и не в слабой топологии (если $X$ нерефлексивно). По норме шар в бесконечномерном пространстве никогда не компактен (теорема Рисса о почти перпендикуляре).
• Ожидать секвенциальную компактность без сепарабельности. Сама теорема даёт компактность по покрытиям; чтобы выделять подпоследовательности, нужна сепарабельность $X$ (тогда слабая-* метризуема на шаре).
• Считать предел линейным «автоматически». Линейность и оценка $\|f\| \le 1$ предельного функционала требуют проверки - они следуют из замкнутости условий в топологии произведения (шаг 2 доказательства).

FAQ

Чем отличается теорема Алаоглу от теоремы Банаха-Алаоглу? Это одно и то же утверждение, разница только в порядке имён. Леонидас Алаоглу доказал общий случай (1940), Стефан Банах - более ранний частный для сепарабельных пространств. В литературе встречаются оба названия; «Алаоглу-Банаха» и «Банаха-Алаоглу» взаимозаменяемы.

Почему нужна именно слабая-*, а не обычная топология? В топологии по норме единичный шар бесконечномерного пространства не компактен - это теорема Рисса. Слабая-* топология грубее: в ней меньше открытых множеств, поэтому из покрытия легче выделить конечное подпокрытие, и компактность восстанавливается.

Можно ли обойтись без теоремы Тихонова и аксиомы выбора? В общем виде теорема Алаоглу эквивалентна слабой форме аксиомы выбора (теореме об ультрафильтре) и опирается на теорему Тихонова для произведения компактов. Для сепарабельного $X$ доказательство проходит без полной аксиомы выбора - через диагональный процесс и метризуемость.

Коротко

Теорема Алаоглу-Банаха утверждает, что замкнутый единичный шар сопряжённого пространства $X^*$ компактен в слабой-* топологии. Доказательство вкладывает шар в произведение отрезков $\prod_x [-\|x\|, \|x\|]$, компактное по теореме Тихонова, и показывает, что образ замкнут. Для сепарабельного $X$ слабая-* топология на шаре метризуема, и появляется секвенциальная компактность - основной инструмент вариационного исчисления, теории мер и слабых решений уравнений. Компактность шара самого $X$ равносильна рефлексивности пространства.