Скалярное произведение через длины и угол векторов

Скалярное произведение - одна из ключевых операций линейной алгебры, которая связывает геометрию (длины и угол) с алгеброй (число). Формула $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta$ позволяет сразу вычислить результат, зная только длины векторов и угол между ними, - без координат. Покрути ползунки в калькуляторе ниже, чтобы почувствовать, как меняется произведение при разных углах и длинах, а дальше разберём формулу строго.

Формула через длины и угол

Основная тригонометрическая формула скалярного произведения:

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,$$

где $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ - длины (модули) векторов, $\theta$ - угол между ними, $0 \le \theta \le 180°$.

Рассчитать для своей задачи

Смысл формулы нагляден: $|\mathbf{b}|\cos\theta$ - это проекция вектора $\mathbf{b}$ на направление $\mathbf{a}$ (или симметрично: $|\mathbf{a}|\cos\theta$ - проекция $\mathbf{a}$ на $\mathbf{b}$). Скалярное произведение - это произведение длины одного вектора на проекцию другого.

Три важных частных случая:

Связь с координатным определением

В декартовой системе координат скалярное произведение вычисляется как сумма попарных произведений компонент:

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.$$

Оба определения дают одно и то же число. Это позволяет находить угол между векторами по известным координатам:

$$\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\;\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}.$$

Формула через длины и угол удобна, когда геометрия задачи известна, а координаты - нет. Координатная формула незаменима, когда координаты заданы явно.

Вывод формулы через теорему косинусов

Стандартный вывод связывает скалярное произведение с теоремой косинусов. Рассмотрим треугольник, образованный векторами $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и разностью $\mathbf{a} - \mathbf{b}$.

По теореме косинусов для третьей стороны треугольника:

$$|\mathbf{a} - \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta.$$

С другой стороны, раскрываем квадрат через координатную формулу:

$$|\mathbf{a} - \mathbf{b}|^2 = (\mathbf{a} - \mathbf{b})\cdot(\mathbf{a} - \mathbf{b}) = |\mathbf{a}|^2 - 2\,\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + |\mathbf{b}|^2.$$

Сравнивая два выражения, получаем:

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta.$$

Вывод корректен в любом числе измерений, не только в двух.

Рассчитать для своей задачи

Геометрический смысл: проекция

Скалярное произведение $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ равно произведению длины вектора $\mathbf{a}$ на скалярную проекцию $\mathbf{b}$ на направление $\mathbf{a}$:

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot \operatorname{пр}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}, \qquad \operatorname{пр}_{\mathbf{a}}\mathbf{b} = |\mathbf{b}|\cos\theta.$$

Проекция может быть:

• положительной ($0° < \theta < 90°$) - компонента $\mathbf{b}$ «смотрит» в сторону $\mathbf{a}$;
• нулевой ($\theta = 90°$) - векторы перпендикулярны;
• отрицательной ($90° < \theta \le 180°$) - компонента $\mathbf{b}$ «смотрит» против $\mathbf{a}$.

Именно отрицательность проекции объясняет, почему работа силы, направленной против перемещения, отрицательна.

Применение: работа, поток, мощность

Формула скалярного произведения через длины и угол встречается в физике повсеместно. Это один из примеров, когда одно математическое понятие унифицирует несколько физических явлений.

Работа постоянной силы: $A = \mathbf{F}\cdot\mathbf{s} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{s}|\cos\alpha$, где $\alpha$ - угол между силой и перемещением. При $\alpha = 0°$ работа максимальна - сила полностью «расходуется» на движение. При $\alpha = 90°$ работа нулевая: нормальная реакция опоры, центростремительная сила, сила Лоренца - все они не совершают работы, потому что перпендикулярны скорости. При $\alpha > 90°$ работа отрицательна - сила тормозит тело.

Поток вектора через площадку: $\Phi = \mathbf{B}\cdot\mathbf{S} = BS\cos\phi$, где $\phi$ - угол между вектором поля $\mathbf{B}$ и нормалью к площадке $\mathbf{S}$. Максимальный поток при $\phi = 0°$ (поле перпендикулярно площадке), нулевой при $\phi = 90°$ (поле параллельно площадке, «не пронизывает» её).

Мощность: $P = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = Fv\cos\psi$, где $\psi$ - угол между силой и скоростью. Именно поэтому двигатель развивает максимальную мощность, когда сила тяги направлена вдоль движения.

Во всех трёх случаях формула одна и та же - именно поэтому понятие скалярного произведения столь центральное в физике. Зная его, можно переходить между геометрической интерпретацией и конкретным физическим смыслом без дополнительных преобразований.

Угол между векторами из скалярного произведения

Если скалярное произведение и длины известны, угол находится через обратный косинус:

$$\theta = \arccos\!\left(\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}\right).$$

При вычислении важно следить, чтобы аргумент $\arccos$ лежал в отрезке $[-1, 1]$ - из-за ошибок округления он может выйти чуть за пределы, что даст неопределённость. В численных расчётах аргумент обычно ограничивают: $\cos\theta = \min(1, \max(-1, \ldots))$.

Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение обладает несколькими алгебраическими свойствами, которые часто используются в доказательствах и выкладках:

1. Коммутативность: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \mathbf{b}\cdot\mathbf{a}$ - косинус симметричен относительно перестановки векторов.
2. Линейность по скаляру: $(\lambda\mathbf{a})\cdot\mathbf{b} = \lambda(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$ - множитель выносится наружу.
3. Дистрибутивность: $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c}) = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ - произведение распределяется по сумме.
4. Положительная определённость: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 \ge 0$, причём равенство нулю только при $\mathbf{a} = \mathbf{0}$.

Из свойства 4 следует удобная формула длины через скалярное произведение: $|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}$. Это означает, что в евклидовом пространстве длина - частный случай скалярного произведения, и всю метрическую геометрию можно строить на основе одной операции.

Из дистрибутивности выводят формулу квадрата суммы: $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + 2\,\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + |\mathbf{b}|^2$, - аналог алгебраического тождества $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, обобщённого на векторы.

Частые ошибки

• Путают угол между векторами с ориентацией. Угол $\theta$ всегда берётся от $0°$ до $180°$ - он не зависит от того, в какую сторону «откладывать» поворот. Формула $\arccos$ возвращает именно такой угол.
• Не переводят в радианы при ручном вычислении. Если $\cos\theta$ считается на калькуляторе в режиме градусов и результат подставляется в формулу - это нормально. Но если используется аргумент в радианах, нужно сначала преобразовать: $60° = \pi/3$.
• Делят скалярное произведение на одну длину вместо произведения. Для нахождения угла нужно делить на $|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$, а не на $|\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$.
• Путают скалярное произведение с векторным. Результат $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ - число, а $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ - вектор (перпендикулярный обоим). Формулы и применения принципиально разные.
• Игнорируют знак. При тупом угле ($\theta > 90°$) скалярное произведение отрицательно - это не ошибка, это физически значимый факт (отрицательная работа, поток в обратном направлении).

FAQ

Что значит «скалярное» в названии? Результат операции - число (скаляр), а не вектор. В отличие от векторного произведения, скалярное произведение не даёт нового направления, только величину.

Можно ли применять формулу $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$ в трёхмерном пространстве? Да, формула работает в любом числе измерений. Угол $\theta$ определяется через обратный косинус координатного произведения, и всё остаётся верным.

Как найти угол, если векторы заданы координатами? Посчитать $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$, затем $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$, и взять $\arccos(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} / (|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|))$. Ответ в радианах умножить на $180/\pi$ для перевода в градусы.

Коротко

Скалярное произведение $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta$ связывает геометрию и алгебру: оно равно произведению длин на косинус угла между векторами, или эквивалентно - произведению длины одного вектора на проекцию другого. При остром угле результат положителен, при прямом - ноль (критерий перпендикулярности), при тупом - отрицателен. Формула лежит в основе вычисления работы силы, потока поля, угла между прямыми и многих других задач курса линейной алгебры и физики.