Как найти проекцию вектора на ось: решение по шагам

Дано: вектор $\mathbf{a}(4;\ 4;\ 7)$ и ось $\ell$, направление которой задано вектором $\mathbf{b}(2;\ -1;\ 2)$. Найти: проекцию вектора на ось, угол между вектором и осью и разложение $\mathbf{a}$ на составляющую вдоль оси и составляющую поперёк неё.

Всё решается одной формулой: проекция равна скалярному произведению, делённому на длину направляющего вектора оси. Чертёж строить не нужно, координаты точек искать тоже. Ответ: $\text{пр}_{\ell}\,\mathbf{a} = 6$, угол $\varphi \approx 48{,}19^\circ$, разложение $\mathbf{a} = (4;\ -2;\ 4) + (0;\ 6;\ 3)$. Калькулятор сверху считает то же самое для любых координат: график он строит в плоскости самих векторов, поэтому длины отрезков и прямой угол на нём настоящие, а не условные.

Решение по шагам

Шаг 1. Длина направляющего вектора оси. Ось задана вектором $\mathbf{b}(2;\ -1;\ 2)$, и в формулу проекции входит именно его длина:

$|\mathbf{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3.$

Сама формула длины разобрана в статье про длину вектора в пространстве, здесь она нужна только как промежуточное число.

Шаг 2. Скалярное произведение. Перемножаем одноимённые координаты и складываем результаты:

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 4\cdot 2 + 4\cdot(-1) + 7\cdot 2 = 8 - 4 + 14 = 18.$

Знак уже всё сказал: произведение положительное, значит угол между вектором и осью острый и проекция получится со знаком плюс. Про свойства самого произведения есть отдельный разбор: скалярное произведение через длины и угол.

Шаг 3. Проекция на ось. Делим произведение на длину оси:

$\text{пр}_{\ell}\,\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} = \frac{18}{3} = 6.$

Это число, а не вектор: длина тени вектора на оси, взятая со знаком направления.

Шаг 4. Угол между вектором и осью. Сначала длина самого вектора: $|\mathbf{a}| = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$. Дальше косинус:

$\cos\varphi = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|} = \frac{18}{9\cdot 3} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667, \qquad \varphi \approx 48{,}19^\circ.$

Промежуточная проверка бесплатная: $|\mathbf{a}|\cos\varphi = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$, ровно то же число, что и в шаге 3.

Шаг 5. Разложение на составляющие. Вектор-составляющая вдоль оси получается умножением направляющего вектора на коэффициент $(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})/|\mathbf{b}|^2$:

$\mathbf{a}_{\parallel} = \frac{18}{9}\,(2;\ -1;\ 2) = 2\,(2;\ -1;\ 2) = (4;\ -2;\ 4).$

Остаток и есть поперечная составляющая: $\mathbf{a}_{\perp} = \mathbf{a} - \mathbf{a}_{\parallel} = (0;\ 6;\ 3)$, её длина равна $\sqrt{0 + 36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt5 \approx 6{,}71$.

Ответ: проекция вектора $\mathbf{a}(4;\ 4;\ 7)$ на ось с направляющим вектором $\mathbf{b}(2;\ -1;\ 2)$ равна $6$; угол с осью $\varphi \approx 48{,}19^\circ$; разложение $\mathbf{a} = (4;\ -2;\ 4) + (0;\ 6;\ 3)$, где первое слагаемое лежит на оси, а второе ей перпендикулярно.

Формула и откуда она берётся

Проекция вектора на ось определяется геометрически. Опускаем перпендикуляры из начала и конца вектора на ось, получаем на ней отрезок и берём его длину со знаком: плюс, если отрезок направлен туда же, куда ось, минус, если против. Из прямоугольного треугольника сразу следует основная запись:

$\text{пр}_{\ell}\,\mathbf{a} = |\mathbf{a}|\cos\varphi,$

где $\varphi$ - угол между вектором и осью. Координатная формула получается из этой подстановкой определения скалярного произведения $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\varphi$: делим обе части на $|\mathbf{b}|$ и слева остаётся $|\mathbf{a}|\cos\varphi$, то есть искомая проекция.

$\text{пр}_{\ell}\,\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}^{0}, \qquad \mathbf{b}^{0} = \frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}.$

Последняя запись самая короткая и самая полезная: проекция - это скалярное произведение вектора на орт оси. Отсюда понятно, почему длина направляющего вектора роли не играет: у оси есть направление, но нет масштаба, и вектор $(2;\ -1;\ 2)$ задаёт ту же ось, что и $(4;\ -2;\ 4)$ или $(20;\ -10;\ 20)$. Проверить легко: для удвоенного направляющего вектора и произведение удвоится, и длина, а частное останется равным $6$.

Отсюда же следует ограничение $|\text{пр}_{\ell}\,\mathbf{a}| \le |\mathbf{a}|$, потому что $|\cos\varphi| \le 1$. Равенство достигается только тогда, когда вектор лежит на оси. У нас $6 < 9$, и это первый признак того, что арифметика не разъехалась.

Знак проекции: что меняется при развороте оси

Знак проекции целиком определяется углом. При остром угле косинус положителен и проекция положительна, при тупом - отрицательна, при $\varphi = 90^\circ$ проекция равна нулю: вектор не даёт на ось никакого вклада. Никакой модуль сюда ставить нельзя, знак - часть ответа.

Развернём ось, взяв направляющий вектор $-\mathbf{b} = (-2;\ 1;\ -2)$. Скалярное произведение меняет знак: $\mathbf{a}\cdot(-\mathbf{b}) = -18$, длина остаётся прежней, и проекция становится равной $-6$. Угол при этом дополняется до развёрнутого: $\varphi' = 180^\circ - 48{,}19^\circ = 131{,}81^\circ$, а его косинус равен $-2/3$. В калькуляторе сверху за это отвечает переключатель направления оси: числа сохраняют модуль, а отрезок проекции на графике переезжает влево от начала координат.

Практический вывод простой. Ось - это прямая с выбранным направлением, и пока направление не назначено, у проекции нет знака. Если в условии ось задана двумя точками, порядок точек и есть назначение направления.

Разложение вектора на составляющие

Скалярная проекция $\text{пр}_{\ell}\,\mathbf{a} = 6$ и вектор-составляющая $\mathbf{a}_{\parallel} = (4;\ -2;\ 4)$ - разные объекты, и путать их нельзя. Первое отвечает на вопрос «сколько», второе - «сколько и куда». Связаны они через орт оси: $\mathbf{a}_{\parallel} = (\text{пр}_{\ell}\,\mathbf{a})\,\mathbf{b}^{0} = 6 \cdot \frac{1}{3}(2;\ -1;\ 2) = (4;\ -2;\ 4)$.

Разложение $\mathbf{a} = \mathbf{a}_{\parallel} + \mathbf{a}_{\perp}$ единственно, и его стоит проверять. Первая проверка - ортогональность: скалярное произведение поперечной составляющей с направляющим вектором обязано быть нулём, и это выполняется: $0\cdot 2 + 6\cdot(-1) + 3\cdot 2 = 0$. Вторая - теорема Пифагора для длин:

$|\mathbf{a}|^2 = (\text{пр}_{\ell}\,\mathbf{a})^2 + |\mathbf{a}_{\perp}|^2 = 36 + 45 = 81 = 9^2.$

Обе проверки сошлись, значит разбор верен. Заметьте, что $\mathbf{a}_{\parallel}$ не зависит от того, куда направлена ось: при развороте знак меняется и у проекции, и у направляющего вектора, а их произведение остаётся прежним. Именно это разложение стоит за физическими задачами, где силу раскладывают на составляющую вдоль наклонной плоскости и составляющую по нормали к ней.

Если ось задана иначе: точками, углом, координатными осями

Условие редко даёт направляющий вектор в готовом виде, но приводится к нему в одно действие.

Ось через две точки. Пусть ось проходит через $A(1;\ 2;\ 0)$ и $B(3;\ 1;\ 2)$. Направляющий вектор - это разность координат: $\overrightarrow{AB} = (2;\ -1;\ 2)$, то есть та же самая задача с тем же ответом $6$. Если взять точки в обратном порядке, получится $\overrightarrow{BA} = (-2;\ 1;\ -2)$ и проекция станет равной $-6$.

Известны длина и угол. Координаты тогда не нужны вовсе. Если про вектор известно только, что $|\mathbf{a}| = 9$, а угол с осью равен $60^\circ$, то $\text{пр}_{\ell}\,\mathbf{a} = 9\cos 60^\circ = 4{,}5$. Как связаны угол и скалярное произведение, подробно расписано в разборе угла между векторами.

Координатные оси. Для $Ox$, $Oy$ и $Oz$ ортами служат $(1;\ 0;\ 0)$, $(0;\ 1;\ 0)$ и $(0;\ 0;\ 1)$, поэтому проекции равны просто координатам вектора: $4$, $4$ и $7$. Это и есть смысл координатной записи. Поделив их на $|\mathbf{a}| = 9$, получим направляющие косинусы $4/9$, $4/9$ и $7/9$, для которых сумма квадратов даёт единицу; разобраны они в статье про направляющие косинусы вектора.

Не путать с проекцией точки. Там результат - точка с координатами, а не число, и метод другой: перпендикуляр опускается на конкретный объект, а не на направление. Пример такой задачи - проекция точки на плоскость.

Проецировать можно не только на ось, но и на направление прямой - тогда вместо орта берут её направляющий вектор.

Частые ошибки

• Деление на длину не того вектора. В знаменателе стоит $|\mathbf{b}|$, длина оси, а не $|\mathbf{a}|$. Признак ошибки: ответ получается заведомо меньше единицы по модулю там, где ждали число порядка длины вектора.
• Деление на $|\mathbf{b}|^2$ вместо $|\mathbf{b}|$. Квадрат стоит в формуле вектор-составляющей, а в скалярной проекции - первая степень. У нас это дало бы $18/9 = 2$ вместо $6$.
• Потерянный знак. Модуль ставят «на всякий случай» и теряют информацию о направлении. Отрицательная проекция - нормальный ответ, а не признак ошибки в вычислениях.
• Число выдают за вектор. В ответ на «найти проекцию на ось» пишут тройку координат. Если в задаче нужен вектор, об этом сказано отдельно: «найти вектор-проекцию» или «разложить на составляющие».
• Направляющий вектор перепутан с точкой на оси. Координаты точки $A(1;\ 2;\ 0)$ сами по себе направления не задают, направление даёт только разность двух точек.
• Проекция на ось смешана с проекцией на плоскость. На ось проецирование даёт одно число, на плоскость - двумерный объект, и формулы у них разные.

FAQ

Чем скалярная проекция отличается от векторной? Скалярная проекция - это число со знаком, $(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})/|\mathbf{b}|$; она отвечает, насколько далеко вектор продвигает вдоль оси. Векторная проекция, она же вектор-составляющая, - это вектор, лежащий на оси: $(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})/|\mathbf{b}|^2 \cdot \mathbf{b}$. В нашей задаче это $6$ и $(4;\ -2;\ 4)$ соответственно, и модуль второго равен первому.

Может ли проекция быть больше длины вектора? Нет. Из формулы $|\mathbf{a}|\cos\varphi$ видно, что по модулю проекция не превосходит $|\mathbf{a}|$, потому что косинус по модулю не больше единицы. Равенство возможно только для вектора, коллинеарного оси. Если в решении вышло число больше длины вектора, ошибка в арифметике или в знаменателе.

Что делать, если ось задана уравнением прямой? Взять из уравнения направляющий вектор и работать с ним. В каноническом виде $\frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}$ направляющий вектор равен $(m;\ n;\ p)$, в параметрическом - это коэффициенты при параметре. Точка $(x_0;\ y_0;\ z_0)$ на проекцию вектора не влияет.

Нужно ли нормировать направляющий вектор заранее? Не обязательно. Деление на $|\mathbf{b}|$ уже встроено в формулу, поэтому масштаб направляющего вектора сокращается. Нормировать удобно, когда одну и ту же ось используют многократно: тогда орт считают один раз, а дальше каждая проекция - это одно скалярное произведение.

Коротко

1. Найти длину направляющего вектора оси: $|\mathbf{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}$.
2. Посчитать скалярное произведение $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$ и сохранить его знак.
3. Разделить: $\text{пр}_{\ell}\,\mathbf{a} = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})/|\mathbf{b}|$; при необходимости угол берётся из $\cos\varphi = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})/(|\mathbf{a}||\mathbf{b}|)$.
4. Для разложения умножить направляющий вектор на $(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})/|\mathbf{b}|^2$ и вычесть результат из $\mathbf{a}$; проверить ортогональность и теорему Пифагора.
5. Для $\mathbf{a}(4;\ 4;\ 7)$ и $\mathbf{b}(2;\ -1;\ 2)$: $|\mathbf{b}| = 3$, $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 18$, проекция $6$, угол $\approx 48{,}19^\circ$, разложение $(4;\ -2;\ 4) + (0;\ 6;\ 3)$.