Как найти объём параллелепипеда по векторам: решение

Дано: векторы $\vec{a}(2;\ -1;\ 3)$, $\vec{b}(1;\ 4;\ 0)$ и $\vec{c}(-2;\ 1;\ 5)$, отложенные от одной точки. Найти: объём параллелепипеда, построенного на них как на рёбрах, и объём тетраэдра с теми же рёбрами.

Работает одна формула: объём параллелепипеда равен модулю смешанного произведения тройки векторов, а само смешанное произведение считается как определитель третьего порядка из их координат. Ответ: $V = 72$ куб. ед., а тетраэдр на тех же рёбрах занимает шестую часть, то есть $V_{\text{т}} = 12$ куб. ед.

Калькулятор сверху делает то же самое для любой тройки: собирает определитель, показывает знак смешанного произведения и рисует саму коробку. Подвигай в нём ползунок сдвига или выбери пресет «Компланарные» - увидишь, как фигура схлопывается в плоскую и объём обращается в нуль.

Решение по шагам

Шаг 1. Записываем смешанное произведение определителем. Координаты векторов ставим строками в том порядке, в каком векторы перечислены в условии. Перестановка двух строк поменяет знак, но не модуль, поэтому на ответ порядок не влияет.

$$(\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 5 \end{vmatrix}$$

Шаг 2. Раскрываем определитель по первой строке. Каждый элемент строки умножается на свой минор второго порядка, а знаки чередуются: плюс, минус, плюс. Этот шаг подробно разобран в задаче как вычислить определитель третьего порядка, здесь мы им просто пользуемся.

$$\begin{aligned} \Delta &= 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} \\ &= 2 \cdot (20 - 0) + 1 \cdot (5 - 0) + 3 \cdot (1 + 8). \end{aligned}$$

Шаг 3. Складываем три слагаемых. Самое опасное место - второй минор: его знак меняется дважды, один раз из-за шахматного правила, второй раз из-за отрицательной координаты $a_y = -1$. Два минуса дают плюс, и слагаемое получается положительным.

$$\Delta = 40 + 5 + 27 = 72$$

Шаг 4. Берём модуль. Смешанное произведение - число со знаком, а объём отрицательным не бывает. Знак здесь плюс, значит тройка $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$ правая, и модуль ничего не меняет:

$$V = |(\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c})| = |72| = 72$$

Шаг 5. Переходим к тетраэдру. Тетраэдр, построенный на тех же трёх рёбрах, занимает ровно шестую часть параллелепипеда: сначала диагональная плоскость режет коробку пополам на две призмы, потом каждая призма распадается на три равновеликих тетраэдра.

$$V_{\text{т}} = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c})| = \frac{72}{6} = 12$$

Ответ: объём параллелепипеда $V = 72$ куб. ед., объём тетраэдра $V_{\text{т}} = 12$ куб. ед.

Формула и откуда она берётся

Смешанное произведение - это векторное произведение двух векторов, скалярно умноженное на третий: $(\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$. Вся геометрия объёма спрятана именно в этой записи.

Возьмём за основание параллелограмм на векторах $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Его площадь равна модулю векторного произведения: $S = |\vec{b} \times \vec{c}|$, и это тот самый приём, который разбирается в статье про площадь параллелограмма, построенного на векторах. Вектор $\vec{b} \times \vec{c}$ перпендикулярен основанию, то есть задаёт направление высоты.

Скалярное умножение на $\vec{a}$ как раз и проектирует третий вектор на это перпендикулярное направление: $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = |\vec{b} \times \vec{c}| \cdot \text{пр}_{\vec{n}}\vec{a}$. Получается произведение площади основания на высоту, то есть школьная формула $V = S \cdot h$, только записанная в координатах.

Проверим это на наших числах. Векторное произведение $\vec{b} \times \vec{c}$ считается по тому же определителю, но с ортами в первой строке:

$$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 5 \end{vmatrix} = (20;\ -5;\ 9)$$

Тогда площадь основания $S = \sqrt{20^2 + 5^2 + 9^2} = \sqrt{506} \approx 22{,}49$, а высота $h = V / S = 72 / 22{,}49 \approx 3{,}20$. Произведение $22{,}49 \cdot 3{,}20 \approx 72$ - объём сошёлся, и заодно стало видно, что высота вовсе не равна длине вектора $\vec{a}$, которая здесь примерно $3{,}74$.

Проверка ответа вторым способом

Первый способ проверки - скалярное умножение на уже найденный вектор нормали. Берём $\vec{b} \times \vec{c} = (20;\ -5;\ 9)$ и умножаем на $\vec{a}(2;\ -1;\ 3)$ покоординатно:

$$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 2 \cdot 20 + (-1) \cdot (-5) + 3 \cdot 9 = 40 + 5 + 27 = 72$$

Второй способ - правило треугольников для того же определителя. Три произведения со знаком плюс дают $2 \cdot 4 \cdot 5 + (-1) \cdot 0 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 \cdot 1 = 43$, три со знаком минус дают $3 \cdot 4 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot 5 = -29$. Разность равна $43 - (-29) = 72$, и это снова тот же ответ.

Третья проверка - грубая оценка на глаз. Длины векторов примерно $3{,}74$, $4{,}12$ и $5{,}48$, их произведение около $84$. Объём параллелепипеда никогда не больше произведения длин рёбер и равен ему только у прямоугольного. Значение $72$ в этот коридор укладывается, а вот ответ вроде $720$ или $7{,}2$ сразу говорил бы об ошибке в разряде.

Компланарность и задача с параметром

Нулевое смешанное произведение - это признак компланарности: три вектора лежат в одной плоскости, параллелепипед вырождается в плоскую фигуру, объём равен нулю. С точки зрения алгебры это линейная зависимость тройки, то есть один вектор раскладывается по двум другим. Частный случай - когда два вектора из тройки уже параллельны, и тогда достаточно проверить коллинеарность без всякого определителя.

Отсюда растёт типовая вариация условия: при каком $m$ векторы $\vec{a}(2;\ -1;\ 3)$, $\vec{b}(1;\ 4;\ 0)$ и $\vec{c}(-2;\ 1;\ m)$ компланарны? Считаем определитель с буквой на месте третьей координаты и приравниваем нулю:

$$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & m \end{vmatrix} = 8m + m + 27 = 9m + 27 = 0 \quad \Rightarrow \quad m = -3$$

Заодно это проверка основного расчёта: подставив в формулу $9m + 27$ наше значение $m = 5$, снова получаем $72$. Вторая частая вариация - когда даны не векторы, а четыре вершины. Тогда из одной вершины строят три вектора по правилу «конец минус начало» и дальше считают то же смешанное произведение; на этом же приёме держится разбор про высоту тетраэдра, где объём нужен как промежуточный результат.

Частые ошибки

• Забыть модуль. Смешанное произведение может выйти отрицательным, и минус в ответе про объём сразу снимает баллы: знак отвечает только за ориентацию тройки.
• Потерять знак у второго слагаемого при разложении по первой строке. Минус шахматного правила и минус координаты $a_y$ гасят друг друга, здесь это даёт $+5$, а не $-5$.
• Поделить на шесть там, где спрашивали про параллелепипед. Шестая часть - это тетраэдр, половина - призма, а сам параллелепипед берётся целиком.
• Перепутать высоту с длиной третьего вектора. Высота - это проекция $\vec{a}$ на нормаль к основанию, она всегда не больше $|\vec{a}|$ и совпадает с ней только при перпендикулярности.
• Строить векторы по вершинам в разные стороны. Если условие задано точками, все три вектора обязаны выходить из одной вершины, иначе считается объём другой фигуры.
• Считать, что нулевой ответ - это ошибка. Нуль здесь содержательный результат: он означает компланарность, и так и надо написать в выводе.

FAQ

Зависит ли ответ от порядка векторов в определителе? Модуль не зависит, знак зависит. Любая перестановка двух строк меняет знак определителя на противоположный, но объём берётся по модулю, поэтому итог один и тот же.

Что делать, если векторы заданы не координатами, а длинами и углами? Тогда удобнее формула $V = S \cdot h$: площадь основания ищется как $|\vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot \sin\gamma$, а высота - как проекция третьего вектора на нормаль. Через координаты всё равно быстрее, если их можно восстановить.

Почему тетраэдр составляет именно одну шестую? Диагональное сечение делит параллелепипед на две одинаковые призмы, а каждая призма разрезается на три равновеликих тетраэдра. Итого шесть равных частей, и наш занимает одну из них.

Можно ли по смешанному произведению судить о линейной независимости? Да, это эквивалентные вещи: если $(\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}) \neq 0$, тройка линейно независима и образует базис пространства, а нуль означает зависимость.

Коротко

1. Записать координаты трёх векторов строками определителя третьего порядка.
2. Раскрыть определитель по первой строке или по правилу треугольников: у нас $\Delta = 40 + 5 + 27 = 72$.
3. Взять модуль: объём параллелепипеда $V = 72$ куб. ед.
4. Для тетраэдра поделить на шесть, для призмы - на два: $V_{\text{т}} = 12$ куб. ед.
5. Проверить результат вторым способом и убедиться, что нуль в ответе означал бы компланарность.