Как составить уравнение прямой в пространстве: решение

Дано: точки $A(2;\ -1;\ 3)$ и $B(5;\ 3;\ 1)$. Найти: канонические, параметрические и общие уравнения прямой $AB$.

Прямая в пространстве задаётся всего двумя вещами: одной своей точкой и направлением, то есть направляющим вектором. Обе величины здесь получаются сразу: за опорную точку берём $A$, а направляющий вектор считаем вычитанием координат, $\vec{s} = \overrightarrow{AB} = (3;\ 4;\ -2)$. Ответ: $\dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{y + 1}{4} = \dfrac{z - 3}{-2}$; параметрически $x = 2 + 3t$, $y = -1 + 4t$, $z = 3 - 2t$; в общем виде система $4x - 3y - 11 = 0$ и $y + 2z - 5 = 0$. Калькулятор сверху собирает все три формы под любые координаты, а ниже идёт разбор по шагам.

Решение по шагам

Шаг 1. Находим направляющий вектор. Из координат конца вычитаем координаты начала. Порядок точек значения не имеет: возьмёшь $\overrightarrow{BA}$ вместо $\overrightarrow{AB}$ и получишь противоположный вектор, а прямая выйдет та же самая.

$$\vec{s} = \overrightarrow{AB} = (5 - 2;\ 3 - (-1);\ 1 - 3) = (3;\ 4;\ -2).$$

Шаг 2. Подставляем точку и вектор в каноническую форму. Координаты опорной точки идут в числители со знаком минус, компоненты направляющего вектора - в знаменатели. Минус перед отрицательной координатой даёт плюс: у точки $A$ ордината равна $-1$, поэтому в числителе стоит $y + 1$.

$$\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 3}{-2}.$$

Шаг 3. Переходим к параметрическим уравнениям. Приравняем каждую дробь к параметру $t$ и выразим координаты. Каждому значению $t$ отвечает ровно одна точка прямой, причём $t = 0$ даёт точку $A$, а $t = 1$ - точку $B$:

$$\begin{aligned} x &= 2 + 3t, \\ y &= -1 + 4t, \\ z &= 3 - 2t. \end{aligned}$$

Шаг 4. Записываем прямую как пересечение двух плоскостей. Каноническая запись - это цепочка из трёх равных дробей, то есть два независимых уравнения. Приравняем дроби попарно и уберём знаменатели. Первую пару берём по $x$ и $y$, вторую по $y$ и $z$:

$$\begin{aligned} \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} &\;\Rightarrow\; 4(x - 2) = 3(y + 1) \;\Rightarrow\; 4x - 3y - 11 = 0, \\ \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 3}{-2} &\;\Rightarrow\; -2(y + 1) = 4(z - 3) \;\Rightarrow\; y + 2z - 5 = 0. \end{aligned}$$

Второе уравнение сокращено на $-2$: общий множитель в уравнении плоскости ничего не меняет, но запись становится чище.

Шаг 5. Проверяем ответ подстановкой. Обе точки обязаны удовлетворять обоим уравнениям системы. Для $A(2;\ -1;\ 3)$: $4 \cdot 2 - 3 \cdot (-1) - 11 = 0$ и $-1 + 2 \cdot 3 - 5 = 0$. Для $B(5;\ 3;\ 1)$: $4 \cdot 5 - 3 \cdot 3 - 11 = 0$ и $3 + 2 \cdot 1 - 5 = 0$. Оба нуля сошлись, значит система задаёт именно прямую $AB$.

Попутно считаются ещё две характеристики, которые часто просят в том же задании: длина отрезка $|AB| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{29} \approx 5{,}385$ и направляющие косинусы $\cos\alpha \approx 0{,}5571$, $\cos\beta \approx 0{,}7428$, $\cos\gamma \approx -0{,}3714$. Им отвечают углы с осями примерно $56{,}1^\circ$, $42{,}0^\circ$ и $111{,}8^\circ$ - тупой угол с осью $z$ появился потому, что третья компонента вектора отрицательна.

Ответ: $\dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{y + 1}{4} = \dfrac{z - 3}{-2}$, или $x = 2 + 3t$, $y = -1 + 4t$, $z = 3 - 2t$, или система $4x - 3y - 11 = 0$, $y + 2z - 5 = 0$.

Формула и откуда она берётся

Пусть прямая проходит через точку $M_0(x_0;\ y_0;\ z_0)$ и параллельна вектору $\vec{s} = (l;\ m;\ n)$, у которого хотя бы одна компонента отлична от нуля. Точка $M(x;\ y;\ z)$ лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор $\overrightarrow{M_0M}$ коллинеарен $\vec{s}$, то есть отличается от него только числовым множителем:

$$\overrightarrow{M_0M} = t \cdot \vec{s}, \qquad (x - x_0;\ y - y_0;\ z - z_0) = t \cdot (l;\ m;\ n).$$

Покоординатная запись этого равенства и есть параметрические уравнения прямой. Если теперь из каждого равенства выразить $t$ и приравнять результаты, множитель исчезнет, а останется цепочка канонических дробей:

$$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} = t.$$

Отсюда виден и смысл букв. В числителях сидят координаты точки, через которую проходит прямая, в знаменателях - направление, а параметр $t$ работает как координата вдоль самой прямой: при $t = 0$ ты стоишь в опорной точке, при $t = 1$ сдвигаешься ровно на один вектор $\vec{s}$. Умножение $\vec{s}$ на любое ненулевое число прямую не меняет, поэтому знаменатели можно сокращать: $(6;\ 8;\ -4)$ и $(3;\ 4;\ -2)$ задают одну и ту же прямую.

Три формы записи и переход между ними

Все три формы описывают один объект, но удобны в разных задачах. Каноническая нужна, когда спрашивают направление; параметрическая - когда прямую надо с чем-то пересечь; общая появляется в задачах, где прямая изначально дана системой.

Переходы между формами короткие. Из канонической в параметрическую - приравнять дроби к $t$ и выразить координаты. Обратно - выразить $t$ из каждого уравнения. Из канонической в общую - приравнять дроби попарно, как в шаге 4. Обратный переход сложнее: из системы двух плоскостей направляющий вектор достают векторным произведением нормалей, а точку - обнулив одну из координат; этот случай полностью разобран в задаче про направляющий вектор прямой.

Пары дробей в шаге 4 выбраны не наугад. Чтобы уравнение плоскости не выродилось, в паре должна участвовать ненулевая компонента вектора: при $m = 0$ равенство первой и второй дроби ещё имеет смысл, а вот связка через $y$ уже нет. Калькулятор сверху подбирает пару автоматически, отталкиваясь от наибольшей по модулю компоненты $\vec{s}$.

Если прямая задана иначе

Точкой и направляющим вектором. Это готовая заготовка: числители собираются из точки, знаменатели из вектора, считать вообще нечего. Переключи чип в калькуляторе на режим «Точкой и вектором», и вторая тройка ползунков станет компонентами $\vec{s}$.

Параллельно другой прямой. Параллельные прямые имеют коллинеарные направляющие векторы, поэтому знаменатели просто переписываются из условия, а числители берутся из новой точки.

Перпендикулярно плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$, её направляющим вектором служит нормаль плоскости $\vec{n} = (A;\ B;\ C)$. Обратная задача, когда плоскость строят по точкам, разобрана отдельно: как составить уравнение плоскости.

Одна из компонент вектора нулевая. Запись вида $\dfrac{x - 1}{0} = \dfrac{y - 2}{3} = \dfrac{z}{5}$ не ошибка и не деление на нуль: это условное обозначение, равносильное системе $x = 1$ и $\dfrac{y - 2}{3} = \dfrac{z}{5}$. Нулевой знаменатель означает, что соответствующий числитель тоже равен нулю, а сама прямая параллельна координатной плоскости.

Отдельная ветка задач начинается, когда прямая уже составлена: найти точку её пересечения с плоскостью, опустить на неё перпендикуляр или измерить расстояние. Первый случай разобран в задаче про точку пересечения прямой и плоскости, второй - в статье про проекцию точки на прямую.

Частые ошибки

• Знак в числителе. Формула требует $x - x_0$, поэтому отрицательная координата даёт плюс: для $y_0 = -1$ числитель равен $y + 1$, а не $y - 1$. Это самая частая потеря балла в этой задаче.
• Координаты точки в знаменателе. Числители и знаменатели путают местами: внизу стоят компоненты направляющего вектора, наверху - разности координат. Проверка простая: подставь координаты опорной точки, все три дроби должны обратиться в нуль.
• Вычитание не в том порядке внутри одной координаты. Вектор $\overrightarrow{AB}$ считается как «конец минус начало» по каждой оси сразу; смешивать $x_B - x_A$ с $y_A - y_B$ нельзя, иначе вектор перестанет быть направляющим.
• Потеря одного из двух общих уравнений. Прямая в пространстве задаётся системой из двух плоскостей, одного уравнения мало: $4x - 3y - 11 = 0$ само по себе описывает плоскость, а не прямую.
• Сокращение только части уравнения. Делить на общий множитель нужно все четыре коэффициента: из $-2y - 4z + 10 = 0$ получается $y + 2z - 5 = 0$, свободный член тоже делится.
• Нулевой направляющий вектор. Если точки совпали, $\vec{s} = \vec{0}$ и прямая не определена. В условии такое встречается как опечатка в координатах, и калькулятор в этом случае честно сообщает, что решения нет.

FAQ

Сколько точек нужно, чтобы составить уравнение прямой в пространстве? Двух различных точек достаточно: они дают и опорную точку, и направляющий вектор как разность координат. Одной точки мало, потому что через неё проходит бесконечно много прямых. Вместо второй точки можно задать направление вектором или условием параллельности.

Чем канонические уравнения отличаются от параметрических? Это одна и та же прямая, записанная по-разному. В канонической форме параметр исключён, и запись компактнее; в параметрической он оставлен явно, зато каждая точка получается подстановкой конкретного числа. Для пересечения прямой с плоскостью удобнее параметрическая: подставил $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ в уравнение плоскости и нашёл единственное $t$.

Как проверить, лежит ли точка на прямой? Подставь её координаты в каноническую запись и посчитай все три дроби. Если они равны между собой, точка лежит на прямой, а их общее значение и есть её параметр $t$. Для точки $C(8;\ 7;\ -1)$ получается $\dfrac{6}{3} = \dfrac{8}{4} = \dfrac{-4}{-2} = 2$, то есть $C$ лежит на нашей прямой при $t = 2$.

Единственна ли запись уравнения прямой? Нет, и это нормально. Опорной точкой может служить любая точка прямой, а направляющий вектор определён с точностью до ненулевого множителя. Поэтому $\dfrac{x - 5}{3} = \dfrac{y - 3}{4} = \dfrac{z - 1}{-2}$ и $\dfrac{x - 2}{-3} = \dfrac{y + 1}{-4} = \dfrac{z - 3}{2}$ задают ту же прямую, что и ответ выше. Преподаватель обычно принимает любую верную форму, но сверять ответ с учебником стоит подстановкой, а не сравнением символов.

Коротко

1. Направляющий вектор считается вычитанием координат: $\vec{s} = \overrightarrow{AB} = (3;\ 4;\ -2)$.
2. Канонические уравнения: координаты точки в числители со знаком минус, компоненты вектора в знаменатели, получается $\dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{y + 1}{4} = \dfrac{z - 3}{-2}$.
3. Параметрическая форма выходит приравниванием дробей к $t$: $x = 2 + 3t$, $y = -1 + 4t$, $z = 3 - 2t$, причём $t = 0$ отвечает точке $A$, а $t = 1$ - точке $B$.
4. Общие уравнения получаются приравниванием канонических дробей попарно: $4x - 3y - 11 = 0$ и $y + 2z - 5 = 0$.
5. Проверка - подстановка обеих исходных точек в оба уравнения системы: все четыре результата обязаны обратиться в нуль.