Как построить гиперболический параболоид: разбор

Дано: поверхность $z = \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4}$ и точка $M(3;\,2;\,0)$ на ней. Найти: сечения плоскостями $z = 1$, $z = 0$, $z = -1$ и обе прямолинейные образующие через $M$.

Метод один: режем поверхность тремя пучками плоскостей и смотрим, какие плоские кривые получаются. Горизонтальные плоскости дают гиперболы, которые на уровне $z = 0$ вырождаются в пару прямых $y = \pm\frac{2}{3}x$, а вертикальные плоскости дают параболы, причём ветви вдоль $Ox$ смотрят вверх, а вдоль $Oy$ - вниз. Отсюда и форма седла. Через точку $M$ проходят две прямолинейные образующие с направляющими векторами $(3;\,2;\,0)$ и $(3;\,-2;\,4)$, угол между ними $\approx 75^\circ05'$. Калькулятор сверху строит карту тех же линий уровня для любых полуосей и сам пересчитывает образующие при сдвиге точки.

Решение по шагам

Дано. $z = \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4}$, точка $M(3;\,2;\,0)$. Найти: линии уровня, вертикальные сечения, образующие через $M$ и угол между ними.

Шаг 1. Опознать поверхность по уравнению. Канонический вид гиперболического параболоида - $z = \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2}$. Сравниваем: $a^2 = 9$, $b^2 = 4$, то есть $a = 3$ и $b = 2$. Слева стоит первая степень $z$, справа - разность квадратов с разными знаками; ни центра, ни осей симметрии четвёртого порядка у такой поверхности нет, есть только вершина в начале координат.

Шаг 2. Разрезать горизонтальными плоскостями $z = h$. Подставляем $z = h$ и получаем кривую в плоскости:

$$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = h.$$

При $h = 1$ это гипербола $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ с действительной осью вдоль $Ox$: вершины лежат в точках $(\pm 3;\,0;\,1)$, действительная полуось равна 3, мнимая 2.

При $h = -1$ знаки меняются местами: $\dfrac{y^2}{4} - \dfrac{x^2}{9} = 1$. Это гипербола с действительной осью вдоль $Oy$, её вершины - $(0;\,\pm 2;\,-1)$. Ветви развёрнуты на 90 градусов по сравнению с верхним уровнем.

При $h = 0$ уравнение распадается на множители и даёт пару пересекающихся прямых:

$$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = \left(\frac{x}{3} - \frac{y}{2}\right)\left(\frac{x}{3} + \frac{y}{2}\right) = 0 \;\Longrightarrow\; y = \pm\frac{2}{3}x .$$

Эти две прямые - общие асимптоты для всех остальных линий уровня, ровно как у обычной гиперболы на плоскости (разбор асимптот есть в отдельной статье).

Шаг 3. Разрезать вертикальными плоскостями. В плоскости $y = 0$ остаётся $z = \dfrac{x^2}{9}$ - парабола ветвями вверх. В плоскости $x = 0$ остаётся $z = -\dfrac{y^2}{4}$ - парабола ветвями вниз. Сдвинем секущие плоскости так, чтобы они прошли через нашу точку:

$$\begin{aligned} y = 2: &\quad z = \frac{x^2}{9} - 1, \\[4pt] x = 3: &\quad z = 1 - \frac{y^2}{4}. \end{aligned}$$

Важно, что все параболы одного пучка одинаковы по форме и отличаются только высотой вершины. Это и есть рецепт построения: параболу $z = -\dfrac{y^2}{4}$ двигают вершиной по параболе $z = \dfrac{x^2}{9}$, не поворачивая, и она заметает всю поверхность.

Шаг 4. Собрать эскиз. Рисуем оси, на них две опорные параболы из шага 3 - одну вверх вдоль $Ox$, другую вниз вдоль $Oy$. Затем на высоте $z = 1$ проводим гиперболу, раскрытую в стороны $Ox$, а на высоте $z = -1$ - гиперболу, раскрытую вдоль $Oy$. Соединяем вершины гипербол с опорными параболами. Получается седло: вдоль одной оси поверхность поднимается, вдоль перпендикулярной опускается.

Шаг 5. Найти прямолинейные образующие через $M(3;\,2;\,0)$. Сначала проверка: $\dfrac{9}{9} - \dfrac{4}{4} = 0 = z_M$, точка действительно на поверхности. Раскладываем правую часть на множители и вводим параметры серий:

$$u = \frac{x_0}{3} - \frac{y_0}{2} = 1 - 1 = 0, \qquad v = \frac{x_0}{3} + \frac{y_0}{2} = 1 + 1 = 2 .$$

Первая серия задаётся системой $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = u$, $u\left(\frac{x}{3} + \frac{y}{2}\right) = z$. При $u = 0$ она вырождается в $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$, $z = 0$, то есть в прямую

$$L_1: \; (x;\,y;\,z) = (3t;\,2t;\,0), \qquad \vec{s_1} = (3;\,2;\,0).$$

Вторая серия - $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = v$, $v\left(\frac{x}{3} - \frac{y}{2}\right) = z$. При $v = 2$ получаем $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 2$ и $z = 2\left(\frac{x}{3} - \frac{y}{2}\right)$, что в параметрах даёт

$$L_2: \; (x;\,y;\,z) = (3 + 3\tau;\,2 - 2\tau;\,4\tau), \qquad \vec{s_2} = (3;\,-2;\,4).$$

Проверка подстановкой: $\dfrac{(3+3\tau)^2}{9} - \dfrac{(2-2\tau)^2}{4} = (1+\tau)^2 - (1-\tau)^2 = 4\tau = z$. Совпало, прямая целиком лежит на поверхности.

Шаг 6. Угол между образующими. Считаем через скалярное произведение направляющих векторов:

$$\cos\varphi = \frac{|\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}|}{|\vec{s_1}|\,|\vec{s_2}|} = \frac{|9 - 4 + 0|}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{377}} \approx 0{,}2575 .$$

Ответ. Уровень $z = 1$ - гипербола с вершинами $(\pm 3;\,0;\,1)$, уровень $z = -1$ - гипербола с вершинами $(0;\,\pm 2;\,-1)$, уровень $z = 0$ - пара прямых $y = \pm\frac{2}{3}x$; через точку $M$ проходят прямые с векторами $(3;\,2;\,0)$ и $(3;\,-2;\,4)$, угол между ними $\varphi \approx 75^\circ05'$.

Формула и откуда она берётся

Название разбирается по частям. «Параболоид» - потому что $z$ входит в первой степени: любое сечение вертикальной плоскостью даёт параболу. «Гиперболический» - потому что горизонтальные сечения дают гиперболы. Родственный эллиптический параболоид отличается одним знаком: у него $z = \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}$, и горизонтальные сечения там эллипсы, а поверхность похожа на чашу.

Часто уравнение дают в виде $2z = \dfrac{x^2}{p} - \dfrac{y^2}{q}$ с положительными $p$ и $q$. Связь простая: $a^2 = 2p$, $b^2 = 2q$, поэтому сначала уравнение делят пополам и только потом читают полуоси. Величины $p$ и $q$ - это параметры тех самых опорных парабол, они задают, насколько круто поверхность уходит вверх и вниз.

У гиперболического параболоида нет центра симметрии: точка $O(0;\,0;\,0)$ - вершина и седловая точка одновременно. Касательная плоскость в ней горизонтальна, но поверхность лежит по обе стороны от неё. Если в задаче есть линейные слагаемые, их убирают выделением полных квадратов - техника та же, что при приведении кривой второго порядка к каноническому виду, только квадратов теперь два, а третья переменная входит линейно и определяет сдвиг вершины по высоте.

Прямолинейные образующие: почему их ровно две

Ключ ко всему - разность квадратов в правой части. Поверхность записывается как $z = \left(\dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{b}\right)\left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b}\right)$, а произведение равно $z$ во всех случаях, когда один множитель равен параметру, а второй - частному $z$ на этот параметр. Отсюда две однопараметрические серии прямых, и каждая полностью лежит на поверхности.

Свойства серий стоит запомнить: через каждую точку поверхности проходит ровно одна прямая первой серии и ровно одна второй; любые две прямые одной серии скрещиваются, а прямые разных серий всегда пересекаются или параллельны. Именно поэтому седловую кровлю можно сложить из прямых досок или натянуть из тросов - поверхность линейчатая, хотя и кривая. Если для той же поверхности потребуется касательная плоскость, удобнее идти через градиент, как в разборе нормали к поверхности.

Если уравнение выглядит иначе

Поверхность $z = xy$ тоже гиперболический параболоид, просто повёрнутый. Поворот осей на 45 градусов по формулам $x = \dfrac{x' - y'}{\sqrt{2}}$, $y = \dfrac{x' + y'}{\sqrt{2}}$ превращает её в $z = \dfrac{x'^2}{2} - \dfrac{y'^2}{2}$, то есть $a = b = \sqrt{2}$. Такое седло называют равнобочным: обе опорные параболы одинаковы, а асимптоты нулевого уровня перпендикулярны.

Если в первой степени стоит не $z$, а другая переменная, меняется только ось поверхности. Например, $x = \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2}$ - то же седло, но развёрнутое вдоль $Ox$: теперь гиперболы получаются в сечениях плоскостями $x = \text{const}$. Сравнивать нужно не буквы, а структуру: одна переменная в первой степени, две других - в квадратах с разными знаками.

Частые ошибки

• Путают знак уровня и направление ветвей: при $h > 0$ действительная ось гиперболы идёт вдоль той оси, у которой в уравнении плюс, то есть вдоль $Ox$, а не вдоль $Oy$.
• Забывают про уровень $h = 0$ и рисуют только гиперболы. Без пары прямых $y = \pm\frac{2}{3}x$ эскиз теряет каркас: именно к ним прижимаются все остальные линии уровня.
• Берут полуоси прямо из знаменателей: при $z = 1$ они равны $a = 3$ и $b = 2$, но при $z = 4$ уже $a\sqrt{4} = 6$ и $b\sqrt{4} = 4$. Полуоси растут как корень из высоты.
• Не проверяют, лежит ли точка на поверхности, и ищут образующие через точку, которой там нет. Подстановка координат в уравнение занимает одну строку.
• Считают угол между образующими по проекциям на плоскость $Oxy$. Векторы трёхмерные, третья координата $2u$ и $2v$ в скалярном произведении обязательна.
• Путают гиперболический параболоид с однополостным гиперболоидом. Он тоже линейчатый и тоже с двумя сериями прямых, но там все три переменные в квадратах, а горизонтальные сечения - эллипсы.

FAQ

Сколько прямолинейных образующих проходит через одну точку? Ровно две: по одной из каждой серии. Они пересекаются в этой точке и задают касательную плоскость к поверхности, а сама точка оказывается седловой.

Как быстро отличить гиперболический параболоид от эллиптического? По знакам квадратов. Разные знаки - гиперболический, седло. Одинаковые - эллиптический, чаша. Свободный член и линейные слагаемые на тип не влияют, они лишь сдвигают вершину.

Обязательно ли строить именно горизонтальные сечения? Нет, но удобнее всего. Горизонтальные дают гиперболы с понятными вершинами, вертикальные - конгруэнтные параболы. Комбинация двух пучков даёт достаточно линий, чтобы эскиз получился узнаваемым за пару минут.

Чему равен угол между образующими в вершине? В точке $O(0;\,0;\,0)$ параметры $u$ и $v$ обращаются в нуль, векторы становятся $(a;\,b;\,0)$ и $(a;\,-b;\,0)$, и обе прямые ложатся в плоскость $z = 0$. Для нашей поверхности это те же прямые $y = \pm\frac{2}{3}x$, угол между ними примерно $67^\circ23'$.

Коротко

1. Приводим уравнение к виду $z = \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2}$ и читаем полуоси: здесь $a = 3$, $b = 2$.
2. Секущие плоскости $z = h$ дают гиперболы: при $h > 0$ ось вдоль $Ox$, при $h < 0$ вдоль $Oy$, при $h = 0$ пару прямых $y = \pm\frac{2}{3}x$.
3. Секущие плоскости $x = \text{const}$ и $y = \text{const}$ дают конгруэнтные параболы, ветвями вниз и вверх соответственно.
4. Эскиз собирают из двух опорных парабол и двух гипербол уровня $z = \pm 1$; получается седло с вершиной в начале координат.
5. Образующие через $M(3;\,2;\,0)$: $(3t;\,2t;\,0)$ и $(3 + 3\tau;\,2 - 2\tau;\,4\tau)$, угол между ними $\varphi \approx 75^\circ05'$.