Как найти нормаль к поверхности: решение с примером

Дано: поверхность $z = x^2 + 2y^2$ и точка $M_0(1;\,1;\,3)$ на ней. Нормаль к поверхности в точке - это прямая, перпендикулярная касательной плоскости, и её направляющим вектором служит $\vec{n} = (z_x;\, z_y;\, -1)$, собранный из двух частных производных. В нашей точке производные равны $2$ и $4$, поэтому ответ: $\vec{n} = (2;\,4;\,-1)$, нормаль $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{4} = \dfrac{z-3}{-1}$, касательная плоскость $2x + 4y - z - 3 = 0$.

Ниже те же шаги с выкладками. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: подвинь точку ползунками, и вектор нормали, уравнения и угол пересчитаются.

Решение по шагам

Шаг 1. Проверяем, что точка лежит на поверхности. Подставляем $x = 1$ и $y = 1$ в правую часть: $1^2 + 2 \cdot 1^2 = 3$. Совпало с аппликатой точки, значит $M_0$ действительно на поверхности. Шаг кажется формальным, но именно на нём отваливается половина неверных решений: если точка не лежит на поверхности, касательной плоскости в ней просто нет.

Шаг 2. Берём частные производные в общем виде. Дифференцируем по $x$, считая $y$ константой, затем наоборот:

$$z_x = \frac{\partial}{\partial x}\left(x^2 + 2y^2\right) = 2x, \qquad z_y = \frac{\partial}{\partial y}\left(x^2 + 2y^2\right) = 4y.$$

Техника та же, что в разборе про частные производные функции: вторая переменная на время превращается в число.

Шаг 3. Подставляем координаты точки. $z_x(1;\,1) = 2 \cdot 1 = 2$, $z_y(1;\,1) = 4 \cdot 1 = 4$. Порядок важен: сначала дифференцируем в буквах, потом подставляем числа, иначе останется производная от константы, то есть ноль.

Шаг 4. Собираем вектор нормали.

$$\vec{n} = (z_x;\, z_y;\, -1) = (2;\, 4;\, -1).$$

Минус единица в третьей координате не опечатка и не случайность: она появляется из-за того, что переменная $z$ входит в уравнение поверхности с коэффициентом $-1$, когда мы переносим всё в одну часть. Откуда именно, разберём в следующем разделе.

Шаг 5. Пишем уравнение нормали. Нормаль проходит через $M_0$ и имеет направляющий вектор $\vec{n}$, поэтому её каноническое уравнение выглядит так:

$$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 3}{-1}.$$

Тот же ответ в параметрическом виде: $x = 1 + 2t$, $y = 1 + 4t$, $z = 3 - t$. Обе записи равноправны, преподаватели чаще просят каноническую.

Шаг 6. Составляем уравнение касательной плоскости. Вектор $\vec{n}$ перпендикулярен плоскости, значит годится уравнение плоскости по точке и нормальному вектору:

$$2(x - 1) + 4(y - 1) - 1 \cdot (z - 3) = 0 \;\Longrightarrow\; 2x + 4y - z - 3 = 0.$$

Подробнее про переход от точки и нормали к общему уравнению написано в разборе уравнения плоскости.

Шаг 7. Находим длину нормали и направляющие косинусы. Модуль вектора считаем как корень из суммы квадратов координат:

$$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{21} \approx 4{,}583.$$ $$\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{21}} \approx 0{,}4364, \quad \cos\beta = \frac{4}{\sqrt{21}} \approx 0{,}8729, \quad \cos\gamma = \frac{-1}{\sqrt{21}} \approx -0{,}2182.$$

Сумма их квадратов равна единице, это быстрая проверка арифметики. Угол между нормалью и осью $Oz$ равен $\arccos\left(1/\sqrt{21}\right) \approx 77{,}4^\circ$: поверхность в этой точке уже довольно крутая, и нормаль сильно завалена набок.

Ответ: $\vec{n} = (2;\,4;\,-1)$; нормаль $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{4} = \dfrac{z-3}{-1}$; касательная плоскость $2x + 4y - z - 3 = 0$; $|\vec{n}| = \sqrt{21}$, направляющие косинусы $\left(0{,}4364;\, 0{,}8729;\, -0{,}2182\right)$.

Формула и откуда она берётся

Поверхность, заданную явно как $z = f(x, y)$, всегда можно переписать в неявном виде, перенеся всё влево:

$$F(x,\, y,\, z) = f(x,\, y) - z = 0.$$

Градиент такой функции трёх переменных равен $\nabla F = (F_x;\, F_y;\, F_z) = (f_x;\, f_y;\, -1)$. Вот откуда берётся та самая минус единица: производная слагаемого $-z$ по $z$ равна $-1$, а $f(x, y)$ от $z$ не зависит.

Почему градиент перпендикулярен поверхности, видно из одной строчки. Возьмём любую кривую $\vec{r}(t)$, целиком лежащую на поверхности. Для неё тождественно выполнено $F(\vec{r}(t)) = 0$; продифференцируем по $t$ и получим $\nabla F \cdot \vec{r}^{\prime}(t) = 0$. Значит градиент ортогонален вектору скорости любой кривой на поверхности, а все эти векторы скоростей как раз и заметают касательную плоскость. Отсюда сразу два следствия: $\nabla F$ задаёт направление нормали, а перпендикулярная ему плоскость через точку и есть касательная.

Полезно понимать разницу с плоским случаем. У функции двух переменных градиент $\nabla z = (z_x;\, z_y)$ лежит в плоскости $Oxy$ и показывает направление наискорейшего роста, а нормаль к поверхности живёт в пространстве и содержит третью координату. Путать их нельзя, хотя первые две координаты у них совпадают.

Ещё одно замечание про масштаб. Любой ненулевой множитель у нормального вектора ничего не меняет: $(2;\,4;\,-1)$, $(4;\,8;\,-2)$ и $(-2;\,-4;\,1)$ задают одну и ту же прямую и одну и ту же плоскость. Поэтому дроби в координатах смело домножают на общий знаменатель, а знак выбирают из соображений удобства или ориентации.

Поверхность задана неявно: нормаль через градиент

Если поверхность дана уравнением $F(x,\, y,\, z) = 0$ и решать его относительно $z$ неудобно, нормаль берут прямо из градиента, без всякого приведения к явному виду:

$$\vec{n} = \nabla F = (F_x;\, F_y;\, F_z).$$

Разберём сферу $x^2 + y^2 + z^2 = 14$ в точке $M(1;\,2;\,3)$. Точка на сфере: $1 + 4 + 9 = 14$. Частные производные $F_x = 2x$, $F_y = 2y$, $F_z = 2z$ дают в точке вектор $(2;\,4;\,6)$, который для удобства сокращаем до $(1;\,2;\,3)$. Уравнение нормали: $\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-2}{2} = \dfrac{z-3}{3}$, касательная плоскость: $x + 2y + 3z - 14 = 0$.

Ответ проходит геометрическую проверку: нормаль к сфере обязана проходить через центр, а центр здесь в начале координат, и при $t = -1$ параметрическая запись $x = 1 + t$, $y = 2 + 2t$, $z = 3 + 3t$ действительно даёт точку $(0;\,0;\,0)$.

Оба способа согласованы между собой. Если ту же сферу разрешить относительно $z$, получится $z = \sqrt{14 - x^2 - y^2}$, откуда $z_x = -x/z = -1/3$ и $z_y = -y/z = -2/3$. Вектор $(-1/3;\, -2/3;\, -1)$ отличается от $(1;\,2;\,3)$ множителем $-1/3$, то есть задаёт ту же самую прямую, только смотрит внутрь сферы, а не наружу.

Проверка ответа и нулевые знаменатели

Первая проверка бесплатная: подставь координаты точки в найденное уравнение плоскости. Для нашего примера $2 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 3 - 3 = 0$, плоскость действительно проходит через точку касания.

Вторая проверка отвечает на вопрос, та ли это плоскость. Сдвинемся от точки на $0{,}1$ по оси $x$. Поверхность даёт $z = 1{,}1^2 + 2 = 3{,}21$, плоскость даёт $z = 2 \cdot 1{,}1 + 4 - 3 = 3{,}2$. Расхождение $0{,}01$ равно квадрату сдвига: касательная плоскость приближает поверхность с точностью до величины второго порядка малости, и это её определяющее свойство. На графике в калькуляторе этот же эффект виден глазами: сузь окно сечения, и штриховые касательные сольются с кривыми.

Третья проверка на ортогональность. Касательные векторы к двум координатным сечениям равны $(1;\,0;\,z_x) = (1;\,0;\,2)$ и $(0;\,1;\,z_y) = (0;\,1;\,4)$. Их скалярные произведения с нормалью: $2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 = 0$ и $2 \cdot 0 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 4 = 0$. Оба нуля на месте, нормаль перпендикулярна обоим направлениям.

Отдельный случай, который пугает на контрольной, это ноль в знаменателе канонической записи. В точке $O(0;\,0;\,0)$ нашего параболоида производные обнуляются и $\vec{n} = (0;\,0;\,-1)$, а уравнение принимает вид $\dfrac{x}{0} = \dfrac{y}{0} = \dfrac{z}{-1}$. Запись законна и читается как система $x = 0$, $y = 0$: нормаль совпала с осью $Oz$, а касательная плоскость стала горизонтальной, $z = 0$. Делить ни на что не нужно.

Бывает и наоборот, когда нормали нет вовсе. У конуса $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ в вершине частные производные не существуют, касательной плоскости там нет, и задача корректна только в точках, отличных от вершины.

Частые ошибки

• Не проверили, что точка лежит на поверхности. Если аппликата в условии не совпадает с $f(x_0;\, y_0)$, дальше считать нечего: ошибка в условии или в выписанных координатах.
• Подставили числа до дифференцирования. Если сразу положить $y = 1$, слагаемое $2y^2$ станет константой, и производная $z_y$ выйдет нулевой вместо четвёрки.
• Потеряли минус единицу и написали $\vec{n} = (2;\,4)$ или $(2;\,4;\,1)$ без объяснений. Двумерный вектор нормаль в пространстве не задаёт, а знак третьей координаты нужно держать согласованным со всеми уравнениями сразу.
• Перепутали объекты: подставили нормаль в каноническое уравнение прямой, но назвали результат касательной плоскостью. Нормаль это прямая с тремя равными отношениями, плоскость это одно линейное уравнение.
• Для неявной поверхности взяли только $F_x$ и $F_y$, забыв $F_z$. У сферы это даёт вектор $(2;\,4;\,0)$, который лежит в горизонтальной плоскости и к поверхности не перпендикулярен.
• Нормировали вектор в самом начале и потащили корни через все выкладки. Направляющие косинусы нужны только в самом конце, а уравнения пишутся по целочисленному вектору.

FAQ

Чем нормаль к поверхности отличается от градиента функции двух переменных? Градиент $\nabla z = (z_x;\, z_y)$ это двумерный вектор в плоскости $Oxy$, он показывает направление наискорейшего роста функции. Нормаль трёхмерна и равна $(z_x;\, z_y;\, -1)$. Совпадают у них только первые две координаты, и именно поэтому их так часто путают.

Можно ли взять вектор $(-z_x;\, -z_y;\, 1)$? Да, это противоположный вектор, он задаёт ту же прямую и ту же плоскость. Уравнение плоскости отличается лишь умножением на $-1$, а каноническая запись нормали сводится к прежней домножением всех знаменателей на минус единицу. Выбор знака влияет только на ориентацию, то есть на то, наружу или внутрь смотрит нормаль.

Как найти угол между нормалью и осью $Oz$? Через направляющий косинус: $\cos\gamma = \dfrac{|-1|}{|\vec{n}|}$, для нашего примера это $1/\sqrt{21} \approx 0{,}2182$ и $\gamma \approx 77{,}4^\circ$. Этот же угол равен углу между касательной плоскостью и плоскостью $Oxy$, что удобно при расчёте площади поверхности.

Что делать, если поверхность задана параметрически? Для $\vec{r}(u;\, v)$ нормаль получают векторным произведением частных производных: $\vec{n} = \vec{r}_u \times \vec{r}_v$. Явный случай $z = f(x, y)$ это частный вариант с параметрами $u = x$, $v = y$: произведение $(1;\,0;\,f_x) \times (0;\,1;\,f_y)$ даёт как раз $(-f_x;\, -f_y;\, 1)$.

Коротко

1. Проверь, что точка на поверхности: $f(x_0;\, y_0)$ должно равняться $z_0$.
2. Найди частные производные в общем виде и только потом подставь координаты точки.
3. Собери вектор нормали $\vec{n} = (z_x;\, z_y;\, -1)$, для неявной поверхности $\vec{n} = \nabla F = (F_x;\, F_y;\, F_z)$.
4. Запиши нормаль канонически, $\dfrac{x - x_0}{n_x} = \dfrac{y - y_0}{n_y} = \dfrac{z - z_0}{n_z}$, а касательную плоскость как $n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0$.
5. Для примера $z = x^2 + 2y^2$ в точке $M_0(1;\,1;\,3)$ ответ такой: $\vec{n} = (2;\,4;\,-1)$, нормаль $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{4} = \dfrac{z-3}{-1}$, плоскость $2x + 4y - z - 3 = 0$, $|\vec{n}| = \sqrt{21} \approx 4{,}583$.