Как найти эластичность функции: пошаговое решение

Дано: функция спроса $q(p) = 180 - 3p$, цена $p = 40$ руб. Найти: эластичность функции в этой точке, тип спроса и цену, при которой выручка максимальна.

Эластичность функции считают по формуле $E = \dfrac{x}{y} \cdot y'$: берут производную и умножают её на отношение аргумента к значению функции. Ответ: $E(40) = -2$, спрос эластичный, выручка максимальна при $p = 30$ руб. и равна $2700$ руб. Калькулятор сверху делает то же самое для любых коэффициентов: подвинь ползунок цены и посмотри, как эластичность проходит через границу $|E| = 1$.

Решение по шагам

Дано. $q(p) = 180 - 3p$, точка $p = 40$ руб.

Шаг 1. Берём производную. Функция линейная, поэтому производная постоянна и равна коэффициенту при $p$:

$$q'(p) = (180 - 3p)' = -3.$$

Минус здесь содержательный: с ростом цены спрос падает, и знак производной это фиксирует. Отбрасывать его нельзя, иначе эластичность получится положительной и ответ потеряет смысл.

Шаг 2. Подставляем в формулу эластичности. По определению эластичность равна произведению производной на отношение аргумента к функции:

$$E(p) = \frac{p}{q(p)} \cdot q'(p) = \frac{p}{180 - 3p} \cdot (-3) = \frac{-3p}{180 - 3p}.$$

Дробь удобно сократить на тройку: и числитель, и знаменатель делятся на неё без остатка.

$$E(p) = -\frac{p}{60 - p}.$$

Число $60$ в знаменателе появилось не случайно: это запретительная цена, при которой спрос обращается в ноль. Формула сразу показывает, что у линейного спроса эластичность зависит от точки, а не постоянна.

Шаг 3. Считаем значение в заданной точке. Подставляем $p = 40$:

$$E(40) = -\frac{40}{60 - 40} = -\frac{40}{20} = -2.$$

Тот же ответ получается и в лоб, без упрощения: $q(40) = 180 - 120 = 60$ шт., поэтому $E = \dfrac{40}{60} \cdot (-3) = -2$. Совпадение результатов и есть проверка алгебры.

Шаг 4. Читаем полученное число. Эластичность безразмерна и измеряет проценты: рост цены на $1\%$ снижает спрос примерно на $2\%$. Проверим напрямую. Цена $40 \to 40{,}4$ руб. (плюс один процент) даёт $q = 180 - 121{,}2 = 58{,}8$ шт., а это падение на $2\%$ от шестидесяти. Так как $|E| = 2 > 1$, спрос в этой точке эластичный: покупатели реагируют на цену сильнее, чем она меняется.

Шаг 5. Находим цену максимальной выручки. Выручка равна $TR = pq$, и её поведение полностью определяется эластичностью. Максимум достигается там, где эластичность становится единичной:

$$|E(p)| = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{p}{60 - p} = 1 \quad \Longrightarrow \quad p = 60 - p \quad \Longrightarrow \quad p = 30.$$

Проверяем производной: $TR(p) = p(180 - 3p) = 180p - 3p^2$, значит $TR'(p) = 180 - 6p$ и ноль достигается при $p = 30$. Выручка в этой точке равна $30 \cdot 90 = 2700$ руб., тогда как при $p = 40$ она составляет всего $40 \cdot 60 = 2400$ руб. Повышать цену выше тридцати рублей продавцу невыгодно.

Ответ: $E(p) = -\dfrac{p}{60 - p}$, в точке $p = 40$ руб. эластичность $E = -2$, спрос эластичный; выручка максимальна при $p = 30$ руб. и равна $2700$ руб.

Формула эластичности и откуда она берётся

Эластичность функции $y = f(x)$ в точке $x$ обозначают $E_x(y)$ и определяют так:

$$E_x(y) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y / y}{\Delta x / x} = \frac{x}{y} \cdot y'.$$

В числителе стоит относительное изменение функции, в знаменателе - относительное изменение аргумента. То есть эластичность отвечает на вопрос «на сколько процентов изменится $y$, если $x$ вырастет на один процент». Проценты в числителе и знаменателе сокращаются, поэтому результат безразмерен: его можно сравнивать у функций с разными единицами измерения, чего про производную не скажешь.

Переход от предела к формуле делается в одну строку. Отношение $\dfrac{\Delta y / y}{\Delta x / x}$ переписывают как $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \dfrac{x}{y}$, первый множитель при $\Delta x \to 0$ становится производной, второй от предельного перехода не зависит. Отсюда и рабочая запись $E = \dfrac{x}{y} \cdot y'$.

Есть и второй способ записать то же самое - через логарифмическую производную:

$$E_x(y) = \frac{d(\ln y)}{d(\ln x)}.$$

Эта форма объясняет, почему эластичность удобна в экономике и эконометрике: она равна наклону графика в логарифмических координатах. На ней же построен средний коэффициент эластичности в регрессии, где вместо точки берут средние значения выборки. Если функция сложная и производную приходится брать по цепному правилу, логарифмическая форма часто короче: логарифм превращает произведение в сумму.

Важно не путать эластичность с самой производной. Производная $q' = -3$ измеряется в штуках на рубль и зависит от того, в чём считают товар. Эластичность $E = -2$ - чистое число, и оно одинаково, считаем мы спрос в штуках, десятках или коробках.

Эластичность и выручка: где проходит граница

Связь эластичности с выручкой - главная причина, по которой эту величину считают. Продифференцируем $TR = pq(p)$ как произведение:

$$TR'(p) = q + p q' = q \left( 1 + \frac{p}{q} q' \right) = q \,(1 + E).$$

Множитель $q$ всегда положителен, поэтому знак производной выручки определяет только скобка. При $|E| > 1$ она отрицательна, и рост цены выручку уменьшает. При $|E| < 1$ скобка положительна, и цену выгодно поднимать. Ровно на границе $E = -1$ производная выручки равна нулю - это и есть точка максимума.

Для нашей функции картина укладывается в таблицу, её же рисует калькулятор сверху синей кривой:

Таблица симметрична относительно строки с единичной эластичностью: цены $20$ и $40$ руб. дают одну и ту же выручку, хотя спрос отличается вдвое. Это общее свойство линейного спроса: середина отрезка от нуля до запретительной цены всегда делит его на неэластичный и эластичный участки.

Через эластичность выражается и предельный доход: $MR = p\left(1 + \dfrac{1}{E}\right)$. При $p = 40$ и $E = -2$ получаем $MR = 40 \cdot 0{,}5 = 20$ руб. - столько добавит к выручке продажа ещё одной единицы товара. Тот же результат даёт прямое дифференцирование выручки по объёму, разобранное на странице про предельный доход. Для решения о выпуске его сравнивают с предельными издержками: максимум прибыли, в отличие от максимума выручки, лежит там, где эти две величины сравнялись.

Свойства эластичности: три проверки без вычислений

Точечная формула через производную работает для любой дифференцируемой функции, но у трёх семейств ответ известен заранее, и это экономит время на контрольной.

Степенная функция. Для $y = Ax^n$ производная равна $y' = Anx^{n-1}$, поэтому

$$E = \frac{x}{Ax^n} \cdot Anx^{n-1} = n.$$

Эластичность постоянна и равна показателю степени, а коэффициент $A$ в ответ не входит вовсе. Поэтому у функций $y = x^3$ и $y = 5x^3$ эластичность одинакова и равна трём. Спрос вида $q = Ap^{-n}$ по той же причине называют спросом с постоянной эластичностью: она равна $-n$ в любой точке, и выручка монотонно растёт или падает на всём диапазоне цен.

Показательная функция. Для $y = Ae^{kx}$ производная равна $ky$, поэтому $E = kx$: эластичность растёт линейно и проходит через единицу в точке $x = 1/k$. Переключи чипы калькулятора сверху - синяя кривая из горизонтальной прямой превратится в наклонную.

Произведение и частное. Логарифм превращает умножение в сложение, поэтому эластичности складываются:

$$E_x(uv) = E_x(u) + E_x(v), \qquad E_x\!\left(\frac{u}{v}\right) = E_x(u) - E_x(v).$$

Постоянный множитель на эластичность не влияет: $E_x(Cu) = E_x(u)$. А вот для суммы простого правила нет, там приходится возвращаться к общей формуле.

Наконец, встречается обратная постановка: спрос задан не как $q(p)$, а как обратная функция $p(q)$. Считать заново ничего не нужно - эластичности взаимно обратны: $E_q(p) = 1 / E_p(q)$. Для нашего примера $p = 60 - q/3$, и в точке $q = 60$ получаем $E_q(p) = -0{,}5$, что действительно равно $1/(-2)$.

Частые ошибки

• Считают эластичностью саму производную. Производная показывает изменение в единицах, эластичность - в процентах; в нашей задаче это числа $-3$ и $-2$, и подменять одно другим нельзя.
• Подставляют в знаменатель коэффициент $a$ вместо значения функции. В формуле стоит $q(p)$ в той же точке, где берут производную, то есть $60$, а не $180$.
• Отбрасывают минус и пишут $E = 2$. Знак несёт информацию о направлении связи: для спроса он отрицателен, для функции издержек от выпуска положителен. Модуль берут только на этапе классификации спроса.
• Считают эластичность линейной функции постоянной по аналогии со степенной. У $q = 180 - 3p$ постоянна производная, а эластичность меняется от нуля до минус бесконечности вдоль прямой.
• Применяют к функции, заданной формулой, дуговую формулу средней точки. Она предназначена для двух наблюдений «до и после» и разобрана отдельно в задаче про эластичность спроса по цене; при известной функции считают точечную эластичность через производную.
• Ищут максимум выручки, приравнивая к нулю производную спроса, а не производную выручки. Условие максимума $TR$ - это $TR' = 0$, что равносильно $E = -1$, а не $q' = 0$.

FAQ

Почему эластичность спроса отрицательна, а в учебниках её приводят положительной? Потому что часто пишут модуль: закон спроса заранее обеспечивает минус, и его опускают для краткости. В ответе на контрольной надёжнее указать знак и отдельно сказать, что по модулю эластичность равна двум.

Чем эластичность отличается от производной? Единицами измерения и смыслом. Производная отвечает на вопрос «на сколько единиц», эластичность - «на сколько процентов». Из-за этого производная меняется при смене единиц измерения, а эластичность нет, и только её можно сравнивать между разными товарами или моделями.

Как найти эластичность, если функция задана неявно или таблицей? При неявном задании берут производную неявной функции и подставляют в ту же формулу. Если есть только две пары чисел, точечная эластичность недоступна: считают дуговую по формуле средней точки, она даёт усреднённое значение на отрезке.

Что означает единичная эластичность? Что относительные изменения совпадают: аргумент вырос на процент, функция изменилась на тот же процент. Для спроса это точка максимума выручки, и именно её ищут, когда решают, стоит ли поднимать цену.

Коротко

1. Формула одна для всех дифференцируемых функций: $E = \dfrac{x}{y} \cdot y'$, то же самое в логарифмической форме $E = \dfrac{d(\ln y)}{d(\ln x)}$.
2. Порядок действий: взять производную, умножить на отношение аргумента к функции, упростить выражение, подставить точку.
3. Для $q(p) = 180 - 3p$ выходит $E(p) = -\dfrac{p}{60 - p}$, а в точке $p = 40$ получаем $E = -2$: спрос эластичный, рост цены на процент отнимает два процента спроса.
4. Знак $|E| - 1$ управляет выручкой: при $|E| > 1$ цену поднимать невыгодно, при $|E| < 1$ выгодно, при $|E| = 1$ выручка максимальна. Здесь это цена $30$ руб. и выручка $2700$ руб.
5. Запоминать стоит два частных случая: у степенной функции $y = Ax^n$ эластичность равна $n$ в любой точке, у показательной $y = Ae^{kx}$ она равна $kx$.