Как найти угловой коэффициент касательной: пример

Дано: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$, точка касания $x_0 = 2$, прямая $y = 11x - 5$. Найти: угловой коэффициент касательной в точке $x_0$, угол её наклона к оси $Ox$ и все точки, где касательная параллельна данной прямой.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания: $k = f'(x_0)$. Поэтому вся задача сводится к одному дифференцированию и подстановке. Ответ: $k = 2$, угол наклона $\alpha = \operatorname{arctg} 2 \approx 63{,}4^\circ$, а параллельна прямой $y = 11x - 5$ касательная в точках $x = -1$ и $x = 3$. Калькулятор сверху считает то же самое для любой точки: подвинь ползунок и посмотри, как меняются наклон и угол.

Решение по шагам

Дано. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$, $x_0 = 2$, прямая $y = 11x - 5$.

Шаг 1. Находим производную. Дифференцируем почленно, по правилу степени $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2.$

Шаг 2. Подставляем абсциссу точки касания. Именно значение производной в точке, а не сама функция, даёт наклон:

$k = f'(2) = 3 \cdot 4 - 6 \cdot 2 + 2 = 12 - 12 + 2 = 2.$

Угловой коэффициент найден: $k = 2$. Читается это так: если сдвинуться по касательной на единицу вправо, она поднимется на две единицы вверх.

Шаг 3. Переводим коэффициент в угол. По определению $k = \operatorname{tg}\alpha$, где $\alpha$ - угол между касательной и положительным направлением оси $Ox$:

$\alpha = \operatorname{arctg} 2 \approx 63{,}43^\circ \approx 63^\circ 26'.$

Угол острый, потому что коэффициент положительный: в точке $x_0 = 2$ функция возрастает.

Шаг 4. Дописываем уравнение касательной. Ордината точки касания: $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$, то есть касание происходит в точке $(2;\ 0)$. Подставляем в уравнение прямой через точку и наклон:

$y = 0 + 2(x - 2) = 2x - 4.$

Шаг 5. Ищем касательные, параллельные прямой. У прямой $y = 11x - 5$ угловой коэффициент равен $11$. Параллельность прямых означает равенство наклонов, поэтому приравниваем производную к этому числу:

$3x^2 - 6x + 2 = 11 \quad \Longrightarrow \quad 3x^2 - 6x - 9 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 2x - 3 = 0.$

По теореме Виета корни $x = -1$ и $x = 3$. Проверяем, что касательные не совпадают с данной прямой: $f(-1) = -6$ даёт $y = 11x + 5$, а $f(3) = 6$ даёт $y = 11x - 27$. Обе прямые отличаются от $y = 11x - 5$ свободным членом, значит, они действительно параллельны ей, а не совпадают с ней.

Ответ: $k = f'(2) = 2$; угол наклона $\alpha \approx 63^\circ 26'$; касательная параллельна прямой $y = 11x - 5$ в точках $x = -1$ и $x = 3$.

Формула и откуда она берётся

Формула короткая: $k = f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha$. Здесь $k$ - угловой коэффициент касательной, $f'(x_0)$ - производная в точке касания, $\alpha$ - угол наклона касательной к положительному направлению оси $Ox$.

Появляется она из определения производной. Возьмём вторую точку графика с абсциссой $x_0 + \Delta x$ и проведём секущую. Её угловой коэффициент - это отношение приращений:

$k_{\text{сек}} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.$

Когда $\Delta x$ стремится к нулю, вторая точка скользит по графику к первой, секущая поворачивается и в пределе становится касательной. Предел правой части - это и есть производная. Значит, наклон касательной равен $f'(x_0)$, а отношение $\Delta y / \Delta x$ в прямоугольном треугольнике на графике равно тангенсу угла наклона. Отсюда сразу и вторая часть равенства.

Полное уравнение касательной и перпендикулярной ей нормали разобрано отдельно в статье про уравнение касательной и нормали к графику: там формула $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ выводится целиком. Для нашей задачи важен только первый множитель - сам коэффициент.

Как перевести коэффициент в угол и обратно

Перевод в обе стороны делается тангенсом и арктангенсом. Угол наклона принято брать в промежутке от $0^\circ$ до $180^\circ$, поэтому при отрицательном коэффициенте к арктангенсу добавляют $180^\circ$. Полезно помнить опорные значения:

Знак коэффициента и есть ответ на вопрос, растёт функция в точке или падает: положительный $k$ - острый угол и возрастание, отрицательный - тупой угол и убывание. На этом же признаке строится поиск промежутков возрастания функции, только там смотрят знак производной на целом интервале, а не в одной точке.

Обратная задача: наклон известен, точка нет

Условие часто формулируют наоборот: касательная параллельна какой-то прямой или наклонена под заданным углом, а найти надо точку касания. Схема одна и та же: из условия вытаскиваем число $k$, приравниваем к нему производную и решаем уравнение $f'(x) = k$ относительно $x$.

Если касательная задана углом, сначала берём тангенс. Для угла $135^\circ$ получаем $k = \operatorname{tg} 135^\circ = -1$, и уравнение принимает вид:

$3x^2 - 6x + 2 = -1 \quad \Longrightarrow \quad 3x^2 - 6x + 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x - 1)^2 = 0.$

Корень один и он двукратный: $x = 1$. Точка касания $(1;\ 0)$, касательная $y = -x + 1$. Двукратность здесь не случайна: перепишем производную как $f'(x) = 3(x-1)^2 - 1$. Отсюда видно, что наименьшее значение производной равно $-1$ и достигается ровно в одной точке. Поэтому касательной под углом $120^\circ$ (то есть с $k \approx -1{,}73$) у этого графика не существует вовсе - попробуй задать такой наклон в калькуляторе сверху, он покажет ноль точек.

Отдельный случай - горизонтальная касательная, $k = 0$. Уравнение $3x^2 - 6x + 2 = 0$ даёт $x = 1 \pm \tfrac{\sqrt{3}}{3}$, и это как раз точки максимума и минимума. Если функция сложная, то есть представляет собой композицию, производную перед этим придётся брать по цепному правилу, а дальше всё работает без изменений.

Ещё одна формулировка условия - прямая, заданная в общем виде $Ax + By + C = 0$. Её угловой коэффициент равен $-A/B$, а не $A$: сначала выражают $y$, и только потом берут число перед $x$.

Частые ошибки

• Подставляют абсциссу в саму функцию вместо производной и выдают $f(x_0)$ за угловой коэффициент. В нашей задаче это дало бы $0$ вместо $2$: ордината точки касания и наклон касательной - разные числа.
• Считают арктангенс в радианах и записывают ответ как $1{,}107$ градуса. Если в задаче спрашивают угол в градусах, калькулятор должен стоять в градусном режиме.
• Для отрицательного коэффициента пишут отрицательный угол: при $k = -1$ отвечают $-45^\circ$ вместо $135^\circ$. Угол наклона отсчитывают против часовой стрелки от оси $Ox$ и берут в промежутке $[0^\circ;\ 180^\circ)$.
• В задаче на параллельность ищут точку пересечения графика с прямой. Пересечение и параллельность касательной - разные условия: приравнивать надо производную к наклону, а не функцию к прямой.
• Забывают проверить, не совпадает ли найденная касательная с данной прямой. Если совпала, условие параллельности формально нарушено и такой корень отбрасывают.
• Теряют решения, останавливаясь на первом корне квадратного уравнения. Уравнение $f'(x) = k$ для кубической функции даёт до двух точек, и в ответ идут обе.

FAQ

Чем угловой коэффициент отличается от производной? Это одно и то же число, но названное с разных сторон. Производная $f'(x_0)$ - понятие анализа, предел отношения приращений. Угловой коэффициент - понятие геометрии, множитель перед $x$ в уравнении прямой. Совпадают они именно для касательной в точке $x_0$.

Что означает отрицательный угловой коэффициент? Что функция в этой точке убывает, а касательная наклонена влево-вверх. Угол наклона тогда тупой: он лежит между $90^\circ$ и $180^\circ$. Например, $k = -1$ соответствует ровно $135^\circ$.

Может ли углового коэффициента не быть? Да, если касательная вертикальна. Тогда $\alpha = 90^\circ$, тангенс не определён, и коэффициента не существует, хотя касательная есть. Пример: график $y = \sqrt[3]{x}$ в нуле, где производная обращается в бесконечность.

Сколько точек может дать условие о параллельности? Столько, сколько корней у уравнения $f'(x) = k$. У кубической функции их обычно два, у параболы всегда ровно один, у синуса бесконечно много, а при неподходящем $k$ может не быть ни одного.

Коротко

1. Угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания: $k = f'(x_0)$, и он же равен тангенсу угла наклона к оси $Ox$.
2. Порядок действий: продифференцировать функцию, подставить $x_0$, получить $k$, при необходимости взять арктангенс для угла.
3. Для $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ и $x_0 = 2$: $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$, $k = 2$, $\alpha \approx 63^\circ 26'$, касательная $y = 2x - 4$.
4. Обратная задача решается уравнением $f'(x) = k$: для прямой $y = 11x - 5$ получаем $x = -1$ и $x = 3$, для угла $135^\circ$ - единственную точку $x = 1$.
5. Знак $k$ читается сразу: плюс - острый угол и возрастание, ноль - горизонтальная касательная и подозрение на экстремум, минус - тупой угол и убывание.