Как найти область определения дроби: по шагам

Дано: $f(x) = \dfrac{x - 1}{x^2 - 7x + 10} + \dfrac{4}{x + 3}$. Найти: область определения $D(f)$, ответ записать промежутками.

У дроби ровно одно запретное место, нулевой знаменатель, а знаменателей здесь два. Приравниваем каждый к нулю, находим запрещённые числа и выкалываем их из числовой прямой. Ответ: $D(f) = (-\infty;\,-3) \cup (-3;\,2) \cup (2;\,5) \cup (5;\,+\infty)$. Калькулятор сверху решает ту же задачу для любых коэффициентов знаменателя и показывает, в каких точках график рвётся.

Решение по шагам

Дано. $f(x) = \dfrac{x - 1}{x^2 - 7x + 10} + \dfrac{4}{x + 3}$. Найти: $D(f)$.

Шаг 1. Выписываем условия. Область определения функции, заданной формулой, это множество тех $x$, при которых все операции в записи выполнимы. Сложение, вычитание, умножение и возведение в натуральную степень выполнимы для любого числа, поэтому ограничение даёт только деление. Остаются знаменатели, и на каждый пишется своё условие:

$$\begin{cases} x^2 - 7x + 10 \ne 0, \\ x + 3 \ne 0. \end{cases}$$

Это система, а не совокупность: точка попадает в область определения, только если оба условия выполнены одновременно. Числитель $x - 1$ в систему не входит вовсе, и это не забывчивость, а суть дела, к ней вернёмся в следующем разделе.

Шаг 2. Находим нули квадратного знаменателя. Решаем уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$ через дискриминант:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9, \qquad \sqrt{D} = 3, \qquad x_{1,2} = \frac{7 \pm 3}{2}.$$

Получаем $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$. Те же числа видны и без дискриминанта: по теореме Виета сумма корней равна $7$, произведение равно $10$, а такая пара целых чисел единственная. Значит, знаменатель раскладывается на множители:

$$x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5).$$

Разложенная запись удобнее исходной: из неё сразу видно, что запретных точек ровно две, и она же понадобится, если дробь окажется под корнем.

Шаг 3. Находим нуль второго знаменателя. Линейное уравнение $x + 3 = 0$ решается в одну строку: $x = -3$. Всего накопилось три запрета: $x \ne -3$, $x \ne 2$, $x \ne 5$.

Шаг 4. Выкалываем точки и записываем ответ. Неравенств здесь решать не нужно: из всей числовой прямой выбрасываются ровно три числа. Расставляем их по возрастанию, $-3 < 2 < 5$, и видим, что три точки режут прямую на четыре куска. Все концы этих кусков выколоты, поэтому скобки везде круглые:

$$D(f) = (-\infty;\,-3) \cup (-3;\,2) \cup (2;\,5) \cup (5;\,+\infty).$$

Ответ: $D(f) = (-\infty;\,-3) \cup (-3;\,2) \cup (2;\,5) \cup (5;\,+\infty)$, то же самое короче: $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-3;\,2;\,5\}$.

Проверка. При $x = 2$ первый знаменатель равен $4 - 14 + 10 = 0$, дробь смысла не имеет, и точка действительно выколота. А при $x = 1$, где обращается в нуль числитель, всё считается: $f(1) = \dfrac{0}{4} + \dfrac{4}{4} = 1$. Значение существует, единица входит в область определения.

Почему условие ставится только на знаменатель

Деление на нуль не определено, и никакого соглашения, которое бы его доопределяло, в анализе нет. Поэтому любая дробная черта порождает ровно один запрет: выражение под ней не должно обращаться в нуль. Числитель при этом свободен: нуль в числителе даёт нулевое значение дроби, а нуль это совершенно законное число.

Отсюда и главная ошибка новичка. Привычка решать уравнения тянет приравнять к нулю числитель, но найденные так точки, наоборот, принадлежат области определения и являются нулями функции. Их ищут в другой задаче, при построении графика.

Выколотые точки дробно-рациональной функции это её точки разрыва: в каждой из них функция не определена, а слева и справа уходит в бесконечность. Если нужно классифицировать такие точки и посчитать односторонние пределы, это разобрано в задаче про точки разрыва функции, а вертикальные прямые $x = -3$, $x = 2$, $x = 5$ окажутся вертикальными асимптотами графика, см. разбор про асимптоты графика.

Отдельно стоит случай общего множителя. Если бы в условии стояла дробь $\dfrac{x - 2}{(x - 2)(x - 5)}$, сократить её на $x - 2$ можно только при $x \ne 2$: сокращение меняет формулу, но не возвращает потерянную точку. Область определения всегда считается по исходной записи, а не по упрощённой.

Дробь под корнем и дробь под логарифмом

Если ту же дробь поставить под знак корня или логарифма, условие «знаменатель не нуль» никуда не денется, но к нему добавится требование на знак. Обозначим $g(x) = \dfrac{x - 1}{(x - 2)(x - 5)}$ и разберём оба случая.

Для $\sqrt{g(x)}$ нужно $g(x) \ge 0$. Раскладывать дробь на множители мы уже умеем, дальше работает метод интервалов: отмечаем на прямой нуль числителя $x = 1$ и нули знаменателя $x = 2$, $x = 5$ и смотрим знак каждого множителя.

Годятся промежутки со знаком «плюс», причём точка $x = 1$ входит в ответ, а точки $2$ и $5$ выколоты даже при нестрогом неравенстве: там знаменатель обращается в нуль. Получаем $D = [1;\,2) \cup (5;\,+\infty)$. Для $\lg g(x)$ неравенство становится строгим, $g(x) > 0$, и единица тоже выкалывается: $D = (1;\,2) \cup (5;\,+\infty)$. Разница в одной скобке, а стоит она балла на контрольной. Полный разбор этих двух конструкций отдельно есть в задачах про область определения корня и про область определения логарифма, а техника расстановки знаков подробно описана в статье про дробно-рациональные неравенства. Переключатель в калькуляторе сверху показывает все четыре варианта на одних и тех же числах.

Дробь в знаменателе дроби и запись ответа промежутками

Многоэтажная дробь пугает больше, чем стоит: правило остаётся прежним, просто условие пишется на каждую дробную черту. Для $f(x) = \dfrac{1}{\dfrac{1}{x} - 2}$ внутренняя черта требует $x \ne 0$, а внешняя требует $\dfrac{1}{x} - 2 \ne 0$, то есть $\dfrac{1}{x} \ne 2$ и $x \ne 0{,}5$. Ответ: $D(f) = (-\infty;\,0) \cup (0;\,0{,}5) \cup (0{,}5;\,+\infty)$. Точка $0$ видна только в исходной записи, после упрощения дроби она исчезает, и её теряют чаще всего.

Про оформление ответа стоит сказать отдельно. Промежутки пишутся по возрастанию и соединяются знаком объединения $\cup$, а не запятой и не словом «или». Возле выколотой точки скобка всегда круглая, причём одна и та же точка даёт круглую скобку дважды, справа от предыдущего промежутка и слева от следующего. Возле $\pm\infty$ скобка тоже круглая: бесконечность не число и в множество не входит. Запись $\mathbb{R} \setminus \{-3;\,2;\,5\}$ равносильна ответу промежутками, но если в условии сказано «запишите промежутками», нужна именно развёрнутая форма.

Частые ошибки

• Приравнивают к нулю числитель и выкалывают его нули. Числитель на область определения не влияет: его нули это нули самой функции, а не запреты.
• Находят корни квадратного трёхчлена и забывают про второй знаменатель. Условие пишется на каждую дробную черту, даже если знаменатель линейный.
• Сокращают дробь до поиска области определения. После сокращения $\dfrac{x - 2}{(x - 2)(x - 5)}$ на общий множитель точка $x = 2$ пропадает из записи, но из области определения она не возвращается.
• Ставят квадратные скобки у выколотых точек. Если знаменатель обращается в нуль, скобка круглая всегда, независимо от того, строгое ли неравенство пришло из корня.
• Записывают ответ через запятую: $(-\infty;-3), (-3;2)$. Это перечисление промежутков, а нужно их объединение через $\cup$.
• Забывают выколоть нули знаменателя, когда дробь стоит под корнем с нестрогим неравенством $g(x) \ge 0$. Знак «больше или равно» относится к дроби целиком, а не разрешает нулевой знаменатель.

FAQ

Нужно ли решать неравенство, если под дробью нет ни корня, ни логарифма? Нет. Для обычной дробно-рациональной функции область определения находится решением уравнений «знаменатель равен нулю», а найденные корни просто выкалываются. Неравенства появляются только вместе с корнем чётной степени, логарифмом, арксинусом или арккосинусом.

Что делать, если дискриминант знаменателя отрицательный? Значит, у знаменателя нет действительных корней, он не обращается в нуль ни при каком $x$, и эта дробь ничего не запрещает. Например, у $\dfrac{x + 4}{x^2 + x + 1}$ дискриминант равен $-3$, и область определения совпадает со всей числовой прямой.

Как быть, если знаменатель равен нулю в одной точке? При нулевом дискриминанте квадратный трёхчлен имеет один корень, выкалывается одна точка, и ответ состоит из двух промежутков. Проверить это удобно калькулятором сверху: выбери режим «Одна дробь» и поставь $b = -4$, $c = 4$, тогда знаменатель превратится в $(x - 2)^2$, а ответом станет $(-\infty;\,2) \cup (2;\,+\infty)$.

Совпадает ли область определения с множеством, где функция непрерывна? Для дробно-рациональной функции да: она непрерывна всюду, где определена. Выколотые точки дают разрывы второго рода, и график около них уходит вверх или вниз вдоль вертикальной асимптоты.

Коротко

1. Область определения дроби задаётся условием «знаменатель не равен нулю», и это условие пишется на каждую дробную черту в записи функции.
2. Приравниваем знаменатели к нулю: $x^2 - 7x + 10 = 0$ даёт $x = 2$ и $x = 5$, уравнение $x + 3 = 0$ даёт $x = -3$.
3. Выкалываем три точки из числовой прямой и записываем куски по возрастанию, все скобки круглые.
4. Ответ примера: $D(f) = (-\infty;\,-3) \cup (-3;\,2) \cup (2;\,5) \cup (5;\,+\infty)$, он же $\mathbb{R} \setminus \{-3;\,2;\,5\}$.
5. Под корнем к условию добавляется $g(x) \ge 0$ и метод интервалов, под логарифмом неравенство становится строгим, а нули знаменателя выкалываются в обоих случаях.