Как найти точки разрыва функции: решение по шагам

Дано: $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$. Найти: все точки разрыва и тип каждого из них.

Дробь рвётся только там, где обнуляется знаменатель, поэтому весь разбор сводится к двум подозрительным точкам: $x = 1$ и $x = 2$. В каждой считаем односторонние пределы, и уже они выносят вердикт. Ответ: $x = 2$ - устранимый разрыв, предел в нём равен $4$; $x = 1$ - разрыв второго рода, прямая $x = 1$ служит вертикальной асимптотой. Калькулятор сверху проделывает то же самое для любых корней числителя и знаменателя: сокращает общие множители и сам определяет тип каждой точки.

Решение по шагам

Дано. Функция $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$. Найти: точки разрыва и их классификацию.

Шаг 1. Область определения. Многочлены непрерывны на всей числовой прямой, а частное непрерывных функций непрерывно всюду, где знаменатель отличен от нуля. Значит подозрительны ровно нули знаменателя. Решаем квадратное уравнение:

$$x^2 - 3x + 2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 1, \qquad x_2 = 2.$$

Отсюда $D(f) = (-\infty;\,1) \cup (1;\,2) \cup (2;\,+\infty)$. Больше кандидатов нет: во всех остальных точках функция непрерывна автоматически.

Шаг 2. Раскладываем на множители. Числитель это разность квадратов, знаменатель раскладывается по найденным корням:

$$f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 1)(x - 2)}.$$

Общий множитель $(x - 2)$ виден сразу, и это ключ ко всей задаче: в точке $x = 2$ будет неопределённость вида $\tfrac{0}{0}$, а такие неопределённости чаще всего снимаются сокращением. При всех $x \neq 2$ дробь равна упрощённому выражению:

$$f(x) = \frac{x + 2}{x - 1}, \qquad x \neq 1,\; x \neq 2.$$

Сокращать множитель законно именно потому, что предел описывает поведение около точки, а не в ней самой: значение $x = 2$ в предельном переходе не участвует.

Шаг 3. Точка $x = 2$: считаем оба предела. Подставляем упрощённое выражение и берём пределы слева и справа:

$$\lim_{x \to 2 - 0} \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{4}{1} = 4, \qquad \lim_{x \to 2 + 0} \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{4}{1} = 4.$$

Числовая проверка подтверждает: $f(1{,}9) = \tfrac{3{,}9}{0{,}9} \approx 4{,}33$, а $f(2{,}1) = \tfrac{4{,}1}{1{,}1} \approx 3{,}73$, значения жмутся к четвёрке с обеих сторон. Пределы конечны и равны между собой, но самого значения $f(2)$ не существует: подстановка даёт $\tfrac{0}{0}$. Это устранимый разрыв.

Шаг 4. Точка $x = 1$: смотрим на знак знаменателя. Здесь сокращать нечего. Числитель упрощённой дроби стремится к $1 + 2 = 3$, то есть к ненулевому числу, а знаменатель $x - 1$ стремится к нулю. Итог зависит от знака знаменателя:

$$\lim_{x \to 1 - 0} \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{3}{-0} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 1 + 0} \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{3}{+0} = +\infty.$$

Слева от единицы разность $x - 1$ отрицательна, справа положительна, отсюда и разные знаки бесконечности. Считаем контрольные значения: $f(0{,}9) = \tfrac{2{,}9}{-0{,}1} = -29$, а $f(1{,}1) = \tfrac{3{,}1}{0{,}1} = 31$. Хотя бы один односторонний предел бесконечен, значит это разрыв второго рода.

Шаг 5. Доопределение и асимптоты. Устранимый разрыв на то и устранимый, что чинится одним значением. Положим $f(2) = 4$: получится функция, непрерывная в двойке, а на графике выколотая точка просто закроется. Точку $x = 1$ починить нельзя ничем, зато она даёт вертикальную асимптоту. Заодно посмотрим поведение на бесконечности: степени числителя и знаменателя совпадают, старшие коэффициенты равны единице, поэтому $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1$, и график имеет горизонтальную асимптоту $y = 1$.

Ответ: точки разрыва $x = 1$ и $x = 2$. В точке $x = 2$ разрыв устранимый, предел равен $4$; в точке $x = 1$ разрыв второго рода, прямая $x = 1$ вертикальная асимптота.

Три типа разрыва: определение и таблица

Функция непрерывна в точке $x_0$, когда выполнены три условия сразу: она определена в этой точке, у неё существуют оба односторонних предела и они равны, а их общее значение совпадает с $f(x_0)$. Нарушение любого из трёх пунктов и есть разрыв, а тип разрыва определяется тем, какое именно условие сломалось.

Классификацию строят по односторонним пределам $f(x_0 - 0)$ и $f(x_0 + 0)$, потому что именно они видят поведение функции с каждой стороны отдельно.

Устранимый разрыв тоже относят к первому роду: там предел существует, просто функция в точке о нём не знает. Величину скачка считают как разность $f(x_0 + 0) - f(x_0 - 0)$, и у устранимого разрыва она равна нулю.

Как определить знак предела у полюса

Самая частая заминка в шаге 4 это знак бесконечности. Работает простое правило: подставь в упрощённое выражение точку чуть левее и чуть правее подозрительной, например $x_0 \pm 0{,}1$, и посмотри на знак результата. Числитель около полюса знака не меняет, всё решает знаменатель.

Если знаменатель разложен на множители, знак читается ещё быстрее методом интервалов: он подробно разобран в статье про дробно-рациональные неравенства, и техника там ровно та же. Нули знаменателя разбивают прямую на промежутки, на каждом знак постоянен, а при переходе через корень нечётной кратности меняется.

Кратность корня влияет и на картинку. Если множитель входит в знаменатель в чётной степени, как в $\dfrac{1}{(x - 1)^2}$, то знак с обеих сторон одинаков и обе ветви уходят в $+\infty$. При нечётной кратности ветви расходятся в разные стороны, как в нашей задаче. Неопределённость $\tfrac{0}{0}$, если её не удаётся снять сокращением, раскрывают через правило Лопиталя или через эквивалентные бесконечно малые.

Разрыв первого рода со скачком: кусочная функция

Дробно-рациональная функция скачка дать не может, поэтому третий тип показывают на кусочно заданной. Возьмём

$$g(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x < 1, \\ 3x, & x \geqslant 1. \end{cases}$$

Подозрительна только точка стыка $x = 1$: внутри каждого куска стоят непрерывные функции. Слева работает первая формула, справа вторая:

$$g(1 - 0) = 1^2 + 1 = 2, \qquad g(1 + 0) = 3 \cdot 1 = 3, \qquad g(1) = 3.$$

Оба предела конечны, но не равны: получаем разрыв первого рода со скачком величиной $3 - 2 = 1$. Функция непрерывна справа, потому что правый предел совпал со значением, но в целом в точке $x = 1$ она разрывна.

Отсюда практическое правило для кусочных функций: проверяй только точки стыка формул и точки, где сами формулы теряют смысл. Если требуется подобрать параметр так, чтобы разрыва не было, приравнивают односторонние пределы друг другу и значению функции. В нашем примере замена $3x$ на $2x$ дала бы $g(1 + 0) = 2 = g(1 - 0)$, и функция стала бы непрерывной.

У тригонометрических функций разрывы повторяются: у $\operatorname{tg} x$ полюс сидит в каждой точке $\pi/2 + \pi k$, поэтому достаточно разобрать один промежуток и перенести картину на остальные - как определить шаг такого повтора, разобрано в задаче про период функции.

Частые ошибки

• Считают точками разрыва все нули знаменателя без проверки. Пока не посчитаны односторонние пределы, точка лишь кандидат: в двойке у нас разрыв устранимый, а не бесконечный, и в ответе это надо различать.
• Забывают, что точка разрыва обязана быть предельной для области определения. У $y = \sqrt{x - 3}$ точка $x = 2$ не разрыв, а просто место вне области определения: функция там не задана даже односторонне.
• Пишут один общий предел вместо двух односторонних. Именно сравнение $f(x_0 - 0)$ и $f(x_0 + 0)$ отличает устранимый разрыв от скачка, без него классификация невозможна.
• Теряют знак у бесконечности. Запись $\pm\infty$ вместо конкретного знака слева и справа стоит балла: у полюса нечётной кратности ветви обязаны разойтись.
• Сокращают дробь и на этом останавливаются. После сокращения точка не исчезает из области определения: $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ и исходная дробь совпадают всюду, кроме $x = 2$, где у исходной дырка.
• Путают разрыв с экстремумом или перегибом. Разрыв ищут по пределам, а не по производной; за максимумы отвечает исследование функции на экстремум, за выпуклость точки перегиба.

FAQ

Чем разрыв первого рода отличается от разрыва второго рода? У первого рода оба односторонних предела конечны: функция либо имеет дырку, либо прыгает с одного конечного уровня на другой. У второго рода хотя бы один предел бесконечен или не существует вовсе, как у $\sin\tfrac{1}{x}$ в нуле, где функция бесконечно колеблется.

Всегда ли точка разрыва даёт вертикальную асимптоту? Нет. Асимптота появляется только при бесконечном одностороннем пределе, то есть у разрывов второго рода. Устранимый разрыв и скачок оставляют график ограниченным, асимптоты там нет.

Как искать разрывы у функции с показателем, например $2^{1/(x - 3)}$? Подозрительна точка, где показатель теряет смысл, здесь $x = 3$. Слева $\tfrac{1}{x - 3} \to -\infty$ и функция стремится к нулю, справа показатель уходит в $+\infty$ и функция тоже. Правый предел бесконечен, значит разрыв второго рода, хотя левый совершенно конечен.

Сколько точек разрыва может быть у функции? Сколько угодно, вплоть до бесконечного множества: у $\operatorname{tg} x$ разрывы второго рода в каждой точке $\tfrac{\pi}{2} + \pi n$. Ограничение появляется лишь для конкретных классов, например у дробно-рациональной функции их не больше степени знаменателя. Про поведение непрерывных функций на отрезке полезно прочитать в разборе теоремы Кантора о равномерной непрерывности.

Коротко

1. Найти область определения: для дроби это нули знаменателя, для кусочной функции точки стыка формул, для логарифмов и корней границы допустимых значений.
2. Разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие множители, запомнив, что выколотые точки при сокращении никуда не деваются.
3. В каждой подозрительной точке посчитать оба односторонних предела по упрощённому выражению.
4. Классифицировать: конечны и равны это устранимый разрыв, конечны и различны это скачок первого рода, хотя бы один бесконечен это второй род и вертикальная асимптота.
5. Для $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$ получаем $x = 2$ устранимый разрыв с пределом $4$ и $x = 1$ разрыв второго рода с пределами $-\infty$ слева и $+\infty$ справа.