Как найти точки перегиба функции: решение по шагам

Дано: $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Найти: точки перегиба и промежутки выпуклости вверх и вниз.

Работает только вторая производная: приравниваем её к нулю, получаем кандидатов и проверяем, меняет ли $f''$ знак при переходе через каждого из них. Ответ: точки перегиба $(-1;\,0)$ и $(1;\,0)$; график выпуклый вниз на $(-\infty;\,-1)$ и на $(1;\,+\infty)$, выпуклый вверх на $(-1;\,1)$. Калькулятор сверху пересчитывает корни второй производной, ординаты перегибов и промежутки выпуклости под любые коэффициенты многочлена.

Решение по шагам

Дано. Функция $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Найти: абсциссы и ординаты точек перегиба, промежутки выпуклости вверх и вниз.

Шаг 1. Область определения. Многочлен определён и дифференцируем сколько угодно раз при любом вещественном $x$, поэтому $D(f) = (-\infty;\,+\infty)$. Это важнее, чем кажется: точка перегиба обязана принадлежать области определения, и у дробей с логарифмами именно здесь отсеивается половина ложных кандидатов.

Шаг 2. Первая производная. Дифференцируем почленно:

$$f'(x) = 4x^3 - 12x.$$

Её нули дают экстремумы, а не перегибы, и в этой задаче они не нужны: первая производная здесь только промежуточный результат по дороге ко второй. Если требуется полное исследование, экстремумы разобраны отдельно в задаче исследование функции на экстремум, а знаки $f'$ и монотонность в разборе про промежутки возрастания.

Шаг 3. Вторая производная. Дифференцируем ещё раз и сразу раскладываем на множители:

$$f''(x) = 12x^2 - 12 = 12\,(x - 1)(x + 1).$$

Шаг 4. Кандидаты в точки перегиба. Приравниваем вторую производную к нулю:

$$12\,(x - 1)(x + 1) = 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = -1, \qquad x_2 = 1.$$

Вторая производная многочлена существует всюду, значит других кандидатов нет: точек, где $f''$ не определена, у нас не появится.

Шаг 5. Смена знака. Две найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка. Берём в каждом по пробной точке и смотрим знак $f''(x) = 12x^2 - 12$:

Знак меняется и при переходе через $x = -1$, и при переходе через $x = 1$. Достаточное условие выполнено в обеих точках.

Шаг 6. Ординаты. Точка перегиба лежит на графике, поэтому в ответ идут обе координаты. Подставляем абсциссы в исходную функцию:

$$f(-1) = 1 - 6 + 5 = 0, \qquad f(1) = 1 - 6 + 5 = 0.$$

Ответ: точки перегиба $(-1;\,0)$ и $(1;\,0)$. График выпуклый вниз на $(-\infty;\,-1)$ и $(1;\,+\infty)$, выпуклый вверх на $(-1;\,1)$.

Формула и откуда она берётся

Вторая производная это скорость изменения наклона. Если $f''(x) > 0$ на промежутке, то $f'$ возрастает, касательная поворачивается против часовой стрелки, а график лежит выше любой своей касательной: это выпуклость вниз, знакомая по параболе-чаше. При $f''(x) < 0$ наклон убывает, график прижимается ниже касательной и выпуклость смотрит вверх.

Точка перегиба это как раз граница двух таких режимов: точка графика, в которой направление выпуклости меняется на противоположное. Наглядно это выглядит так, что в перегибе кривая переходит с одной стороны своей касательной на другую, а сама касательная её пересекает.

Отсюда необходимое условие. Если в точке $x_0$ есть перегиб и в ней существует вторая производная, то $f''(x_0) = 0$. Обратное неверно, и в этом главная ловушка темы: равенство нулю только выдвигает кандидата, а решает всё смена знака. Подробнее про смысл производных второго и высших порядков написано в статье про производные высших порядков.

Второй способ: третья производная

Для многочленов быстрее работает признак по третьей производной: если $f''(x_0) = 0$ и при этом $f'''(x_0) \neq 0$, то $x_0$ точка перегиба. Пробные точки брать не нужно, достаточно одной подстановки. В нашей задаче

$$f'''(x) = 24x, \qquad f'''(-1) = -24 \neq 0, \qquad f'''(1) = 24 \neq 0,$$

то есть обе точки подтверждаются мгновенно. Знак $f'''$ попутно говорит, в какую сторону идёт переход: минус означает смену выпуклости с нижней на верхнюю, плюс наоборот.

Признак ненадёжен ровно в одном случае: когда третья производная в кандидате тоже обнуляется. Тогда он не даёт ответа ни в какую сторону, и надо возвращаться к пробным точкам. У $f(x) = x^4$ в нуле $f'' = 12x^2$ и $f''' = 24x$ обращаются в нуль, перегиба нет; у $f(x) = x^5$ там же $f'' = 20x^3$ и $f''' = 60x^2$ тоже нули, а перегиб есть. Один и тот же вердикт третьей производной, два разных ответа: значит, метод в этой ситуации просто неприменим.

Когда корень второй производной перегиба не даёт

Три типовых случая, из-за которых ответ разъезжается с эталоном.

Нет смены знака. У $f(x) = x^4$ вторая производная $12x^2$ неотрицательна везде, в нуле она равна нулю, но по обе стороны знак один и тот же. Кривая остаётся выпуклой вниз, перегиба в нуле нет, хотя необходимое условие формально выполнено.

Точка вне области определения. У $f(x) = 1/x$ вторая производная равна $2/x^3$: слева от нуля она отрицательна, справа положительна, знак меняется. Но $x = 0$ в область определения не входит, там разрыв, а не перегиб. Через точку разрыва выпуклость просто не сравнивают.

Второй производной не существует. У $f(x) = \sqrt[3]{x}$ в нуле нет ни первой, ни второй производной, зато $f''(x) = -\tfrac{2}{9}x^{-5/3}$ меняет знак с плюса на минус при переходе через нуль, а сама функция непрерывна. Перегиб есть, касательная в нём вертикальна. Поэтому в список кандидатов идут не только корни уравнения $f'' = 0$, но и точки, где $f''$ не определена, а функция непрерывна.

Полезно посмотреть, как всё это работает на неполиномиальной кривой: у локона Аньези вторая производная дробная, перегибы находятся в точках $x = \pm 2a/\sqrt{3}$, и метод там ровно тот же.

Частые ошибки

• Ищут перегибы по первой производной. Нули $f'$ отвечают за экстремумы, нули $f''$ за перегибы. Функция может иметь перегиб там, где растёт, и не иметь его в точке минимума.
• Останавливаются на $f'' = 0$. Корень это только кандидат. Без проверки смены знака ответ засчитывают редко, а на $x^4$ он просто неверен.
• Забывают точки, где $f''$ не существует. Корни кубические, модули и дроби дают перегибы вне уравнения $f'' = 0$.
• Включают в ответ точки разрыва. Смена знака второй производной через вертикальную асимптоту перегибом не является.
• Путают направление выпуклости. В стандартной записи $f'' > 0$ означает выпуклость вниз, а не вверх. Проверяйте на параболе $y = x^2$: у неё $f'' = 2 > 0$ и ветви смотрят вверх, то есть выпуклость направлена вниз.
• Пишут в ответе только абсциссу. Точка перегиба это точка графика, нужны обе координаты, а ординату получают подстановкой в исходную $f$, не в производную.

FAQ

Чем точка перегиба отличается от точки экстремума? В экстремуме меняется направление роста функции, там $f'$ обращается в нуль или не существует. В перегибе меняется направление выпуклости, а отвечает за это $f''$. Одна и та же точка бывает и тем, и другим лишь в вырожденных случаях, обычно это разные точки графика.

Может ли в точке перегиба касательная быть горизонтальной? Да. У $f(x) = x^3$ в нуле $f'(0) = 0$ и $f''(0) = 0$, вторая производная $6x$ меняет знак, поэтому там перегиб с горизонтальной касательной, а экстремума нет. Такой случай часто маскируется под подозрительный экстремум.

Сколько точек перегиба может быть у многочлена? Вторая производная многочлена степени $n$ имеет степень $n - 2$, поэтому корней у неё не больше $n - 2$, и перегибов не больше того же числа. У кубической функции перегиб максимум один, у функции четвёртой степени, как в нашей задаче, максимум два.

Обязательно ли функция дифференцируема в точке перегиба? Нет. Достаточно непрерывности функции в этой точке и смены знака выпуклости вокруг неё. Пример с кубическим корнем показывает перегиб при вертикальной касательной, где производной нет вовсе.

Коротко

1. Найти область определения: кандидаты вне неё не рассматриваются.
2. Продифференцировать дважды и решить уравнение $f''(x) = 0$, добавив к корням точки, где $f''$ не существует, а $f$ непрерывна.
3. Разбить числовую прямую кандидатами на промежутки и определить знак $f''$ пробной точкой в каждом.
4. Оставить только те кандидаты, при переходе через которые знак меняется, и найти их ординаты подстановкой в $f$.
5. Для $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$ получаем $f''(x) = 12x^2 - 12$, перегибы $(-1;\,0)$ и $(1;\,0)$, выпуклость вниз на $(-\infty;\,-1)$ и $(1;\,+\infty)$, вверх на $(-1;\,1)$.