Как найти промежутки возрастания функции: разбор

Дано: $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$. Найти: промежутки возрастания и убывания.

Метод один и работает для любой дифференцируемой функции: считаем первую производную, находим её нули, расставляем знаки на числовой оси. Там, где $f'(x) > 0$, функция возрастает; где $f'(x) < 0$ - убывает. Ответ: функция возрастает на $(-\infty;\,-1]$ и $[3;\,+\infty)$, убывает на $[-1;\,3]$. Калькулятор сверху пересчитывает нули производной и заливку промежутков под любые коэффициенты, а ниже тот же расчёт разобран вручную.

Решение по шагам

Дано. Функция $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$. Найти: промежутки возрастания и убывания.

Шаг 1. Область определения. Многочлен определён при всех вещественных $x$, значит $D(f) = (-\infty;\,+\infty)$, и разбивать числовую ось будут только нули производной. Шаг выглядит формальным, но пропускать его нельзя: у дробей и логарифмов именно область определения добавляет точки, которые режут промежутки монотонности.

Шаг 2. Первая производная. Дифференцируем почленно по правилу $(x^n)' = n x^{n-1}$:

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9.$$

Шаг 3. Нули производной. Решаем уравнение $f'(x) = 0$. Делим обе части на 3:

$$x^2 - 2x - 3 = 0, \qquad D = 4 + 12 = 16, \qquad x_{1,2} = \frac{2 \pm 4}{2}.$$

Отсюда $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Удобнее сразу записать производную множителями: $f'(x) = 3(x + 1)(x - 3)$ - в таком виде знаки видны без вычислений.

Шаг 4. Знаки производной на промежутках. Нули $-1$ и $3$ делят ось на три части. График $y = 3x^2 - 6x - 9$ - парабола ветвями вверх, поэтому вне корней она положительна, а между корнями отрицательна. Проверяем пробными точками: $f'(-2) = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$, $f'(0) = -9 < 0$, $f'(4) = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$.

Шаг 5. Записываем ответ. Точки $x = -1$ и $x = 3$ критические: производная в них обращается в нуль. Для вопроса о монотонности достаточно указать их как границы промежутков. Это заодно и точки экстремума, но полное исследование функции здесь не требуется: знаков первой производной хватает.

Ответ. Функция возрастает на $(-\infty;\,-1]$ и на $[3;\,+\infty)$, убывает на $[-1;\,3]$.

Признак монотонности: откуда берётся правило

Правило «плюс - растёт, минус - падает» - это достаточное условие монотонности, и доказывается оно теоремой Лагранжа о конечных приращениях. Возьмём на промежутке две точки $x_1 < x_2$. Теорема даёт точку $c$ между ними, для которой выполняется равенство

$$f(x_2) - f(x_1) = f'(c)\,(x_2 - x_1).$$

Разность $x_2 - x_1$ положительна, поэтому знак приращения функции полностью определяется знаком $f'(c)$. Если производная положительна во всех точках промежутка, то $f(x_2) > f(x_1)$ для любой пары - это и есть определение возрастания. Для отрицательной производной неравенство переворачивается, и функция убывает.

Геометрически производная - угловой коэффициент касательной: положительная производная означает, что касательная наклонена вверх (как её составить, разобрано в статье про уравнение касательной и нормали к графику). Отсюда понятно и то, почему хватает одной пробной точки на промежуток: между соседними нулями непрерывная производная знак не меняет, иначе по теореме Дарбу внутри нашёлся бы ещё один нуль, а мы их все уже выписали.

Отдельная тонкость - строгость возрастания. Функция $f(x) = x^3$ возрастает на всей оси, хотя $f'(0) = 0$. Обнуление производной в отдельных точках возрастанию не мешает: важно только, чтобы производная не меняла знак и не обращалась в нуль на целом промежутке.

Открытые и закрытые концы: как оформлять ответ

Оба варианта записи встречаются в учебниках. Строгий вариант - открытые интервалы $(-\infty;\,-1)$ и $(3;\,+\infty)$: на них производная строго положительна. Расширенный вариант - промежутки с включёнными концами $(-\infty;\,-1]$ и $[3;\,+\infty)$: функция остаётся возрастающей, потому что производная обращается в нуль лишь в одной точке и знак вокруг не меняется. Принимают обычно оба, но внутри одной работы форма должна быть одинаковой.

Второе правило записи важнее. Промежутки нельзя соединять знаком объединения, если между ними лежит промежуток убывания. Запись «возрастает на $(-\infty;\,-1] \cup [3;\,+\infty)$» считается ошибкой: на объединении функция не возрастает, ведь $f(-1) = 10$, а $f(3) = -22$, то есть при переходе с левого куска на правый значение падает. Правильно перечислять промежутки через союз «и».

Как быстро расставить знаки производной

Способа три, и выбирают их по виду производной. Пробные точки - самый надёжный: подставляем по числу из каждого промежутка и смотрим на знак результата. Разложение на множители работает быстрее: в записи $f'(x) = 3(x + 1)(x - 3)$ знак каждой скобки очевиден, а знак произведения собирается по правилу знаков.

Третий способ - метод интервалов с чередованием: справа от наибольшего корня знак совпадает со знаком старшего коэффициента, дальше влево знаки чередуются. Правило верно только для простых корней. Если корень кратный, знак через него не меняется: у производной $f'(x) = (x - 2)^2 (x + 1)$ переход через $x = 2$ знак сохраняет, и функция возрастает на всём промежутке $[-1;\,+\infty)$. Кратные корни - самая частая причина перевёрнутого ответа, поэтому при чётной кратности надёжнее вернуться к пробным точкам.

Если функция дробная или с логарифмом

Схема не меняется, но к нулям производной добавляются точки, где функция или её производная не определены. Возьмём $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ и продифференцируем по правилу частного:

$$f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}.$$

Знаменатель положителен всегда, поэтому знак производной совпадает со знаком числителя $1 - x^2$. Он положителен при $-1 < x < 1$, значит функция возрастает на $[-1;\,1]$ и убывает на $(-\infty;\,-1]$ и $[1;\,+\infty)$.

С логарифмом добавляется ограничение области определения. Для $f(x) = x^2 - 8\ln x$ сразу записываем $x > 0$ и дифференцируем: $f'(x) = 2x - \dfrac{8}{x} = \dfrac{2(x^2 - 4)}{x}$. На области определения знаменатель положителен, числитель обращается в нуль при $x = 2$, поэтому функция убывает на $(0;\,2]$ и возрастает на $[2;\,+\infty)$. Корень $x = -2$ отбрасываем: он лежит вне области определения.

Частые ошибки

• Ответ пишут через значения функции, а не через аргумент. Промежутки монотонности - множества значений $x$. Числа $10$ и $-22$, то есть значения функции в критических точках, в ответ не входят.
• Забывают про область определения. Границы области и точки разрыва делят ось наравне с нулями производной. Для $f(x) = x^2 - 8\ln x$ ответ начинается с нуля, а не с $-\infty$.
• Смотрят на знак самой функции вместо знака производной. Условие $f(x) > 0$ к монотонности отношения не имеет: возрастать функция может и целиком под осью абсцисс.
• Применяют чередование знаков к кратным корням. Через корень чётной кратности знак производной не меняется, и механическое чередование даёт неверный ответ.
• Соединяют промежутки знаком объединения. Два промежутка возрастания, разделённые промежутком убывания, перечисляют через «и»: на их объединении функция не возрастает.
• Теряют внутреннюю производную у сложной функции. В производных выражений вида $\ln(3x)$ или $\sin 2x$ появляется множитель от внутренней функции, и без него нули производной смещаются.

FAQ

Чем промежутки монотонности отличаются от промежутков знакопостоянства? Промежутки монотонности определяются знаком производной $f'(x)$ и отвечают на вопрос, растёт функция или падает. Промежутки знакопостоянства определяются знаком самой функции $f(x)$ и отвечают на вопрос, выше или ниже оси лежит график. Это разные задачи, и ответы у них обычно разные.

Нужно ли включать критические точки в ответ? Как правило, да: функция остаётся возрастающей на промежутке с концом в точке, где производная равна нулю, если знак вокруг этой точки не меняется. Строгая запись с открытыми скобками тоже верна, поэтому ориентируйтесь на форму, принятую в вашем курсе, и не смешивайте две формы в одной работе.

Что делать, если у производной нет нулей? Значит, она сохраняет знак на всей области определения и функция монотонна целиком. Например, у $f(x) = x^3 - 3x^2 + 9x$ производная $f'(x) = 3x^2 - 6x + 9$ имеет отрицательный дискриминант и положительна всюду, поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.

Как проверить ответ без построения графика? Подставьте по паре точек внутрь каждого промежутка и сравните значения: на промежутке возрастания большему $x$ обязано отвечать большее $f(x)$. В нашей задаче $f(-2) = 3$, а $f(-1) = 10$ - значения растут, промежуток $(-\infty;\,-1]$ определён верно.

Коротко

1. Найдите область определения: её границы и точки разрыва режут числовую ось наравне с нулями производной.
2. Вычислите $f'(x)$ и решите уравнение $f'(x) = 0$; для $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ получаем $f'(x) = 3(x + 1)(x - 3)$ и корни $x = -1$, $x = 3$.
3. Расставьте знаки производной на полученных промежутках пробными точками или по разложению на множители.
4. Промежутки со знаком плюс дают возрастание, со знаком минус - убывание; концы с нулевой производной обычно включают в ответ.
5. Ответ примера: функция возрастает на $(-\infty;\,-1]$ и $[3;\,+\infty)$, убывает на $[-1;\,3]$.