Теорема Дарбу о промежуточном значении производной: свойство без непрерывности

Производная функции не обязана быть непрерывной - известный пример $f(x)=x^2\sin(1/x)$ при $x\neq 0$ и $f(0)=0$ даёт производную с разрывом в нуле. Тем не менее производная не может вести себя совсем уж дико: она всегда принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями. Именно это утверждает теорема Дарбу о промежуточном значении производной. Ниже разберём точную формулировку, аккуратное доказательство, связь со свойством Дарбу и то, как теорема ограничивает возможные разрывы производной.

Формулировка теоремы Дарбу

Пусть функция $f$ дифференцируема на отрезке $[a,b]$ (под производной в концах понимаются односторонние). Тогда для любого числа $c$, лежащего строго между $f'(a)$ и $f'(b)$, найдётся точка $\xi\in(a,b)$ такая, что $f'(\xi)=c$.

Иными словами, производная $f'$ обладает свойством промежуточного значения: её образ на отрезке - это промежуток, она не «перепрыгивает» через значения. Это та же геометрическая идея, что и в теореме Больцано - Коши для непрерывных функций, но ключевое отличие в том, что от $f'$ непрерывность не требуется. Достаточно, чтобы $f'$ была производной некоторой функции.

Подводя итог введению: чтобы прочувствовать, что значения производной действительно «не имеют дыр», полезно собрать конкретную постановку - функцию, концы отрезка и целевое значение $c$ - и проверить применимость теоремы. Для этого ниже есть интерактивный помощник.

Свойство Дарбу и функции Дарбу

Функцию $g$ называют функцией Дарбу (обладающей свойством Дарбу), если для любого отрезка $[\alpha,\beta]$ из области определения и любого $c$ между $g(\alpha)$ и $g(\beta)$ существует точка, в которой $g$ принимает значение $c$. Все непрерывные функции - функции Дарбу по теореме о промежуточном значении. Но обратное неверно: свойство Дарбу слабее непрерывности.

Теорема Дарбу о промежуточном значении производной формулируется тогда коротко: всякая производная есть функция Дарбу. Класс производных лежит строго между непрерывными функциями и всеми функциями Дарбу: производные могут иметь разрывы, но обязаны сохранять промежуточные значения.

Доказательство через вспомогательную функцию

Стандартное доказательство сводит задачу к поиску экстремума. Пусть для определённости $f'(a)<c<f'(b)$. Рассмотрим вспомогательную функцию

$g(x)=f(x)-cx.$

Она дифференцируема на $[a,b]$ и потому непрерывна, значит, достигает на отрезке своего минимума в некоторой точке $\xi\in[a,b]$. Посчитаем производную на концах:

$g'(a)=f'(a)-c<0,\qquad g'(b)=f'(b)-c>0.$

Из $g'(a)<0$ следует, что в окрестности $a$ функция $g$ убывает: значения $g(x)$ при $x$ чуть больше $a$ меньше, чем $g(a)$. Значит, минимум не достигается в точке $a$. Аналогично из $g'(b)>0$ следует, что вблизи $b$ функция $g$ убывает при приближении к $b$ слева, поэтому минимум не достигается и в точке $b$. Остаётся вывод: точка минимума $\xi$ - внутренняя, $\xi\in(a,b)$.

Во внутренней точке экстремума дифференцируемой функции производная обращается в нуль (теорема Ферма):

$g'(\xi)=0\;\Longrightarrow\; f'(\xi)-c=0\;\Longrightarrow\; f'(\xi)=c.$

Случай $f'(a)>c>f'(b)$ разбирается симметрично - через точку максимума функции $g$ либо заменой $f$ на $-f$. Теорема доказана.

Почему непрерывность производной не нужна

Сила теоремы в том, что в доказательстве нигде не использовалась непрерывность $f'$. Нужны были только: дифференцируемость $f$ (отсюда непрерывность $f$ и применимость теоремы Ферма) и знаки односторонних производных на концах. Это резко контрастирует с теоремой Больцано - Коши, где непрерывность функции критична.

Канонический пример того, что производная бывает разрывной, но всё равно подчиняется свойству Дарбу:

$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac1x,& x\neq 0,\\[4pt]0,& x=0.\end{cases}$

Здесь $f'(0)=0$, а при $x\neq 0$

$f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x.$

При $x\to 0$ слагаемое $\cos(1/x)$ колеблется и не имеет предела, поэтому $\lim_{x\to 0}f'(x)$ не существует - производная разрывна в нуле. Но никакого «скачка через значения» не происходит: вблизи нуля $f'$ бесконечно много раз пробегает весь отрезок значений около $[-1,1]$, нигде не пропуская промежуточных. Свойство Дарбу выполнено, хотя непрерывности нет.

Что теорема говорит о разрывах производной

Из теоремы Дарбу вытекает важное ограничение: производная не может иметь разрывов первого рода (скачков и устранимых разрывов). Если бы в точке $x_0$ существовали оба конечных односторонних предела $f'(x_0^-)$ и $f'(x_0^+)$, но они были бы различны (скачок), то $f'$ «перепрыгнула» бы значения между ними - это противоречит свойству промежуточного значения.

Отсюда удобное следствие для практики: если односторонние пределы производной существуют и равны, то производная непрерывна в точке и равна этому общему пределу. А если функция дифференцируема, но её производная где-то разрывна, то это обязательно разрыв второго рода - производная около такой точки колеблется без предела, как в примере выше. Близкие сюжеты о структуре непрерывных и дифференцируемых функций разбираются в материале про теорему Кантора о равномерной непрерывности.

Связь с теоремами о среднем

Теорему Дарбу легко спутать с классическими теоремами о среднем значении. Полезно держать их рядом. Теорема Ролля и теорема Лагранжа (о конечных приращениях) гарантируют существование точки, где производная равна конкретному числу - нулю или среднему наклону $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Теорема Дарбу же утверждает существование точки для любого значения между $f'(a)$ и $f'(b)$, то есть описывает весь диапазон значений производной сразу. Тейлоровские оценки и роль производных порядка выше первого подробнее разобраны в заметке про остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Как применять теорему на практике

При решении задач теорему Дарбу о промежуточном значении производной удобно применять по шагам. Сначала убеждаются, что функция $f$ действительно дифференцируема на всём отрезке $[a,b]$ (включая односторонние производные на концах) - это единственное требование. Затем вычисляют $f'(a)$ и $f'(b)$ и проверяют, лежит ли интересующее значение $c$ строго между ними. Если да, теорема гарантирует существование точки $\xi\in(a,b)$ с $f'(\xi)=c$, хотя явную формулу для $\xi$ она не даёт.

Типичный сюжет на экзамене: доказать, что некоторое уравнение вида $f'(x)=c$ имеет корень, не решая его. Достаточно найти две точки, где значения производной лежат по разные стороны от $c$. Другой характерный приём - доказательство «от противного»: если предположить, что производная нигде не равна $c$, то по свойству Дарбу она целиком лежит по одну сторону от $c$, то есть сохраняет знак выражения $f'(x)-c$; это часто немедленно ведёт к противоречию с монотонностью или с уже известными значениями производной.

Полезно помнить и обратную логику: если про функцию заранее известно, что её «производная» обладает скачком (например, кусочно-заданная функция с разными наклонами слева и справа в одной точке), то такая функция в этой точке не дифференцируема - иначе свойство Дарбу было бы нарушено. Это быстрый тест на дифференцируемость через значения односторонних производных.

Частые ошибки

• Считать, что теорема Дарбу требует непрерывности $f'$. Наоборот, её ценность именно в том, что непрерывность не нужна; достаточно дифференцируемости $f$.
• Путать $f$ и $f'$. Свойство промежуточного значения здесь относится к производной $f'$, а не к самой функции $f$ (для $f$ это обычная теорема Больцано - Коши).
• Утверждать, что разрывная производная нарушает свойство Дарбу. Разрыв производной возможен, но только второго рода; промежуточные значения при этом сохраняются.
• Гарантировать единственность точки $\xi$. Теорема даёт существование, но таких точек может быть много (а в примере с $\sin(1/x)$ - бесконечно много).
• Применять теорему к функции, которая лишь непрерывна, но не дифференцируема. Тогда $f'$ может не существовать, и говорить о свойстве Дарбу для производной бессмысленно.

FAQ

Чем теорема Дарбу отличается от теоремы Больцано - Коши? Теорема Больцано - Коши о промежуточном значении применяется к непрерывной функции $f$. Теорема Дарбу применяется к производной $f'$ и не требует её непрерывности - достаточно дифференцируемости исходной функции $f$.

Может ли производная иметь скачок? Нет. По теореме Дарбу производная обладает свойством промежуточного значения, поэтому разрывы первого рода (скачки и устранимые) у производной невозможны; допустимы только разрывы второго рода.

Зачем в доказательстве функция $g(x)=f(x)-cx$? Она превращает задачу «найти точку со значением производной $c$» в задачу «найти внутренний экстремум», где по теореме Ферма $g'(\xi)=0$, то есть $f'(\xi)=c$.

Коротко

Теорема Дарбу о промежуточном значении производной утверждает, что производная любой дифференцируемой функции принимает все промежуточные значения между $f'(a)$ и $f'(b)$, то есть является функцией Дарбу - даже если сама производная разрывна. Доказывается это переходом к вспомогательной функции $g(x)=f(x)-cx$ и применением теорем Ферма: минимум (или максимум) оказывается внутри отрезка, где $g'=0$. Главное следствие - у производной не бывает разрывов первого рода: только разрывы второго рода с колебанием без предела.